Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики, страница 71

Поэтому вероятности инДУЦиРованных пеРехоДов (Вш Р,„и ВгзР„,,) бУДУт много больше веРоЯтности спонтанньзх переходов (А21). Поскольку коэффициенты Эйнштейна не зависят ог температуры, при высоких температурах В2~ р Жг = Вшр Л1. 2 ехр (5) Из этих соотношений вытекает связь коэффициентов Эйнштейна: 82В21 — 81В1 Это позвозгяет переписать формулу (4) в виде (6) Л22 1 р„, = — ' 02 ~ ах р (12 2/Кь.з') — 1 (7) Прн высоких температурах отсюда следует Лы Ьгт р, — ' В2, Гы' (8) С другой стороны, при таких температурах имеет место распределение Рэлея — Джинса: р„= '"' );нТ.

(9) кзсэ Сравнение выражений (8) и (9) для р„, показывает, что Лж 122 кзсз (10) Подстановка этого выражения в (7) приводит к формуле Планка: г,з 1 Р- = кзсз вхр (12221 12ВТ) — ! (11) Здесь учтено, что )1ко = Ез —. Е1 . -- энерп1я кванта излучения, поглощаемого нли испускаемого прн переходе. Тогда из (1) следует 356 Семинар Обратим внимание на то, что отношение вероятностей индуцированного и спонтанного испускания, в соответствии с (7), равно !Ф;... А Нз, = 6„,. и;.„н„.!и, (12) Здесь и, — среднее число заполнения, даваемое распределением Планка; (13) и,.

= ехр( ) — ! 3 а д а ч а 19. Получить спектральное распределение излучения, создаваемого ансамблем частиц при переходах между уровнями Гз и Гы устанавливающееся благодаря эффекту Доплера в газе с максвелловскига распределением частиц по скоростям. Р е ш е н и е. Допустим сначала, что естественная ширина линии пренеорежимо мала. В эюм случае„если бы атомы не испытывали отдачи, то онн создавали бы монохроматичсскос излучение с частотой Поэтому исходное спектральное распределение можно было бы представить в виде С(О)(ы) = б( ' — еас). (2) Если излучающий атом движется со скоростью т, то вследствие эффекта Доплера приемник будет наблюдать частоту излучения.

равную ! Сио 'О + )~~ (3) где волновой вектор имеет длину й =- .О/с (см. задачу 4). Здесь учтено, что характерные скорости атомов ц (( с. Утвержденна, содержащееся в формуле (12), вполне естественно. В самом деле, чем больше п, тем больше фотонов в среде и тем более вероятны вынужденные переходы по сравнению с переходами спонтанными.

Соотношение (!2) показглвает также, что не существует ситуаций, когда присутствуют только спонтанные или только вынужденные переходы: оба типа процессов всегда существуют одновременно, хотя и с различной вероятностью. Рассмотренный вывод формулы Планка предлохзен А. Эйнштейном в 19 ! б г. Этот подход впоследствии привел к возникновению квантовой электроники. 357 Севилар х ЗТ2 (4) 1 2кяпТ ~ забот,/ Здесь и — число атомов в единице объема газа, а функция 2" (н) удовлетво- ряет условию нормировки: У(н)йз22 = 1, (5) в котором интегрирование по каждой из компонент скорости (о, ц, и,) производится в пределах от — эс до -~- о.

Как следствие форм-фактор излу- чения ансамбля атомов окажется равным Сд(оа) .= д(гл — ьоо — )сн~) (н)Л'и. (б) Для вычисления этого интеграла выберем ось ж в направлении вектора к. Тогда д-функция не содержит переменных ц, и ц-., и интеграл по этим переменным легко вычисляется. В результате получаем 1/2 Сд(о2) =- ) 1 д(оо — о'о — Лаги) ех1) ~ — - * пц~. (7) 'Х 2квг Г 2ввт/ Этот интеграл уже вычисляется, исходя нзсвойств д-функции, чтодает Сд( ~) =- — ехр . ( (-"- .)2 л~ тн'к ~ (ьыл)2 Вошедшая в эту формулу величина о'г ~ 'д = к1'т = 'о— с (9) имеет смысл характерной ширины спектра и описывает доплеровское уши- ренис спектра, связанное с тепловым движением атомов газа.

Здесь введено обозначение (10) В газе вероятности различных скоростей атомов даются распределением Максвелла: 358 Сеиивар для наиболее вероятной скорости молекул, отвечающей максимуму функ- ции распределения атомов по абсолютной величине скорости х 21'2 Ф111) = 4кн 2111) = 4к ' ~ о ехр 2кяв 1 1 2ЬБТ / Выражение (8) описывает так называемую гауссову форму спектральной линии с шириной (9). Условие нормировки выполнено: ~'-!) (ы,,н)21 Сд(02)г)ьэ = ~ ехр ~ — ~ "' ~ 11 = 1. (1!) Аыд Г ~ (А 'д)з Гауссова форма получена в предположении, что естественная ширина линии пренебрежимо мала: Ь0100 « ЬиД. 2 ( — 0)з + (А о!2)з ' (13) В КОтОрОй 20020 Еетсетаевиая ШИрИНа.

Дпя уЧЕта ЭффЕКта ДОПЛСра МЬт должньг, во-первых, заменить частоту '0 на шо в соответствии с (3), что дает форм-фактор ( ) А00 1 2т бл — ыо — 1сх)з -1- (Ь~00Г2)з 114) А во-вторых, нужно произвести усреднение по всем скоростям атомов: Сд(1д) = Со( 0)т(ч)11зг1. (15) Выбирая ось к вдоль волнового вектора )г н выполняя интегрирование по компонентам скорости и, и пь, получим ш в 1!2 т ) Лыс ~ ех101 — пи;~12ввТ) 2хагт / 2к 1 ( — и — Ьн )г +)Лы012)г ' ' Если это неравенство нс выполняется, то форма линии имеет вид,проме- жуточный ме1кду лоренцевской н гауссовой.

Явный вид форм-фактора для этого случая может быль установлен, если учесть, что исходной является лоренцсвская форма 359 Сеяивир [(ш — шо — Ан,)а -с (,агав/2)з~ (18) напротив, меняется быстро. Поэтому, вынося из-под знака интеграла множитель (17) при значении о = (ы — а),% и вычисляя оставшийся интеграл, ле 2к (' ' — ' в — азы)з ь (о' в~!2)з л' ве (19) приходим к гауссовой форме линии (8). В обратном случае,Ли~в, >> Ь .д мы получаем лоренцевский контур: множитель (18) меняется медленно и может бьггь вынесен из-под знака интеграла при значении и = О.

Остающийся интеграл вычисляется просто: ехр ( — гтД/2йвТ) дхк = ( " " ) Ш (20) и мы получаем контур (13). В промежуточных случаях Лс,',в Лыд входящий в (15) интеграл не выражается в элементарных функциях, но в каяедом конкретном случае нетрудно найти его численное значение. Если условие (12) выполняется, то это выражение сводится к (8). Действительно, подынтегральное выражение при этом содержит медленно меняющийся множитель ехр ( — ппД,~2йнТ), (!7) тогда как другой множитель Учебное издание КАРЛОВ Николай Васильевич КИРИЧЕНКО Николай Алексангурович НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ Редактор О.А. Пенина Оригинал-макет: В.И.

Шутов ЛР № 071930 от 06 07 99 Подписано в печать 28.09 04 Формат ббх90»»16 Бумага офсетная Пс ~ать офсетная Усл. печ. л, 22,5. Уч.-изд. л. 29,25. Заказ № Издательская фирма «Физико-математическая литература» МАИК «Наука/Интерпериодика» !17997, Москва, ул Профсоюзная. 90 Б-та~1: !яапа!балта!!!слп, !в!за!е©гпафлп, М!разлете.1пб.п» Отпечатано с готовых диапозитивов в ОДО «Московская типография № 6 1!5088, Москва, Ж-88, ул. Южнопортовая, 24 !ЗВ!Ч 5-9221-0538-8 9 785922 105385 .