Termeh (Курс теоретической механики - МГТУ, 2005. В. И. Дронг, В. В. Дубинин, М. М. Ильин), страница 88

Для этого рассмотрим механическую систему, состоящую из частиц постоянной массы, которые в момент времени г составляют материальную точку М (обозначим массу точки М, скорость р ) и за время Лз присоединятся к материальной точке М (обозначим их массы )»!, ..., рн, скорости в момент времени»вЂ” »и »и Р!' ', ..., »7йп соответственно). Пусть 1»~ ', ..., )»»н! — массы тех частиц, которые за время д»г отделятся от точки М, а г!~', ..., Рй~! — их абсолютные скорости в момент времени » + Л» . Введем также обозначения сф .

ЬД(г) Учитывая, что — = !пп, из (21.2) получаем сссг ы- 0 ссф Ый Ытс Ыт, М +(~ сс) (~ ~2) (21.3) Ж сссс ссс ссс ЬРЬт, . ЬйЬт так как 1пп ' =О и 1пп ~ =О. ы-~0 Ьг ы- 0 Ьу Теорему об изменении количества движения системы — = , 'Г„" с учетом (21.3) запишем в виде сФ вЂ” С > Ж вЂ” аЬ~7 Р (й й) с (й й) 7 с(с ссг й' (21.4) ~тг (21.6) ссг сст сй Система уравнений (21.4), (21.6) или (21.5), (21.6) даже при известных й, и й, и заданном значении силы Г незамкнута (содержит шесть неизвестных величин г, М, т„т, где г в общем случае задается тремя обобщенными координатами) и должна 708 Так как при Ьг -+ О Ьт, и Ьт, также будут стремиться к нулю, то в уравнении (21.4) Г является равнодействующей сил, при- ложенных к точке М.

Отметим, что и й в формулах (21.3) и (21.4) будет скоростью центра масс отделяющихся частиц в мо- мент времени г (ранее й — скорость центра масс отделяющихся частиц в момент времени с + Ьс ). Уравнение (21.4) называется обобщенным уравнением Ме- щерского. Если относительные скорости присоединяющихся и ' отсоединяющихся частиц обозначить соответственно ис =йс — й, ий~ =й7 — й, то обобщенное уравнение Мещерского примет вид сБ — Ытс Ыт, М вЂ” =Г+йс — ' — й — '. (21.5) ссс аг ссСс Поскольку ЬМ =Ьт, — Ьт,, то после деления на Ьс и перехода к пределу при Ьг -+ О получаем так называемое уравнение нераз- рывности быть дополнена еще двумя уравнениями вида Я(б г, г, М, т„из)=0, например зависимостями т, =и,(г) и т„= и, (г) .

В ракетодинамике эту систему дополняют условиями экстремума функционала, оптимизирующего расход топлива, время полета и т. п. Представляет также интерес следующая форма обобщенного уравнения Мещерского, которую легко получить из (21.4) и (21. б): (2 1.7) Обозначив — ат, — с(из (21.8) запишем обобщенное уравнение Мещерского (21.5) в следующей форме: а% М вЂ” =Р ьР +Р, сй (21.9) или 21.3. Частные случаи уравнении Мещерского А. Пусть имеет место лишь процесс отделения масс. Тогда с(т, ЫМ Ит2 и, гаО, — 'мО, — = — — ~ и уравнения (21.4), (21.5), (21.7), й * Ж аг (21.8) принимают вид М вЂ” =Г+(г, — Р) —; агг — ИМ г(г сЮ 709 М вЂ” =Р+Р.

ггг (21.10) аг Сила Р называется реактивной и представляет собой геометрическую сумму реактивных сил, обусловленных присоединением Р, и отделением Р, частиц. Заметим, что вывод обобщенного уравнения Мещерского применим не только к ТПМ, но и к поступательно движущемуся телу переменной массы. — ИМ М вЂ” =Р+й,—; (21.5а) (г ' (г' (Мй)=Р+г, —; с( — НМ (г ' (г Р, мО, Р ьлР =й —. — — ЫМ (21.8а) аФ Б. Пусть происходит лишь присоединение частиц. Тогда ИМ йл, лг, и О, — = — ' и обобщенное уравнение Мещерского можно й ог представить в следующих формах: Ый — НМ М вЂ” =Р+(т, — й) —, Ж ог а% — пМ М вЂ” =Р+й, —, (21.5б) й й И вЂ” ИМ вЂ” (Мй)=Р+т, —.

й й Реактивные силы при этом будут Р мО; Р= — Р,=й,—. — — — оМ (21.8б) й В. Пусть абсолютные скорости частиц в момент присоедине- ния и отделения равны нулю, т. е. ~, = г, = О, либо, если проис- ходит только присоединение или только отделение частиц, то соответственно т, = О или т, = О. В этом случае обобщенное уравнение Мещерского принимает вид — (Мй) = Р, Й (21.7а) (21.4б) (21.76) а реактивная сила происходит только присоединение или только отделение, то соот- ветственно и, = О или й, = О. В этом случае обобщенное уравне- ние Мещерского имеет вид Р= — й (21.8в) й Г.

Пусть относительные скорости частиц в моменты присоединения и отделения равны нулю, т. е. й, =й =О, либо, если но (21.5г) а реактивная сила Р=о. (21.8г) Д. Пусть одновременно происходит присоединение и отделение частиц при равных скоростях центров масс присоединяющихся и отделяющихся частиц, т. е. г, = йг = то (при этом й, = й, = й ). Обобщенное уравнение Мещерского в этом случае можно представить в следующих формах: ЕЕ й — еЕМ =г +("О й) ЕЕ ' ЕЕ пе й — АМ М вЂ” = Г+й —; й е(Е еŠ— АМ вЂ” (Мй) = К+ й —, ЫЕ еЕЕ (21.4д) (2!.5д) (21.7д) а реактивная сила — ИМ Р=й —. й (21.8д) Е.

Пусть масса присоединившихся частиц за любой промежуток времени равна массе отделившихся частиц. В этом случае ел, =лег, М= сопя! и обобшенное УРавнение МеЩеРского пРимет одну из следующих форм: ЕЕ й — ЕЬИ! =г +Й гг) е(Е й или йЕ й — ЙИ~ М вЂ” =Г+(и,— й ) — ' еЕЕ еЕЕ (21.5е) 711 Реактивные силы при этом определяются выражениями Р, =й, —; Р =-й, — '; Р =Р, +Р, =(й, — йг) —. (21.8е) пЕ С помощью дифференциальных уравнений движения (21.4)— (21.7) формулируют различные задачи динамики ТПМ, которые (аналогично задачам динамики точки постоянной массы) условно подразделяют на прямые и обратные.

21.4. Некоторые классические задачи динамики точки переменной массы Задача Кейла (о движении олускаюгцейея тяжелой цели) Пусть х — длина, а и— масса свешивающейся и движущейся части цепи (рис. 2! .1). Эта масса непрерывно увеличивается за счет присоединения элементов ат части цепи, лежащей на подставке. При этом скорость присоединающихся элементов возрастает в момент присоединения от нуля до скорости движущейся части. Таким образом, при решении данной задачи можно воспользоваться уравнением (21.7б), которое в проекции на вертикальную ось Ох имеет вид Рис. 21.1 Эта зааача была решена английским математиком А.

Келли в 1857 г. 712 Пусть с горизонтальной подставки опускается вниз тяжелая цепь, элементы которой непрерывно присоединяются к движущейся части цепи. Оставшаяся часть цепи находится в состоянии покоя у края подставки. Предполагая, что цепь движется по вертикальной прямой, исследовать процесс падения цепи с подставки, пренебрегая силами сопротивления . По сути, эта задача относится к динамике механической системы. Но так как свешивающаяся часть цепи представляет собой поступательно двихсущееся тело переменной массы, в котором отсутствует относительное движение частиц, то, как указывалось выше, при решении задачи можно использовать уравнение Мещерского.

(21.12) сК(хх)' = 28х'сй. (21.14) После интегрирования имеем („)з 2 з+С (21.15) 3 В качестве начальных условий выберем следующие: при с =О х=О, х=О. (21.16) Из формул (21.15) и (21.16) находим С =О. Сократив (21.15) на х~, получим (х) = — 8х. 2 (21.17) 3 Продифференцировав (21.17) по г и сократив на 2х, найдем х= — д. 1 (21.18) 3 Интегрируя уравнение (21.18) с начальными условиями (2!.16), окончательно получаем х=-яг . г (21.19) 6 Решение (21.19) не является единственным: начальным условиям (21.16) и дифференциальному уравнению (21.12) можно удовлетворить, полагая х и О. Если считать, что в момент г = Π— (глт) = гщ.

й! (21.11) й Обозначим через 7 вес единицы длины цепи. Тогда т =ух/8, т=х и уравнение(21.11) будет иметь вид Н . Н вЂ” (ухх/д) =ух, или — (хх) = ух. й й су' су Нх . ф' Так как — = — — = х —, то уравнение (21.12) можно предо Ых сй о!х ставить следующим образом: х — (хх) = ях. й' (21.13) пх Умножив уравнение (21.13) на х, запишем полученное уравнение в виде 713 точка А не имеет ускорения (см.

рис. 21.1), то цепь будет оставаться в покое; если же точка А имеет ускорение (с подставки свешивается бесконечно малый злемент цепи), то цепь придет в движение. Нетривиальное решение(21.19) соответствует второму случаю. Первая задача Циолковского (о движении ракеты вие силового ивли) Пусть ТПМ движется в безвоздушном пространстве вне силового поля, причем имеет место лишь один процесс отделения частиц. Движение такой точки моделирует движение ракеты в космическом пространстве, если пренебречь внутренним движением частиц, силами сопротивления космической среды, гравитационным притяжением, силами светового давления и т. п.

Тогда Г =О и из уравнения Мещерского (21.5а) получим векторное уравнение движения ракеты Ый ИМ М вЂ” =й,—, с11 ' М где й„ вЂ” относительная скорость отделения продуктов сгорания топлива. Полагая, что и„постоянна по величине и направлена противоположно скорости й ракеты, найдем скорость и закон движения ракеты.

Направим ось Ох вдоль вектора скорости й ракеты (рис. 21.2). В проекции на ось Ох уравнение (21.20) с учетом, что г„=т, и = — и„, имеет вид (21.21) МсЬ = — и„а~М Рве. 21.2 714 М,'1 гя +и!и 1+ — ' К (21.23) Выражение (21.23) — это известная формула К. Э. Циолковского, опубликованная в его работе 1903 г. Из нее следует, что предельная скорость т„ ракеты зависит только от относительного запаса топлива и относительной скорости истечения продуктов его сгорания.

От закона изменения массы ракеты (режима работы двигателя) предельная скорость ракеты не зависит. Если задано отношение М,/М„=У, где У вЂ” число Циолковского, то предельная скорость т„=г, + и„1п(1+2) будет вполне определенной независимо от того, быстро или медленно происходило сгорание топлива. Путь, пройденный ракетой на активном участке траектории (соответствующий этапу сгорания топлива), зависит от закона сгорания топлива. Полагая прн 1 = 0 х = О, нз уравнения (21.22) получаем Мо х(Г) =т 1+ и„~!и — ~-ч(Г. М(1) В теоретических работах по ракетодинамнке обычно рассматривают два закона изменения массы: экспоненциальный М = Мое-а (21.25) где 13 = сопз1, и линейный М=Мо -а г=Мо(!-а1), (21.26) 715 Разделяя в (21.21) переменные и интегрируя, находим т=т +и„1п (21.22) М(1) где го — начальная скорость ракеты; Мо — масса ракеты в начальный момент времени.