Termeh (Курс теоретической механики - МГТУ, 2005. В. И. Дронг, В. В. Дубинин, М. М. Ильин), страница 83

Запишем для фазы деформирования уравнения, выражающие теорему Кельвина и теорему об изменении количества движения: ти, тт У,(й, +й) Яр — т(й, — й)=Я,. 2 2 2 2 Умножив второе уравнение скалярно на У,, получим о2 2 2 Окончательно имеем ти, тт Я, — — — = — — <О. (20.23) 2 2 2т При мгновенном наложении связи на точку происходит потеря ее кинетической энергии. Для фазы восстановления. скорости точки в начале и в конце фазы будут соответственно й, и й, импульс ударной реакции У, .

Так как У перпендикулярен й,, У,й, = О. Далее аналогично записываем ти ти, У,(й+й,) У2й т(й — ~~) = Я2 ° 2 2 2 2 Умножив второе уравнение скалярно на Уз, получим тйУ1 2 2 2 666 Окончательно имеем 2 (20.24) 2 2 2т В фазе восстановления происходит мгновенное снятие связи. При мгновенном снятии связи изменение кинетической энергии точки положительное. Сложив (20.23) и (20.24), получим ~,' -б,' (Я, +Я,)(К, -Я,) 2 2 2т 2т Кроме того, Я = Я, + Я,, Я, = Ко', . Отсюда (20.2б) 1+К 1+К Из (20.25) с учетом (20.2б) запишем (20.27) 2 2 1+К 2т Согласно теореме об изменении количества движения точки при ударе У = т(и — Р) .

Подставив это выражение в (20.27), по- лучим (20.25) Суммируя по всем точкам, получаем ти пп 1 — К т(Р— й) (20.28) 2 2 1+К 2 Величину Р— и называют потерянной скоростью точки, а т(р — й)' — кинетической энергией точки, соответствующей 2 потерянной скорости. Из (20.28) следует, что в результате удара при 0 < К < 1 происходит потеря кинетической энергии точки, а при К = 1 (при абсолютно упругом ударе) потери кинетической энергии отсутствуют. Рассмотрим теперь систему, состоящую из Ф точек.

Предположим, что коэффициент восстановления К одинаков для всех соударений (налагаемых связей). Тогда для к-й точки теорема Карно будет выражаться уравнением г 2 т„и, тгг„1-К т (д — й)' , к=!,2,...,Ф. 2 2 1+К 2 4г* 667 1 — Кнт(й — и)з Т-Т =- с— 1ч-К»., 2 л п»и~ ч з где Т = ~,, Тс =,у — кинетические энергии системы 2 „, 2 после и до удара соответственно. Обозначим кинетическую энергию системы, соответствующую потерянным скоростям точек, через Т„, .

Тогда Т вЂ” Т= Т„,, 1 — К 1+К где Т„, = 2 . Величину Т, — Т=Т„„называют еще '" т»(у» — й„) 2, 2 потерянной кинетической энергией при ударе. Сформулируем теорему Карно для механической системы: потеря кинетической энергии системы при упругом ударе в случае мгновенного наложения идеальных связей равна кинетической энергии системы, которая соответствует потерянным 1 — К скоростям точек системы, умноженной на коэффициент 1+К Пример 20.1.

Однородный диск радиусом Я и массой м имеет угловую скорость ы . По ободу диска вдоль линии У вЂ” Ф, отстоящей от оси Оз на расстоянии к»2 (рнс. 20.8) со скоростью б ударяет материальная точка массой ш,. Определить угловую скорость диска после удара и импульс ударной реакции опоры, если удар абсолютно неупругий, а угол а = 30'. Решение. Механическая система состоит из диска н материальной точки.

Согласно теореме об изменении главного момента количеств движения системы относительно оси Ож к,-к,">=, чм,(у,"). Рис. 20.8 ьы Внешний ударный импульс — зто импульс ударной реакции оси вращения Яд, который пересекает ось, и его момент относительно оси равен нулю. Поэтому К, = К~~~, где К„К~~' — главные моменты количеств движения системы относительно оси От после и до удара. Найдем К'.о' как с) млв главного момента количеств лвижения лиска и чо- мента количества движения точки относительно оси О-: К' '=К',"+К'.„", =/ в,+М,(тй). Окончательно имеем К~в = Унио+ ~р ф2 . Так как ) дар точки абсолютно неупругий, то вектор скорости точки после ) дара направлен по касательной к ободу диска н и, = ооой. где в.

— угловая скорость лиска после удара. Тогда К /ло +ми В в (,у +т,йу), где ./ =лоВ /2. и в.(./. +лйй )=,/уво+пйо —. Я Отсюда тйво+ т1о Я(в+2т,) .Согласно теореме об изменении количества движения системы 5у„ = ЛД„ 5о, — — ЬД, . Количества движения системы до и после удара соответственно Оо =т19 и О =в,й. Тогда ЬД =в,(и -о). Количества движения однородного диска до и после удара равны нулю, так как скорости центра масс лиска равны нулю В проекциях на оси координат прн а = 30' получаем у Зт3 (локте +вР) 5о, = -т,оо.Ясоз30'=— 2(т+ 2т,) т~(2то+Зт,о-вйво) 5гуу в~ ( о — (б . В соя 60') 2(т+2в,) Пример 20.2.

В кулисном механизме между ползуном А и стержнем ОМ имеется зазор (рис. 20.9. а). Стержню АВ сообшается угловая скорость в . После закрытия зазора стержню ОМ сообщается угловая скорость при обычном (беззазорном) контакте. Однородный стержень АВ длиной ( и массой т может вращаться вокруг оси Вз.

Момент инерции стержня ОМ относительно оса вращения Оз равен Х Угол и задан. Массой и размерами ползуна А, а таске трением пренебречь. Определить угловую скорость стержня ОМ после закрытия зазора, уларный импульс в соединении А, потерю угловой скорости стержня АВ и потерю энергии в системе при ударе. Решение. Закрытие зазора в соединении А будем рассматривать как уларный процесс, так как при зтом происходит мгновенное изменение угловых скоростей стержней.

До закрытия зазора угловые скорости стержней АВ и ОМ бб9 соответственно равны ме и О, после закрытия — ге, и и„. Составим вырывание для теоремы об изменении главного момента количеств движения для систем. изображенных на рис. 20.9, б и е соответственно. б)(~, = ~~' Мгь(бз5" ), У~~и = Я„ОА; (20,29) ы! Д)(ж =,~~'„Мо:% ) )л:(и, -мо) = -БАА'Вз!па Ф=! м1 где .1 =.1: )л = — . 'В„=бл; ОА =АВз!па=(з!пи. (3: ' .

3 ' А А' (20.30) в Рис. 20.9 Скорость точки А после удара представим как скорость сложного движения по формуле й„=й!"!+й!"!. Переносное движение точки А — это движен(!е вместе со стержнем ОМ, причем переносная скорость н„', = ОАм,, = и„, з!па, относительное движение — движение вдоль стержня ОМ со скоростью йо!. Далее имеем А Вы, =1ез!; е)!, =и„"о)ОА=ы !)! Сложив (20.29) и (20. 30), получим 3 л!2з (20.3 Ц откуда с учетом (20. 31) имеем м(зез юн = г З,У+ я!! Из уравнения (20.29) находим 1е!и У!и(мо ОА ' (3.7 ьл!1')з!па 670 Потеря угловой скорости стержня АВ 33юо лез«м- шо = З.у+ т1з Потеря кинетической энергии в системе после закрытия зазора =Т Т= з 2 2 з з 2 2 2 2(33+ т!з) Пример 20.3.

В механизме к зубчатой рейке 7 массой лй приложен импульс ударной силы Х (рис. 20.10). Рейка! находится в зубчатом зацеплении с шестерней 2 массой м и шестерней 3 массой лзз и радиусом «з. Шестерни представляют собой однородные диски. До приложения импульса 5 механизм покоился. Зазоров в зацеплении нет.

Рис. 20.10 Определить угловую скорость шз«шестерни 3 после удара. Решение. Данная задача может быть решена с помощью теоремы об изменении кинетической энергии при ударе, согласно которой Т-Тс =,')''А(кз")+ХААЮ), ьм ьи где Т, Те — кинетическая энергия системы после и до удара соответственно. и )пабста внутренних ударных сил ~ А(«зю) = 0 (нет зазоров), тд = 0 (по условиям зм задачи), а г 2 г Т= — + — +— ш~н эмшз эз«шз* 2 2 2 671 Здесь л — скорость рейки! после удара, и, = вг,гг =-в„з; ( вг„вз, — проекции на оси О,г,, О,г, угловых скоростей шестерен 2 и 3 после удара); тггг тз'з Зм = —, /зг = — — моменты инерции шестерен относительно осей 2 ' 2 врашения.

Сумма работ внешних ударных импульсов равна работе ударного импульса 5: М )з А(ггнз) = 5й/2. з=з После подстановки получаем г г г1 г ( г тг"г "з тз"з 1 в. тг + — + — = — 5те,гз, 2 г 2 "г откуда находим 25 вз: = "з (2тз + тг + тз ) (знак «-» означает, что направление угловой скорости в„совпадает с направлением вращения часовой стрелки). 20.6. Удар по телу, вращающемуси вокруг ыеподвыжыой оси.

Центр удара Определение импуласое ударных реакций Рассмотрим удар, импульс которого У, по твердому телу массой т, вращающемуся вокруг неподвижной оси (рис. 20.11). Пусть зто будет ось Ол прямоугольной декартовой системы координат Олух, связанной с телом. В точках закрепления тела появятся импульсы Я„, Ул ударных реакций, проекции которых на оси обозначим Я„„Я„,Я„,, Я„„Яа . Согласно теоремам об изменении количества движения и главного момента количеств движения при ударе для данного тела, Рис.

20.11 672 М=0-0, =У+У„+Х,; зК =К вЂ” Ю'=М (У)+М,(У„)+М (У,), где Д, Я, — векторы количества движения тела после и до удара, К„, Ко — главные моменты количеств движения тела отно— — <о> сительно точки О после и до удара. Так как ЬД = т(йс — й( ) = т(а х гс — (о ох гс ) = т(оа х гс, получаем г' 7' /( 0 0 Л =т~(( — у(Ьа)+рсЬа+7( 0], (20.34) ЛД= т хс ус г С помощью системы (20.36) при заданных импульсе У и точке его приложения определяют изменение угловой скорости Ла (см.