Termeh (Курс теоретической механики - МГТУ, 2005. В. И. Дронг, В. В. Дубинин, М. М. Ильин), страница 84

последнее уравнение), а также ЯА„ЯА~, ЯА„ЯВ„, ЯВ . Последнее уравнение (20.36) уже было получено ранее (см. (20.17)). 673 где Ла=Ла, =а, — ао: Определим проекции главного момента количеств движения тела на оси координат по формулам для твердого тела, имеющего неподвижную точку, при условии, что а, =а = О,а, ~ О, К„= —.У,,а, К = — у а„К, =1,а„ як = ААк лКу = '7ут~ ~а (3(Кз = '~г'"~а ' (20'35) Система уравнений (20.32), (20.33) с учетом (20.34), (20.35) имеет вид ЬД, = — тУ, Ла= Я, +ХА„+ Я„; (=((еу тх('~а ~у + ~Ау + ~оу 1 ЛД„=0=5 +ЯА,; (5К„= —.7 Ьа=М,(У)+М,(Б,()+М„(У ); ~Ку = у (ъа=МуР)+МуФА)+МуРВ) ЛКВ =.у,(за = М,(У).

Центр удара Рассмотрим теперь задачу о нахождении условий, при которых удар, произведенный по телу, не создает ударных реакций. Положим в (20.32), (2033) Я, = Уе — — О, тогда уравнения (20.36) примут вид — туг Да=Я,; тх, Да=бу; О=Я,, (20.37) -~и~~=~л.Аз -~и~~= уР); ~л~~=~уФ) Из третьего уравнения системы (20.37) следует, что импульс Я должен быть перпендикулярен оси вращения тела Ог. Выберем плоскость Оху так, чтобы в ней находился импульс У, а ось Ох направим параллельно Я (рис.

20.12). Тогда Я =О, Я, =Я, М„(У)=М,(о)=0. Пусть ОФ=!. Уравнения (20.37) примут вид — ту, да = Я; тхс да = 0; 0 = Я,, —./ Да=О; — 1 Да=О; 1,Да= — Б. Рис. 20ла 674 Из второго уравнения имеем хс = О, из четвертого и пятого находим .lм =У =О. Это означает, что центр масс тела лежит в плоскости Оуг, ось Ог является главной для точки О, а импульс У ударной силы перпендикулярен плоскости, проходящей через ось вращения и центр масс тела. Из первого и последнего уравнений получаем (20.38) Из (20.38) следует, что знаки ус и 1 одинаковы, т.

е. центр масс системы и точка У лежат в плоскости Оуг по одну сторону от оси Ог. Точка гт', в которой приложен импульс Я при отсутствии ударных реакций подшипников, называется центром удара. Если центр масс системы находится на оси вращения, то у, = 0 и 1 = со, т. е. в этом случае центр удара отсутствует (из уравнения (20.32) следует У„+ У = — У). Отметим, что удары по уравновешенным вращающимся валам машин передаются на подшипники.

Итак, чтобы при приложении к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, ударного импульса не возникали ударные реакции в опорах„т. е. чтобы существовал центр удара, необходимо и достаточно выполнить следующие условия: 1) ударный импульс должен быть перпендикулярен плоскости, проходящей через ось вращения тела и его центр масс; 2) точка У пересечения линии действия ударного импульса с плоскостью, проходящей через ось вращения тела и его центр масс, должна лежать в этой плоскости по одну сторону от оси вращения вместе с центром масс; 3) ударный импульс, произвольный по величине, должен лежать в плоскости, перпендикулярной оси вращения и проходящей через точку О, для которой ось вращения является главной осью инерции тела.

Замечание Покажем, как на оси Ог определить точку О, для которой ось врагцения является главной. Проведем оси Ахь Ау,, параллельные осям Ох, Оу (см. рис. 20.12), тогда х= хо у= ум г=г, -а(ОА= о). Далее дня центробежных моментов относительно осей систем Охуг и Ах,у,г, имеем ./ =,Уча, 675 .У =,У „, — ту< а. Если ось Ох является главной для точки О, то .У =,У =О. Поэтому Учч =0 и а=l,чу'<ту< ).

Оси Ах, и Ау, должны быль расположены так, чтобы легко было определить .У „, . г Пример Жл. Однородный диск массой и и радиусом Я закреплен жестко на оси и может В .0 вращаться вокруг оси Ох <рис. 20.13). В точке К лх перпендикулярно плоскости диска приложен имлх> пульс 5 ударной силы. В начальный момент диск <о1+) покоился. Я Определить угловую скорость диска после О К удара, а также ударные реакции; найти центр С у удара.

У< Решение. Введем систему координат Оху. Диск лежит в плоскости Оух. Ось Ох — главная в х КА У точке О, так как она перпендикулярна плоскости симметрии диска Оху, поэтому центробежные А — -5 Ау моменты относительно осей Ох, От и Оу, Ох равны нулю:,У„=.У =О. Координаты центра масс А'У Ах х, =О,уг =Я. Обозначим ОК=У. Рис. 20ЛЗ Составим уравнения для теоремы об измене- нии количества движения в проекции на ось Ох и для теоремы об изменении главного момента количеств движения относительно осей Оу и Ох <лн<ь = 5+5А2+5в* Уж<с* =5н2ОВ 5АОА У<ы, =5у где л<„— проекция скорости центра масс на ось Ох, иш = -ш,уг, уг = Я; ш,— угловая скорость диска после удара Решив систему уравнений, получим 5у 45у ОА 5 ( 4 у) 2 ' Я < А2 ,У, 5я<Я~ 'ОВ " 1+1<, 5 Я! где У=ОК; У, =тЯ~+,У; =-мЯ~; )<=ОА(ОВ.

4 Очевидно, что 5„=5в --5<ь =О. Ау Яу А* Для нахождения центра удара положим 5„„= О, тогда 5л„= 0 и 4 Ул 5 1- — = О, отсюда у, = — Я . 5 Я 4 Таким образом, центр удара <точка М) лежит на оси Оу на расстоянии ОЛ< = <5(4) Я. На рис. 20.14 построены зависимости е,<у), 5А„УУ) при 1=1, Оьуь2Я. 676 8 Я 5>и й Я тЯ 0,5Я -0,ЗЯ Р у Ряс. зол4 20.7. Удар но твердому телу с неподвижной точкой. Центр удара.

Удар но свободному твердому телу Приложим импульс У ударной силы к твердому телу массой и, имеющему одну закрепленную точку О (рис. 20.15). В неподвижной точке О выберем тройку главных осей инерции тела. Воспользуемся теоремой об изменении главного момента количеств движения для осей координат и определим изменение угловой скорости: ~1'Ух (~ ) . ~е'х азх геох— ~х м,(У) оезг = езг е>м = (20.39) У„ ~7 (~) ~го/з с'/ е'07 .7- где .Ух ..У, 7 — главные моменты инерции для точки О. Импульс У„ударной реакции вычислим с помощью уравнения, выражающего теорему о движении центра масс тела: лпз~< =У +У, (20.40) 677 где Лгг = усох го; ба = ге — в . При ударе по телу, имеющему неподвижную точку, также можно определить центр удара.

Рассмотрим частный случай. Пусть ось Ох, — главная центральная ось инерции тела, а импульс У параллелен оси ОХ (рис. 20.16). Тогда М» (Я) =0' Мг(Б) =ЯУк' Мг(~) = ~Ух Пусть Уо = О. Уравнение (20.40) в проекциях на оси координат имеет вид тЛсв~У, =Я» =Я; — тЛв~У~ =Я~ =О. (204!) Согласно (20.39), ~~и Лгв» =0; Лсв„= — ~; гсвг = ~ (2042) Уг У» где,У„, .Уя — моменты инерции тела относительно осей Ог' н О».. Рис.

20.16 Рис. 20.15 Из первого выражения (20.4!) и второго (20.42) находим У,с — — У„ /(тс,«), У„задаем произвольно и из третьего уравнения т (20.42) определяем Лсе . Координата Х, произвольна. Ввиду того, что Хц и Уи произвольны, точка Ус' — зго любая точка плоскости У = У„. Это решение доказывает сущест- вование центра удара. Ьс« Я Пусть теперь импульс Я прило- С жен к телу массой т, имеющему угловую скорость сс и скорость центра Х масс О (рис. 20.! 7).

Необходимо Рис. 20.17 определить угловую скорость тела се 678 (или ЛЮ = йз — йз в ) и скорость центра масс тела й<. (илн Лй< = йг — й<. ) после удара. Согласно теореме о движении центра масс, мгновенное приращение скорости центра масс тела в проекциях на главные центральные оси инерции — оси координат Сап равно Лн,х = — '; Лиг, = —; Лнг = —. (20.43) ол . ог, ог Для определения мгновенного приращения угловой скорости воспользуемся теоремой об изменении главного момента количеств движения относительно осей координат СХУУ: ЛХ<з = ~<тЛ<пл =М«гФ)' ЛК< „— —,У<т Лпз, =М<ч (У); Л' <7 '~<хЛ<пх М<т( ) откуда Л = <с Л = 'г ' Л = 'т (2044) )ст Г<т ~<х где .У<з /< „,.У<х — главные центральные моменты инерции тела.

Если тело совершает плоскопараллельное движение параллельно плоскости СХУ, то уравнения движения в зтом частном случае определяются из (20.43), (20.44): ох, ог, М<т(о) Лн<х = —. Лн< г = — Лыг = гп лз У<к 20.8. О евазих при ударе. Общее уравнение механики Классификация сеазей Связи при ударе в механической системе отличаются от рассмотренных ранее. В основном их подразделяют на сохраняющиеся и не сохраняющиеся после удара . Кратко это можно представить так: * Классификация связей при ударе дана в книге П. Аппеля <<теоретическая механикав (Мл ГИФМЛ, 1960.

Ч. П). 679 1) связи, существующие до, во время и после удара (как в большинстве обычных систем); 2) связи, не существующие до, возникающие во время и сохраняющиеся после удара; 3) связи, существующие до, сохраняющиеся во время и не сохраняющиеся после удара; 4) связи, существующие только во время удара, но не сохраняющиеся после него. Первые два типа связей сохраняющиеся, вторые — несохраняющиеся. Соответственно этим связям возникают различные задачи удара в системах, в которых удар вызван либо приложенными ударными импульсами, либо мгновенным наложением или мгновенным снятием связей. Общее урпвнение мехпники Рассмотрим механическую систему, состоящую из гу материальных точек.