Termeh (Курс теоретической механики - МГТУ, 2005. В. И. Дронг, В. В. Дубинин, М. М. Ильин), страница 85

Импульсы ударных сил, действующих на точки системы, разделим на активные (заданные) У~ ~ и ударные о„' ~ импульсы реакций связей. Для гг-й точки запишем теорему об изменении количества движения: нг,(й„— г„) =у~г г +огг ~, г1 = 1, 2,...,гУ, где изменение скорости гг-й точки при ударе обозначим й„— Р„= Лг„. Запишем уравнения в виде Я„'и + Я„'" ~- ( — пг„юг г„) = 0 ( lс = 1, 2, ..., Х ). (20.45) Соотношения (20.45) выражают принцип Даламбера для системы материальных точек при ударе. Зададим механической системе возможное перемещение Бг,, юг =1,2,..., Ф.

Умножим (20.45) скалярно на Ь„и просуммируем полученные выражения по всем точкам системы, учитывая, что для идеальных связей гг (20.46) Общее уравнение механики при ударе в механичебкой системе имеет вид 680 гг ~ (Угг"! — пг,ЬР )Ьг„=О. l!=! (20.47) Если отсутствуют активные (заданные) ударные импульсы, то (20.47) принимает вид Пример 20.5. В механизме, приведенном на рис. 20.) 8, в зацеплении ступенчатой шестерни 2 с рейкой 3 имеется зазор. До закрытия зазора угловая скорость шестерни 1 равна мс < О. Массы шестерен и рейки соответственно равны шь ть я!, радиусы шестерен — г, и г„г,, радиус инерции шестерни 2 относи- тельно ее оси вращения равен р.

Определить скорость рейки после закрытия зазора. Шестерню 1 считать однородным диском. Трением пренебречь. Решение. В зацеплении шестерен 1 и 2 нет зазора, поэтому до закрытия зазора в зацеплении В ысг! = -агзагз, а скорость рейки равна нулю. После закрытия зазора в зацеплении В (удара) система имеет одну степень свободы и скорость рейки и, =а!з,г!. Так как в„=-и!„г! г шз,гз, то и,=- — 'аэ!, В соот"!"! гз ветствии с наложенными связями возможные перемещения системы выберем в конце удара (при закрытии зазора): !!3 бг = гзбя!з, г!ба!! =-гзЬРз, б = — бгр! .

!2 Общее уравнение механики имеет вид 2~! (еэ! шс)б!Р! + 1.! (газ* м20)брз + я!и б~ где .1ч = и!!г! 12, .1ч = ш Р'. б81 тг гзй„бгг — — 0 . г=! Следует обратить внимание на выбор возможных перемещений системы. Если связи, наложенные на систему при ударе не меняются, то возможные перемещения определяют традиционным путем. Если же при ударе возникают новые связи, то выгоднее выбирать возможные перемещения для системы с наложенными идеальными связями, так как при этом выполняется условие (20.46). Можно воспользоваться и принципом освобождения от связей, заменив их действие приложением импульсов ударных реакций к точкам системы.

В этом случае возможные перемещения задают без учета дополнительных связей, а импульсы ударных реакций вводят в уравнение (20.47) как заданные (но неизвестные). Рис. 20.18 Подставив в уравнение все зависимости, получим г (лг1'~ +2вггр )егсггд "г г г г гг(лг,«г +2лггр +2вггг ) 20.9. Уравнение Лагранжа второго рода прн ударе в механической системе Рассмотрим механическую систему, состоящую из Ф материальных точек, на которую до и после удара наложены голономные связи ~,(х„,у„,л,,г)=О, у=1,2,...,лг. Тогда число независимых координат и = ЗЖ вЂ” и .

Запишем для такой системы уравнения Лаграюка второго рода гг' дТ дТ вЂ” — — — =Я (г=1,2,...,л), й дг), дд, где Т,рг, Д, — соответственно кинетическаЯ энеРгиЯ системы, обобщенные координаты, обобщенные силы. Проинтегрировав уравнения (20.48) по времени от О до т, по- лучим дТ дТ дТ вЂ” =Л вЂ” =Я, (1=1,2,,л), дЧ,, дФ, с дч, 682 ! где Я, = ~Яг/! — импульсы обобщенных ударных сил. Так как о дТ ) 'г дТ вЂ” есть величина конечная за время удара, то 1 — с/(= дд,) , до, (дТ11 — т -ь 0 (обращается в нуль).

'(д гя Пример 20.6. Рейки ! и 2 массами ш, и тз соответственно находятся в зацеплении с шестерней С (однородным писком) массой и и радиусом г (рис. 20,19). К шестерне С приложена пара ударных импульсов с моментом Ь. Рис. 20.19 Определить скорость рейки ! после удара, если до удара система покоилась. Трением пренебречь. Решение Применим уравнения Лагранжа второго рода. Обобшеиные координаты хп хз указаны на рис.

20.19, связи в системе при ударе не меняются. Кинетическая энергия системы з з з з штг шсз* л!!х! шзхз Т= — + — ** + — + —. 2 2 2 2 Скорость центра масс и угловая скорость шестерни С соответственно рав- !<„ - вЂ(х, +хз)/2, кгг = 0 н ез, = (х, — хз)/2г, где ( ~!г = "зг = 0 ). После подстановки и математических преобразований выражение для кинетической энергии принимает вид „.з 2 Т = — !(Зт+8т!)+ — х,хз+ — ~(Зш+8шз) .

16 8 16 683 Вычислим обобщенные импульсы: Ьб!р Е Еб!р' ь' Ьх 2г Ьх 2г и составим уравнения дт х, т. А о — =5ч. или — '(Зт+8т,)+ — хя = —; д», "' 8 8 2г' дт т. х ь Л вЂ” =дч, или — х, + — 2-(Зт+8т!)= —. дт1 дт~ Здесь = = О, твк как до удара система покоилась. дх,, д'2, Из полученной системы уравнений находим проекцию скорости рейки ! на ось Ох после удара 2А(т+ 2тя) г(т ~ + Зт(т! + тя)+ 8т!тх) и, =О. г 20.10. Удар двух тел при поступательном движении. Энергетические соотношении Удар двух и!ел Рассмотрим удар двух тел, движущихся поступательно, без учета трения.

Тела 1 и 2 массами т, и т, соответственно имеют до удара скорости й! и 02 (рис 20.20). При отсутствии трения импульсы ударных сил о! и У2 направлены по общей нормали нп к соударяющимся телам в точке контакта, которую называют линией удара. Будем рассматри! т р2 вать центральный удар, при ко- тором центры масс тел лежат на „линии удара (см. рис. 20.20). НеС! ~! ~2 С2 ОбхОдимо Определить скорости й,, й, тел после удара и ударные Рис. 20.20 импульсы О!, Я2. Так как У! = — о'2, то У!+У2 =О. (20.49) 684 Нормальные составляющие скоростей тел до удара км =т, сова,; т„, =т, соза,. Чтобы удар состоялся, должно выполняться условие гы > г„, . Согласно теореме об изменении количества движения при ударе, т| (й~ — г1 ) = У1,' т2 (йз — Рз ) = У1 .

(20.50) Сложив уравнения (20.50) с учетом (20.49), получим (20.51) т,и, +т,й, =тЯ +тЯ. Из (20.51) нельзя определить скорости й,, й~ в общем случае, однако при абсолютно неупругом ударе й, =й, =й, т. е. неизвестной становится общая скорость тел после удара, которую можно вычислить. Уравнение (20.51) показывает, что выполняется закон сохранения количества движения системы двух тел. Для решения поставленной выше задачи необходимо знать коэффициент восстановления. Получим формулу для его определения. Запишем уравнения для фаз деформирования (Я® ) и восстановления ( Яа1) тел 1 и 2 соответственно: т,(й' — Р,) =Уш; т,(й, — й')=У1~ 1 т,(й — Р,) =Я~'1; т,(й, — й)=52~~, где й', й — скорости тел 1 и 2 в конце фазы доформирования соответственно.

В проекции на осы имеем т,(и', -гн) =0; т,(и„-и',)=0 лля тела 1 и т,(и, — г„)=0; т,(и„— и,)=0 для тела 2. Отсюда Р ин =и, г кн =т, 81па,; и„=и, =ым =1, япа 685 1л 2л (20.55) «2и Теперь определим й,, й2 и о) = — о2 при условии, что задан коэффициент восстановления К. В проекции на ось и уравнение (20.51) имеет вид (20.56) т, и)„+ т2и2„— — т)«1„+ т2«2„. Из (20.55) и (20.56) находим и,„= Л, /Л; и2„= Л2/Л . Здесь 1 — 1 =т2+т)', т! т2 К(«2 У! ) 1 = У,„(т, — Ктз) + т2«2„(1+ К); т)«1л + т2«2п т2 1 К(«2 «1 ) т, т1«1„+ т,у,„ = т)«1„(1+ К)+ у,„(т, — Кт,).

Л2= Окончательно имеем «,„(т, — Кт,)+ т2«2„(1+ К) и)„— т! +т2 т)«1„(1+ К)+ у,„(т — Кт,) и2„— т!+т2 (20.57) 686 В проекции на ось п получаем т,(и)„— и„') = — Я!(~); т!(и„'— у,„) = — Я)(') — (20.52) для тела 1 и т2(и2„— и„) = 52~ ); т2(и„— «2„) = Я2~'~ — (20.53) для тела 2. Из уравнений (20.52) и (20.53) находим (2) ю (2) К= —,=," "; К= —,= " " . (20.54) Я, п)„— и„Я и2„— и„ 511 и'-! ' Я21 и - 2 Условием окончания первой фазы — фазы деформирования является и„' = и„. Тогда из (20.54) получаем В проекции на ось и первое уравнение (20.50) имеет вид иг!(и,„— км) = — Я!, откуда с учетом (20.57) находим Я! — — (1ь К) Н21Н2 («!„- „); я =я! Пя! + Л22 Реьяение По условию задачи «и = «,, «2« = О, «н = О, «2, = «,, т! = л!2 =л! и К =1.

Тогда и!, =О, ия„=«!„=«!,' и! =О, Ня* = "2 . Окончательно имеем — йя ="!+«2 т. е. первый щар останавливается, а второй получает скорость центра масс «, +«2. Рис. 20.21 Энергетические соотношения Определим изменение кинетической энергии при ударе двух тел, движущихся поступательно (рис. 20.22).

Удар считаем прямым центральным, трение не учитываем. В проекции на ось и, согласно (20.51), имеем и ги!и! ! ги2и2 гн!«! +гн2«2' Тогда с учетом (20.55) Рис. 20.22 и, — и2 « — « ! 2 Потерянная кинетическая энергия системы Т„=Т вЂ” Т, где 2 2 2Н2 «2 О— 2 2 + 687 Прил«яр Ж7. Определить скорости центров масс йп й, шаров, имеющих одинаковую массу, после абсолютно упругого соударения при скоростях центров масс «о «2 (рис.

20.21). Кинетическая энергия системы после удара 1 т,и, т2и~ + 2 2 (20.58) Т 11 + г»2 ~ ~ (»»г)~ (2060) 2 2 т+т, 2 Следовательно, 1 — К' т,+т 2 Кинетическая энергия тел, соответствукэщая потерянным скоростям, 1 2 2 Т = — т (» -и ) +-т (» -и ) . пс 2 1 1 ~ 2 2 т г Используя (20.59), определим разность скоростей тел до и после удара; (20.62) тг(1+К)И -»2).

»,— и,= (20.63) т, (1+ К)(»~ — », ) »2 — и2 = т! + т2 Подставив (20.63) в (20.62), находим (1+К) (»1»2) . 2т, +тз Сравнивая (20.61) и (20.64), получаем Т„= Т„,. 1+К Таким образом, можно сделать вывод, что для данного со- ударения справедлива теорема Карно. (20.64) 688 Здесь, согласно (20.57), (т, — т,К)», + т,(1+ К)», и,— (20.59) т! (1 + К)»~ ~ (т2 т~ К)~ 2 т, +т2 После подстановки (20.59) в (20.58) и преобразований полу- чаем Коэффициенты использования кинетической энергии при ударе то~, 1 — КТ. = У,. т,+т, 2 КПД процесса ковки равен т, 3 Ч= (1 — К ). Ть т1 +тз Пусть т,/т, =х, тогда 11= — (1 — К ), 1 1+х (20.65) где т,, т, — соответственно массы молота и наковальни с поковкой.