Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов 1967 (Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов Феодосьев В. И. 1967), страница 5

91 160. Фасонная пластинка закреплена н нагружена так, как показано на рис. 92. Определить критическую силу для пластинки в двух случаях: !) сила направлена вниз, 2) сила направлена вверх. Жесткость на изгиб средней части равна сумме жесткостей крайних частей. пв! злллч!! и ВОПРосы а01» Найти критическое значение силы Р для стержня, показанного на рис.

93. Концы стержня закреплены шарнирно и не получают нн горизонтальных, ни вертикальных смещений. а92. В трубку вставлен с зазором ллийс ный болт (рнс. 94). Определить силу затяжки болта Р, при которой система потеряет устойчивость. Размеры трубки таковы, что Ряс. 94. Рис. 93. ее слелует рассматривать как длинный стержень, а не как оболочку. Жесткость трубки на изгиб Е!У!. Жесткость болта Ет/!. $63 Стержень, шарнирно закрепленный по концам(рис.

95), равномерно нагревается. Полагая, что опоры совершенно неподатливы. определяем нормальное сжимающее усилие, возникающее в стержне. Оно, очевидно, имеет величину М =аГЕР, Прн силе и!Е3 М=- —, прямолинейная форма равновесия стержня должна быть неустойчивой. и при дальнейшеи нагреве стержень будет выпучиваться. Отсюла нахолим критическую температуру нО Е„р — — — р-т .

Олнако по поволу сказанного возникает слерпс. 95. луюшее сомнение. Ведь когда рассматривается задача об устойчивости стойки, сжатой силами Р, предполагается, что величина силы Р остается при выпучивании неизменной и не зависит от искривления стойки. В данном же случае при малейшем искривлении стержня сила Л! должна падать, и потому нет оснований формально переносить решение основной аадачи на данный случай. Поэтому возможно, что злесь критическая сила М булет отличаться от принятого и!Я3 значения — . !! Как разрешить возникшее сомпение7 нс истопчи вость 194, Основным приближенным методом определения критических нагрузок является знергетнческий метод.

Искомая форма равновесия задается приближенно с таким расчетом, чтобы были удовлетворены граничные условия н принятая функция возможно более близко подходпла к истинной форме равновесия, нам неизвестной. но интуитивно предполагаемой по физической сущности задачи. Спрашивается, не существует ли б' адесь опасности, что при неограниченном приближении аппроксимирующей функции к точной форме упругой линни мы не получим точного значения критической силы. ~Р 1ййаз Определить критическую силу для кронштейна, показанного на рис. 96.

Стержни защемлены и жестко связаны друг с другом. Изгиб при потере устойчивости происходит в плоскости кронштейнз. 10чз Плоская шарнирная рама, состоящая из жестких стержней, подкреплена двумя соединенными между собой Рис. 97. упругимн диагоналями (рис. 97), каждая из которых имеет длину 2Е Поперечное сечение диагоналей прямоугольное с размерами д н Ь (Ь~ 7г). Если раму нагрузить силой Р у' 2, как вго показано на рнс. 97, то одна диагональ будет растягиваться, а другая сжиматься силамм Р. При каком значении силы Р проивойдет выпучиванне стержней из плоскости рамы? НО1 ЗАДАЧИ И ВОПРОСЫ ° 67.

Известно, что длинный прямой стержень, закручнваемый двумя моментами. может при определенных условиях потерять устойчивость. Такого рода потеря устойчивости Рис. 93. наиболее наглядно проявляется прн кручении нитей и канатов. Если нить закручивать, то она очень быстро примет криволинейную форму, примерно такую, как показано на рис. 98. Совершенно очевидно, что если нить прн кручении натягивать, то крутящий мо- г мент, при котором происхо- М Ф дит потеря устойчивости, заметяо увеличивается. В проРис.

99. мессе навивки канат всегда необходимо натягивать. На примере шарнирно закрепленного стержня (рис. 99) определите величину критического крутящего момента и установите, как он зависит от растягивающей силы. Ряс. 101. Ряс. 100. ФЕЭ. Стержень постоянного сечения Р находится под действием всестороннего равномерного давления р (рис. 100). Прн этих условиях, очевидно, на стержень действует продольная сжимающая сила Р=рР. ис ястопчивость мп 11е может ли эта сила прн достаточной величине давления вызвать потерю устойчивости стержняа $99.

Прямой деревянный стержень постоянного поперечного сечения погружается одним концом в воду. На уровне воды стержень защемлен (рис. 101). Может ли этот стержень при достаточно большой длине 1 потерять устойчивость под действием выталкивающих архимедовых сил? 111» Труба, защемленная нижним концом (рнс. 102), заполняется через верхнее отверстие жндкостшо с удельным весом Т. Может ли такая труба прн заполнении потерять устойчивость по Эйлеру? г7ааааа агааlгааага Рис. !Я. Рве. 103.

Ряс. 102. 111 ° Толстосгенная прямая трубка (рис. 103) заполнена несжимаемой жидкостью. В верхнее отверстие трубки без трения вставлена пробка. Трубка и пробна закреплены шарнирно, как это показано на рис. 103. Когда к пробке прикладывается сила Р, жидкость сжимается, но в трубке продольная сжимающая сила отсутствует. Может лн трубка нрн этих условиях потерять устойчивость по Эйлеруг !Пт ЗАДАЧИ И ВОПРОСЫ 112» Тонкая длинная трубка верхним отверстием начета без трения на жесткую неподвижную пробку. Нижним концом трубка зажата в жестком основании (рис. 104).

В трубку подается давление и. Может ли такая трубка при достаточно большом давлении потерять устойчивость? ИЗ, Через трубу, шарнирно закрепленную по концам (рис. 105), прогоняется жидкость удельного веса у. Покажите. Рвс. 105. что при некотором значении скорости жидкости о труба теряет устойчивость, подобно тому как тернет устойчивость стержень по Эйлеру.

114. Рассмотрим следующую задачу. Стержень (рис. 106), имеющий на концах закругления радиуса Я, сжимается без трения между двумя жесткимя у "У' плитами. Требуется определить критическую силу. Принимая аа ось х линию действия сжимающих сил и обозначая через у поперечное смещение оси бруса, получим. как обычно, Едуч+ Ру = О, у" +а'у = О, у= А з1пах+Всозах ("= Й Рне.

1Об. На концах стержня перемещение у пропорционально углу поворота у', т. е. у= — )су' при х=О; так как положительному углу поворота у' соответствует отрицательное смешение у, перед тсу' поставлен анак минус. ИД УСТОЙЧИВОСТЬ Таким образом, получаем: В = — аЕтА, у = А(В1пах — ай соз ах). Кроме того, у=+)Ту' прн к=1; здесь у положительно ег а1 Рис. 107. при положительном у'. Следовательно.

А (В1 п а1 — а)с соз а1) = А (аЕЕ соа а(+ а%2 Вга а1). Так как А чь О, находим1 (2) 4 В. И Феодосьев 2а1— ЕЕ гд а1 = 1 — (а1)' —, ЕЕ В зависимости от отношении — из этого трансцендентного уравнения определяем наименьшее отличное от нуля вначенпе п1, а затем находим и критическую силу. 2— Поскольку а = —.. критическая сила равна о (аЕ)2 Е.Е а,= р ЗАЛАЧИ И ВОПРОСЫ здесь вместо а1 лолжен быть подставлен первый (наименьший) корень уравнения (1). Теперь определим наименьший корень а1 уравнения (1) й в функции ог —. Эту зависимость удобнее всего установить, 1 Р задаваясь несколькими значениями а1 и опрелеляя далее— ! из уравнения (1).

Результаты полсчетов представлены в зиле кривой на рис. 101. Из нее находим, что а1=п при — =0 и, следовательно, из (2) кто Р «Р !ь Критическая сила равна обычной силе Эйлера, что и следовало ожилать. 11 Но мере увеличения — величина а1 возрастает. Увеличивается, слеловательно, и критическая сила. Это то1ке пред- Р ставляется достаточно очевидным.

Но при — = 0,5, как следует из кривой, критическая сила внезапно падает до нуля н затем по мере увеличения рцаиуса Й снова начинает воз- 11 растать, достигая в пределе при — =со снова значения зй- 1 перовой силы, Истолкуйте полученный результат. йав~ Длинный упругий стержень с шарнирно закрепленными концами вставлен с зазором Л в жесткую трубу (рис. 108). Рис. !06. Спрашивается.

какие напряжения возникнут в стержне, если его сжимать силой, большей, чем первая критическая лгЕУ сила, т. е. большей, чем —, и Жесткость стержня на из- Р гиб Еу. 1Ч. УСТОЙЧИВОСТЬ 1191 !!Е. Определить критическую силу для защемленного по концам стержня (рис. 109). Стержень имеет различную жесткость на изгиб (Ы1 и ЕУ9) в зависимости от знака изгибающего момента. Таким свойством обладает, например, брус, имеющий с одной стороны Рис. !09. Рис. 110.

разрезы с плотно вставленными пластинками (рис. 109). Различная жесткость на изгиб в зависимости от знака изгибающего момента возникает также в случае сжатого стержня несимметричного сечения при наличии пластических деформаций (см. задачу 142). !!2. Защемленный одним концом стержень имеет осевое сквозное отверстие, в которое без зазора и трения вставлен гибкий трос, прикрепленный к свободному концу стержня (рис. 110). Может ли такой стержень потерять устойчивость, если к тросу подвесить достаточно большой груз Р"г »9 !!З Схема, рассмотренная в преды- л,л дущей задаче, изменена, Трос вставлен Рис.

111, с зазором, величина которого А в каждую сторону (рис. 111). Определить боковое перемещение у конца стержня в зависимости от силы Р. 9!9» Стойка, защемленная нижним концом, на свободном конце нагружена вертикальной силой, передающейся через 4* 52 ЗАДАЧИ И ВОПРОСЫ пта трос (рис.

112). Передача усилия через трос осуществляется в двух вариантах. В первом случае трос опускается вниз свободно. Во втором случае — перекинут без трения через два жестких блока. В каком случае критическая сила Р,р для стойки будет больше? Рис. 1!2. Рис. 113. аавФ В связи с предыдущим вопросом кожно поставить следующую задачу. Определить критическую силу для стойки длиной 1 в зависимости от а — расстояния от конца стойки до блока (рис.