Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов 1967 (Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов Феодосьев В. И. 1967), страница 11

Уравнение (1) дает д — + г (аА — ас) 111 и=, (2) — +— 8 А С Рнс, 191 Положим, что диаграмма растяжения или сжатия алюминия может быть схематизирована так, как это показано на рис. 191. Предел текучести алюминия ниже предела текучести стали. Так как напряжения в обоих кольцах 7 и. И, Феодосьев одинаковы, то стальное кольцо во всех случаях будет работать упруго. Ндпряжение начального натяга колец.

которое обозначим через оз, равно Л у Г т — +— Ел Ес Тогда выражение (2) примет вид г (ал — ас) о=00+ 1 1 — +— сл Ес (3) Заметим, что о не может быть больше, чем о,л. Если тем- пература нагрева /1, 11 1 г) (о.л — оо) ~ — + — ~ 1пл Ес 1 ал — ас то в алюминиевом кольце появляются пластические деформации н о=о,л. При охлаждении кбльца будут деформироваться упруго.

Тогда остаточные напряжения можно найти как алгебраическую сумму а,л и «напряжения охлаждения», полученного из выражения (3) заменой знака при Г на обратный, т, е. т (ал ас) о„, = о«л— 1 1 — +— Ел ~с (4) При о„, 0 алюминиевое кольцо выпадает нз стального. Следовательно, условием выпадания будет: 1 1 Г (ал — йс) » отл ~ — т ~Ел Ес~' (5) Возможен случай, когда пластические деформации в алю. миниевом кольце возникнут уже при посадке до нагрева.

Выражение (4), а за ним и (5) сохраняют прн атом свою силу, независимо от того, путем каких воздействий был достигнут предел текучести отл ЙВ. Если температурные удлинения кольца и конуса одинаковы, высота л, очевидно, меняться не будет. Положим, 98 яишинив злдлч н ответы нл вопгосы йи ей С.

РАСТЯЖЕНИЕ. СЖАТИЕ И КРУЧЕНИЕ 99 что температурное удлинение конического стержня больше температурного удлинения кольца: В атом случае прн нагреве в кольце возникнет растягнваюшее напряжение а, величина которого зависит от разности температурных деформаций е„ вЂ” ес„ (рис, !92). Если напряжение о остается ниже предела упругости, то при охлаждении равмеры кольца восстанавливаются н высота расно« ложення л не меняется. Если же разность е„— е,„достаточно велика, кольцо получает остаточную деформацию н прн аим Рис. 192. Рис.

193. охлаждении опустится вниз. При повторном нагреве оно снова растянется, а в дальнейшем — снова опустится. Это опускание будет продолжаться до тех пор, пока упругая деформация е „р не сравняется с величиной е„ вЂ” е„ (рнс, 193). По вели- чине суммарной остаточной деформации ~~'.,е, легко опре- деляется новая высота расположения кольца. Аналогичная картина имеет место и при е„ ( е,„. В атом случае опускание кольца происходит нрн нагреве, а растя- жение — при охлаждении, ж4» Деформация трубки в окружном направлении задана: Ь 1 е = — = — (о,— ро ).

Л Е а ' Обозначим контактное давление через р, осевую силу, возникающую в трубке, через Ас'. Тогда р(с, Ас о= — „' о=в с — л 1 .» — 2нсрд ° (,т Но осевая сила в сечении х определяется интегралом от сил трения на интервале (Π— х), т. е. М= ) УР2п)тих, о (2) где у — коэффициент трения. Теперь выражение (1) примет вид — — (Ф вЂ” и(па*). Л 1 Л ЕЬ~ о Продифференцировав зто 'выражение по х. получим: — — — р = О. иУ ох Я откуда М Р=Рое и Постоянная ро представляет собой контактное давление у конца трубки. Его находим из выражения (1), положив Ф = О; имеем; ЕА Ро= оо Следовательно, Еао — к М р= — е л ФР Из выражения (2) находим осевую силу: д(=2" "" ~ "— ) и Таким образом, контактное давление и осевая сила по мере удаления от конца трубки возрастают.

Это возрастание прекратится, очевидно, там, где осевое удлинение от сил дГ и р станет равным начальному осевому удлинению трубки. Но для нагретой трубки, равномерно расширявшейся во все стороны, осевое удлинение в момент посадки равнялось 100 яяшяние задач и ответы на вопгосы йа где л — толщина трубки. Таким образом, 1.

РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ И КРУЧЕНИЕ 1б1 24! окружному, т. е. Л,й. Выразим осевое удлинение через р н !Ч: 1 е„= — (о — Ио,). Л Х РГ е,= — ~(! — И2)е и — 1~. Х Обозначим через а то расстояние от конца трубки, на котором еще имеет место проскальзывание и существуют силы ЕАФ 4ь !',г- Ркс.

!94. Л трения. Из последнего выра!кения, полагая е = — и х=о, находим: Я 1 а= — !п ИУ 1 — И Прн х ) а е,=ег — — — — — сопя!, и мы имеем: 2леал еьл 1 Л! = р= —— 1 — и =!121 — „ У второго конца трубки распределение сил будет аналогичным. На рис. 194 показаны законы изменения нормальной силы Ф, сил трения Е1М/с!х и контактного давления р вдоль 192 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ И ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ 1М оси трубки.

Рядом для сравнения показаны те же графики для случая более короткой трубки (! < 2а). Рис. 195. 25, Рассмотрим случай а). Нормальная сила в сечении трубки (рис. 195) будет Ф = ~ ~р2пй Фх — Р. (1) з Взамен выражении (1), полученного при решении предыдущей задачи, имеем: к я Еа ~ ~Р~ — ~~-( — Р+2лттУ ~ РЕХОЙ, (2) о Как и прежде, зт р= теи Величина ра определится из уравнения (2), если в нем положить х=О: Е ЕА(а +2Я )' откуда ЕЛ иР Таким образом, получаем: — к а из уравнения (1) 2пЕДД ! 2пЕДД а и к Ф= — — +1А — — Р)е л » ! и е Рлстяжение, сжлтие и кРучение 103 На рис.

19б показаны графики изменения силы М, сил трения АЧ/Фх н контактного давления по длине трубки. Пунктиром показан ход кривых при Р= О и при некоторых других значениях Р. Трубка будет снята со стержня при той силе Р', при которой отрезок Ь (рис, 196) станет равен длине трубки 1. ф Рвс. 196. Полагая в последнем выражении 1ч' = О н х =1, находим: 2лЕЬЛ ~ — — 1) и Теперь рассмотрим случай б). Здесь и сила Р и силы трения вблизи левого конца трубки меняют направление, Поэтому М=Р— ~ УР2тЯНх, о и взамен уравнения (2) получаем к — — рл — ~Р— 2 Яг) ры )).

л я е» ~ 2м~ о Тогда вг Р = РУ Нй ввшкнив задач и ответы нл вопвосы 1йв где ЕИ рР р = — ~+ —,,„ о — Ет 2нда Далее, 2нЕал (2нЕИЬ ) — Л к — "~ к р ыдг Соответствующие законы изменения Ф, — и р показаны нх на рис. 197. При х=Ь силы трения скачком меняют свое направление. Рнс. 197. Полагая в последнем выражении %=О и х=1, находим искомое вначенне силы Р', при котором трубка снимается со стержня: Величина этой силы оказывзется больше, чем в случае а), что достаточно очевидно, поскольку растягиваюшая сила вызывает сужение трубки и увеличение сил трения, 26 Положим, что в угловой точке поперечного сечения бруса (рис.

198) возникает некоторое касательное напряжение г. Разложим его на две составляюшие т, и тю перпендику- лярные к сторонам многоугольника, По условию парности на ЯВ! Е РАСТЯЖЕНИЕ. СЖАТИЕ И КРУЧЕНИЯ 105 боковых гранях бруса должны возникать парные касательные напряжения т, и т,. Но боковая поверхность свободна от напряжений, Следовательно, т, =те — — О. Отсюда вытекает, что и Т=О.

Ясно, что доказанное положение остается верным при любом значении угла, меньшем 180'. 27 Упругая энергия бруса, центральная часть которого(диаметром г1)высверлнвается, увеличится в том Рнс. 199. Рнс. 198. же отношении, в каком будут находиться полярные моменты инерции сечений, т. е. в в' .~, В' — нг р! раз. ЙЕ. Результирующий момент напряжений т' уравновешивается моментом результирующей силы 1с, возникающей в плоскости нормального сечения (рис, 199).

Величина этой силы будет. очевидно, следующей: л я (~= ~ ~ тгз!пф1г 1ф, Но мы имеем г т =хват 11 ° поэтому /2 2 сс= ~ ~ 㠄— з1пфгуггуф= — ~~~. 3 е о 1Об РВШВНИВ ЗАДАЧ И ОТВЕТЫ НА ВОПРООЫ (Йв Момент силы Я относительно оси я равен 2 = 3 '-*У' Точно такой же момент дают и напрвжения т'. л л Я=21 ~ т'га'г= ~'" ~ гтдг= — т,„йа1. о о 29, Если бы брус закручивался без растяжения, то тогда в пределах малых перемещений между удельным углом закручивания 0 и моментом М существовала бы зависимость ЗМ бьл~ ' т. е.

жесткость на кручение была бы равной С =~ОИз. Теперь рассмотрим слу- чай кручения бруса при валиРис. 200. чин растягнвающей силы Р. Р При повороте торцевого сечения нормальные напряжения— Ьл сохраняю~ направление продольных волокон закручиваемой полоски (рнс. 200), Проекции этих напряжений на плоскость, перпендикулярную к оси полосы, равны Р байр Р' — — у = — бу ЬА ах ЬА (рис. 200). Эти напряжения дают дополнительный крутящий момент чьж Р Ьа МР= ~" Еуей 1у= Š—. Ьл 12' Присоединяя этот момент к моменту, создаваемому касательными напряжениями, находим: М = Саб + Р8 12 — — 0 (Се + -р-) 107 Е РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ И КРУЧЕИИЕ Таким образом, жесткость на кручение растягиваемой полосы равна жесткости нерастягиваемой плюс величина РЬ~ 12 Зф.

Поскольку трубка и валик не являются жесткими, то местное проскальзывание на контактной поверхности начинается раньше, чем величина момента достигнет значения Мв, Вначале проскальзывание возникает в краевых вонах контактного участка, При М = Ме проскальзывание охватывает всю поверхность контакта. Момент сил трения достигает при атом своего пределыюго значения Мв, и начинается поворот валика в трубке по всей длине контакта. Разбиваем контактный участок 1 на три зоны а, Ь и с (рис. 201). На участке а крутящий момент в трубке больше, чем в валике, и соответственно больше угол закручивания.