Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов 1967 (Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов Феодосьев В. И. 1967), страница 12

Рнс. 201. По мере перехода от сечения А к сечению В происходит передача крутящего момента от трубки к валику, и в сечении В углы закручивания трубки и валика становится одинаковыми. На участке Ь проскальзывания нет. На участке с снова имеет место проскальзывание.

Здесь уже крутящий момент в валике больше, чем в трубке. Соответственно больше и угол закручивания, По мере перехода от сечения С к сечению О момент в трубке падает до нуля, а в валике возрастает до М. Интенсивность моментов снл тренин равна Ме Ш= — ° Величина ш не зависит от момента М и определяется лишь коэффициентом трения н величиной натяга. )оэ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ И ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ по Определим теперь длину участков а, Ь. с. Рассмотрим для этого отдельно трубку и валик (рис. 202). Очевидно, из условия равновесия имеем т (а + с) = М, (2) а из условия равенства углов закручивания на участке Ь получаем вас та (О~р)ар ЯАр)ааа Из уравнений (2) и (3) находим М1 М) М М ,С,,„.

с= <а,) (4) р (Я~)аал (О )р)ар Если жесткости трубки и валика одинаковы, то из (4) получаем М1 а=с= —. 2Ма При известных а и с строим эпюры моментов (рис. 202). Рис. Ю2. По мере возрастания момента М участки а и с становятся длиннее, а участок Ь сокращается. При М=Ма сумма а+с равна 1, а Ь=О. После этого момент снл трения. который возрастал за счет роста участков а и с, не может больше ац !. РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ И КРУЧЕНИЕ 109 увеличиваться, и начинается общее проскальзывание по контактной поверхности.

Зв 1) Цилиндрической поверхностью, прохогящей по заданному контуру, выделим внутреннюю часть бруса (рнс. 203). На проведенной цилиндрической поверхности возникают касательные напряжения, парные т„. Проектируя на ось л зсе силы, действующие на выделенную часть бруса, получим ~т„1 в=о, я нлн. иначе, Рис. 203, 2) Рассмотрим элемент сглаз цилиндрической поверхности, проведенной через начерченный контур (рис, 204). После нагружения бруса этот элемент исказится и примет вид парал- 'ю г /",л ! 1 1 / Рис.

204, лелограмма, изображенного на рнс. 204. Угол сдвига Т будет определяться суммой углов а и р, т. е. у=а+р. Теперь найдем выражение для каждого из этих слагаемых. Угол а определяется углом закручивания 8 н расстоянием от центра кручения; в самом деле, из рис. 204 имеем АА' а= —.; !1Х ПО РЕШЕННЕ ЗАДАЧ Н ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ 132 но АА' = п еЕ!р. где еЕ!р — относительный угол поворота сечений, находящихся на расстоянии е(х друг от друга, п — расстояние от центра кручения О (рис. 206) до касательной к контуру в точке А. Поскольку — = 6, то а= Оп. Сече!АР !Еа ние бруса при кручении не остается плоским и получает некоторое перемещение ти(х, у) в направлении оси е. Очевидно (рис.

204), !Е!и б=' — ° лз ' 1ак как у = †, то т =й' — = бп+ —. т !Егя 0 аз откуда получаем Рис. Мб. еЕти = Š— — бп) еЕ . та '! а Интеграл от е(п! по замкнутому контуру равен нулю. Поэтому ~ т,еЕЗ вЂ” 6 ~ пе(а=О. 1 Г Но пата — удвоенная площадь треугольника ОАВ (рис.

206); следовательно, ~ «!Ел= 2Р„~ т,а'г= 20е',О. ЗЙ~ На рис. 206 показан тонкостенный профиль, главными центральными осями которого являются х, у. Положим, что прн кручении сечение поворачивается на угол Ер относительно некоторой точки С. имеющей координаты хс, ус. Образующая АЗ (рис, 206) повернется нри этом на угол ф= г — = гб. В результате возникнет продольное удлинение !г Е А' — АВ 1 ф2 1 2 нли е — — 202.

1 2 ь РАстежение, сжлтие и кРучение ан Одновременно с поворотом относительно продольной осн возможны взаимный поворот сечений относительно осей х и у и взаимное осевое смещение. Это приведет к тому, что Рис. 206. в выражении в появится дополнительная составляющая, л.шейна зависящая от х и у, т. е. будем иметь е ~гзОа+ а+6х+су з а н, соответственно.

напряжение о = Е ~.~ габт+ а + 6х + су) . 1 Депланация сечения на удлинение е не влияет, поскольку рассматривается нестесненное кручение (по длине стержня О не меняется). Постоянные а, д и с должны быть подобраны таким образом, чтобы нормальная сила в сечении и изгибающие моменты относительно осей х и у обращались бы в нуль: )У'= ~ ай)-"=О, М„=~ ауа1'=О. МУ= р охас'=О, откуда получаем: Ве,г Веот а= — —. а= — — ", Е Ои с= — Б Я 112 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ И ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ Ив где У„../2 н ./ — осевые н полярный моменты ннерцни сече- ния, а Нх и Н вЂ” новые геометрические характеристики: Н„ = ~ геу г/Е, Н = ~ г'х г/Р. Выражение (1) принимает внд Е32 / /Р //„ Н О= — г2 — — Р— — г х — — у).

2 1 Е / / Напряжения 6 дают в сечении дополнительный крутящий момент илн ЕВ~ Г /, /Р И Г2 Х я Гт Г/Р', — Е М = — К, ЕЗ2 л 2 где под величиной К понимается новая геометрическая харак. теристика /2 Н2 Нг К= "гаг/à — — Р— — /- — — ". Р /х * (3) У Крутящий момент в сечении состоит из «обычного» момента, образованного касательными напряжениями, н дополнительного 3 абто8+ 2 К 3 вб 08 ~1+~1 Г;-82К), (Ф) ! где в в длина дуги контура сечения.

Производя в выражениях (2) и (3) замену гв на Р2=(х —, — Х,)2+(у — у,)2, ЗаМЕЧаЕМ, ЧтО КООрдвиатЫ Х, И ув В ВЫ- ражениях для О н К исключаются. Это означает. что выбор полюса С может быть сделан произвольно, н здесь следует руководствоваться исключительно соображениями удобства.', Пз Е РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ И КРУЧЕНИЕ 221 рассмотрим частные случаи: а) Полоса прямоугольного сечения со сторонами Ь и Ь (рнс. 207, а).

В этом случае имеем: Р— ЬЬ у — ьь, Н вЂ” Π— О +Ы2 уз (у — — = —. Ь'Ь Ь'Ь 144 180 ' -Ьа Тогда Е82 Г Е' 1 Ь' 84 о (уз ~ М 80200 11+ — — 02) . 2 ~ 12~' " 3 1 0 120Ьз Последнее слагаемое в выражении М„дает количественную оценку нелинейного эффекта. Рвс. 207. б) Круговой незамкнутый профиль (рис. 207, б) Г=2п)сЬ. зя=2п)сзЬ, гз'„=ззу=О. К=О, следовательно, о = О, М„= — 2п)сЬЗОО, 1 3 Нелинейный эффект в данном случае отсутствует. 8 В.

И. Еь аесьее Пз ввненне злплч н ответы нл вопвосы мв 88. Лвумя цилиндрическими поверхностями радиуса г и г+дг и двумя поперечнынн сечениями выделяем нз стержня элементарное кольцо толщиной Фя (рис, 208). Аг Рвс. И6. Приравняв нулю сумму моментов относительно оси л, получим: ( т+ — г(л ~2пгз Пг — т2пг' с(г = дт дл д! дг = Ь+ — д г )2п(г+ дг)тдг — 12пгт с(г, откупа гз — — — (ага). дт д дл дг а напряжение т=О— де дл (2) Угол сдвига в плоскости поперечного сечения уз равен отношению отрезков ВС/АВ (рис. 209). Но ди г-Ь дг .

ВС= + Ф вЂ” о ~ ~ АВ=Фг, ) вг следовательно, Обозначим через о перемещение по направлению касательной к дуге круга (рис. 209). Угол сдвига в цилиндрической поверхности, как обычно, дю '71 = — ~ дл (8) Подставляя т и 1 в уравнение равновесия (!), получим: Рз дг1 д — + — 11 — — (ог)1 =О. дзз дг (.г дг (4) Естественно предположить, что перемещение о в аазисимости от г меняется, как и при обычном кручении. по квад~ ратичному закону, т. е.

и = ое+' о1з+ озз где оз, оп оз зависЯт только от г. УРавнение (4) после под- становки о распадается иа три следующих ~ — (озг)'1 = — 2оз, ~ — (о,г)'~ = О, ~ †(озг)'1 = О, (б) откуда В В о, =А,г+ —, оз=Азг+ —. 1 2 г г Наконец, подставляя оз в правую часть первого из уравнений (б), получим: ое = Аог + — — — г — Взг 1и г. Аз 3 г 4 Так как на оси стержня перемещения равны нулю, необходимо положить Вз=В,=Вз=О. Тогда Аз о =Азг — 4 гз+ А,гз + Азгза, а согласно выражениям (2) и (3) т=0(А,+2Азг)г, с=О 2 Азгз. 1 На левом торце, т. е. при и=О, касательные напряжения равны нулю.

Следовательно, А,= О. На поверхности цилиндра ( — )— и ив прн г=-нг-)1 Ф= —, поэтому Аз= —, и в итоге по ид ' ядз6 ' лучаем: 16ж Т= — ГЕ нбз — гз 4а и44з зз) Е РАСТЯЖЕИИЕ. СЖАТИЕ И КРУЧЕНИЕ Пб а соответствующее напряжение 116 вешенне злдлч н ответы нл вопгосы 134 Таким образом, напряжения т распределены по г и х ли- нейно, что следует и из обычной теории кручения. Напря- жения 1 распределены вдоль радиуса по квадратичному за- кону.

Отношение наибольших значений т и Г будет: тиара 16лг Ы 4гп де — = — 3— с„,~„,Ыз 2 ' паз 4 д ' Следовательно, для длинного цилиндра напряжение Г „ много меньше, чем т„, . 84. Рассмотрим условия равновесия элемента бх арубе (рис. 210, а). т дгх г — ~й7х дх Рис. 210. Равенство нулю суммы проекций всех сил на ось х дает дт„дту — „"+ —" =О. дх ду На контуре (рис.

210, б) имеем граничное условие т соза+т„з1па=О, или — +т, — „=О, т,л'х= — т бу. Дх ду (2) Теперь рассмотрим указанные в условна интегралы ~ ) т„уИхИу, ~ ~ т хс(хну. х у 1. РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАГИЕ И КРУЧЕНИЕ 117 Интегрируя по частям первое выражение по Ггх, а второе— по Ггу, получаем: 2 к У к 1 1"~*о~.=1 ~~ „и„' — 1' —,злу~.~..