Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов 1967 (Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов Феодосьев В. И. 1967), страница 14

Феодосьев 130 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ И ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ 1М (рнс. 2271. Из этого условии определяется реакция 1с. Остальные реакции определяются из уравнений равновесия: А=Р, В=а7, М=1ааа. 49а Перемещение з точке приложения каждой из снл Р (рис. 228) определяется обычным методом н имеет величину +пе~ — — 2)+аз-З 1 где а=аЯ, Наименьшее значение перемещение 6 принимает прн а = 0,148. 6Р. Перемещения в точке А для трех рам будут следующими: = — Ъ= — ',—,+ —, Раа Раа и 3 2 3Еа' * 2 1, бар ЕУ ( — -,+ — -.) Для круглого сечения балки, т.

е. при ЕУ/ОУ =1,8, имеем 6п — — 1,136~,' 6ш — — 1,726Р таким образом, наиболее жесткой является рама У. $1 ° Предложенная аадача может быть решена двумя спосэбами. Первый способ, пригодкый н для пружин большого угла подъема витка, заключается в том, что пружина рассматривается как пространственный брус. Перемещения определяются методом Мора. Основная трудность состоит при этом в сложности геометрических соотношений, Второй. упрощенный способ, которым мы и воспользуемся. заключается в том, что пружина ааменяется некоторым эквивалентным прямым брусом. Жесткость этого бруса на нагиб вычисляется в зависимости от' взаимного поворота витков Ьц 11, Геометвнческие свопствл сечений, изгив щ (рис. 229, а).

Кроме изгибных перемещений брусу свойственны заметные перемещения сдвига в вертикальной,плоскости (рис. 229,6). ф л/ Рис. 229. Чтобы определить жесткость зквивалентного бруса на изгиб и сдвиг, рассмотрим виток пружины, полагая, что угол подьема равен нулю. Виток выделим сечениями, расположенными а1 Ряс. 230. в вертикальной плоскости (рис. 230, а), В концевых сеченнвх витка возникают моменты М н силы (~. Их величины легко 132 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ И ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ ~51 М„А(„1)1ЛЗ 1 (' АЕлМл1)байр о где крутящий н изгибающий моменты, как видно из рнс.

230, в, равны М„= М соз 1р н М„= М з)п 1р. Соответственные вначення имеют и моменты от единичных факторов М„, =сов 1р, Мл, =з!п1р. После интегрированна получаем: МлР 1 1) 2 ( РУ Е.Г нлн Ю= е 22 (2+ Н). 32МР Как следует нз рнс. 229, а, 1/р = б//г, где /г — шаг пружины. Прн числе внтков и имеем /2=1/л, Тогда 1 бп р нлн 1 М Еллг 32 Рп (2+ р) Величина 22З л/ л может рассматриваться как жесткость эквивалентного бруса на нзгнб. Обозначим ее через С„: елч 32 Рп (2+ 11) и' 1 М Р ьи (2) определяются нз условнй равновесия отброшенной части пружины. Момент М создает взаимный угол поворота сечений на угол Ф (рнс.

230, б), величина которого определяется прн помощн ннтеграла Мора зл 2л вц и, ГБОметРические свойства сечений. Изгив 133 Перемещения сдвига обусловлены изгибом витка в его пло скости (рис. 230, г). Очевидно. Мвл!в1тТ ~, Е3 в где М, =(Я з!п ф, Мв, = А1 а1п чь После интегрирования получаем: ц!Твп вв ЕЕ/ Дополнительное угловое смещение Ьб= — =— вв Л Еттв! 3!Твл Это выражение можно написать в виде Лб=~ —, (3) где ЕГ!'! Сввв = я)вл ' (4) где величина Е.! должна быть заменена на С„. Перемещение сдвига =Лб! = —. Р! свв С ввв Таким образом, Величины С„ и С, определяются выражениями (!) и (4). Аналогично решаетси задача и при других видах нагруження. Прогиб пружины, нагруженной поперечными силамн, будет У=У.-+У В рассматриваемом конкретном случае защемленного одним конном бруса нзгибное перемещение равно РР У =— 3Е.! 134 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ И ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ 1а'.

ЕЗ[ Венгр тяжести пружины должен совпадать с осью баланса. Отделив колодку, рассмотрим внутреннюю часть пружины (рис, 231). В сделанном сечении А приложим изгибающий момент М, нормальную и поперечную силы Гы' и Я. Такие г,„ же силы будут действовать и па колодку. В точке В с координатами х, у иагибаюший момент от этих снл, очевидно, будет Мы,„= М+. ду+ +М(г„— х), У где ㄠ— радиус колодки.

Рыс. 231. При повороте колодки па малый угол ф против часовой стрелки сечение А повернется также ка угол ф. Кроме того, оно переместится по оси у на величину г„ф. Смешение же по оси х при малых перемещениях будет величиной высшего порядка малости. Выразим перемещения интегральным образом через изгибающие моменты: ! Г 1 ыг [™ызгМггнзГЗ =ф щ ~ МызгМ1лгга= гзф 1 Г Му [ М М г(8=0 где М,, М, н М,о — изгибающие моменты от единичных силовых факторов, соответствующих моменту М и силам ГГ н Ц. т. е. Мьм=[ М1м=г — х М1о=у Интегрирование распространяется на длину всей пружины. Следовательно, имеем: [ [М+ Яу+Гт (гы — х)[ ГГЗ =Ейф, ~ [М+ Оу+дГ (г„— х)) (г„— х) ГГЗ = Еугыф, ~ [М + Яу + ГГ(г„— х)] у г(а = О, ей н.

ГеОметРические сВОястзл сечении. изГиб !35 или после интегрирования: М)+ЯЯ +И(г„) — 8 )=Еур, М(г„) — 5„)+Я(г„5„— 1 )+И(гэг — 2г„8 +У)=Е/г„ср, М~.г +~с'.г+ Г" СгкЕ.Г ~.гг) где Е„= ~ уп'г, /„= ~ утай, у„~= ~ хупг, у„= ) хтг)г, à — длина ленты. Положим Я=И=О. Тогда получим: Лй= =ЕЛр и 3„=8 =О. Последнее условие означает, что оси х и у должны проходить через центр тяжести пружины.

1' жестиархимедовойспи-,,' з ' ' ( )'~ ' ралн, каковой является ~ ', ', ~, г , ~ ° , совпадает с центром ' ) Г' вращения колодки. в часовом производстве для соблюдения указанного условия практп-,',,' Д .'...,г, зпшы баланса с отогну- Г ', '. ---', , 1 , ° - , / тым внешним концом. Типичные примеры по- --ьдобных пружин пока- Рвс. 232.

заны на рис. 232. 53 Основной вопрос, который возникает при решении этой задачи, заключается в выявлении характера соприкасания листов пружины. Предположим, что связанные листы соприкасаются в точке у конца меньшего листа и, кроме того. — в точке связи, где вертикальное смещение и угол поворота одинаковы для обоих листов, Соответствующая силовая схема показана на рпс. 233, а. зсля несвязанных листов Хз;О, Ха=О, 136 Решение ВАдлч и ОтВеты нл ВОпРОсы 1зз Перемножая единичные эпюры моментов (рнс.

233, б), получаем: ЕгЬ = — Р ЕгЬ,з = — Р, Е/Ьгз —— ЗР; Ей аз — — Р, Е,Вгз — — Р, Еаза — 21; 14 р1з Ед 4 р1з ЕуЬ 6 рР 3 М 4 Ряс. 233. Решая уравнения метеле сил "у Х~1+.уХ 1+ЗХ = — Р1, 16 5 14 3 1+3 з+ з 3 ЗХ,1+ Хз1+ 2Хз = — Р1, нахоянм: .641 и. ГеОметРические свОпствл сечении. изГиБ 137 Для несвязанных листов Х,= — Р, Х=О, Х =О, На рис. 233, в сплошными линиями показаны суммарные эпюры для связанных листов, а штриховыми — для свобод- ных листов. Теперь необходимо проверить правильность сделанного предположения о характере соприкасания листов. Рассмотрим сначала штриховые эпюры (рис. 233, а). Изгибающий момент, а следовательно, и кривизна нижнего листа в зоне защемле- ния больше кривизны верхнего листа.

Это означает, что упру- гая линия нижнего листа расположится ниже упругой линии верхнего, что и соответствует сделанному предположению. Для связанных листов эпюры на первом участке совершенно олинаковы. Слеловательно, злесь имеет место полное сопри- касание без силового взаимодействия, что также не противо- речит сделанному прелположению. На втором участке упругая линии нижнего листа прохолит ниже упругой линии верхнего. Таким образом, слеланное предположение о характере соприкасания листов полтверждается полученным решением.

Перемещение точки приложения сил Р опрелеляется пере- множением суммарной эпюры верхнего листа на единичную эпюру и оказывается равным: 113 Р1з лля несвязанных листов 24 1!5 Рт! дли связанных —. 24ЕУ ' Связка листов снизила наибольший изгибающий момент с — Р1 ло-Р1. т 6 4 4 5* рассмотрим правую половину рессоры, полагая, что соприкасание листов происхолит в точках А н В (рис. 234, а). Силы Х, и Хз определяем из уравнений метода сил ЬИХ, +Ь„Л, = — Ьнв ЬЗ!Х!+Ь~Х, = — Ь.„. 11) Коэффиниенты Ьн, Ьен Ьзм Ь,р и Ь,р определяем перемно- жением эпюр !рис, 234, б): В ГЬ 1з В)Ь 1з В гб 1з 16 5 2 3 ' Га 6 ' ю 3 ВIЬш = — 3- Р1з, Ьз — — О.

14 Решение зАдлч и ОУВеты ИА ВОпРОсы 1й Теперь из уравнений (1) находим Х, и Х,: — Х вЂ” -Х,= — Р, — Х,+ — Х,=О. 16 5 14 5 2 3 ! 6 з 3 ' 6 112 140 Х = —,Р, Хз —— — Р. !03 ' 103 Суммарные эпюры изгибавших моментов построены на рис. 235. а! га У) Рис. 234. уааРу Гйагуа! Дл щж~ Суар уаа Рвс. 235. Из рассмотрения этих эпюр следует, что в защемлении изгибающий момент, а следовательно, и кривизна первого листа, больше, чем кривизна второго листа. Это'означает, гн1 зь ГБОметРические свонстаа сечений изГиб 139 что упругая линия второго листа должна при этих условиях расположиться выше упругой линии первого листа.

Этого, однако, не может быть. Следовательно, сделанное выше предположение о характере соприкасания листов является неверным, и расчетная схема лолжна быть изменена. Примем теперь, что первый и второй листы соприкасаются в двух точках: как и прежде, в точке А и, кроме того, в точке С, расположенной на некотором неопределенном расстоянии а от защемления (рнс. 238). Ряс. 237. Рис. 236. Присоелиняя к эпюрам рис.

234, б единичную эпюру, соот- ветствующую силам Хз (рис. 237), определяем коэффициенты. уравнений метода сил: ЕУбп — — Р, Е16,з = — -Р Е/6!з — аз ~21 3 1б 5 ! а1 ЕД Р ЕУ6 ~1 ) ЕИ аз ЕЯ6 = — — Р1з, 6 =О, . ЕУ6 = — — ~31 — — )Р 14 аз / а1 3 21 З) (предполагается, что а (1), В таком случае система уравне- ний принимает вил 32Х,— 5Х,+2а'(б — а) Х,=28Р, — бХ, + 4Х, — а'(3 — а) Хз = О, 2(б — а)Х,— (3 — а)Х,+4ОХЗ=(9 — а)Р, а где а= —. 140 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ И ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ ~М Решаем эти УРавненин относительно ХР Хз и Хз и находим: Х, = — (448 — 549а+ 228аз 3!аз) Р Хз — — — (560 — 684а+ 270аз — 34аз), Р Х,= — — (3 — 1 ), Р 1 з д ц Л = 4! 2 — 504а+ 204аз — 28аз Величина а (следовательно, и а) определяется из условна равенства углов поворота первого и второго листов в точке С.