Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов 1967 (Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов Феодосьев В. И. 1967), страница 10

когда напряжения по ширине листа от заклепки к заклепке не выравниваются, решение останется верным. Изменится только аа) Е РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ И КРУЧЕНИЕ ,89 выражение (2) для Фе, в котором шпрнпа листа Ь должна быть заменена некоторым эквнвалентным ему приведенным значением.

° 5. Пусть в продольном шве имеется л заклепок. Согласно выражению (3) (стр. 87) по числу пролетов получим следующие и — ! уравнений: — )~,а+ л', )Ч,а — М,а.+ Х, М,а — дгар+ дгАа Х;,а — Дгф + Н, „,а = — Р, Ф„.,а — М„,р = — Р (1+ а). Из этих уравнений следует определять неизвестные дг~ %г ~'~з )~гп-Р Заметим, что если положить Р )тг~ = ))~т = "гз = 2а — Р ' то будут удовлетворены все уравнения, кроме первого и последнего, Прнмем далее, чго Р Р ДГг = Ах — —, Фа = Ахт — —, 2а — р' ' 2а — р' Х~=Ах — —, ..., Р 2а — р' ''' где А н х — некоторые произвольные постоянные. Подберем х так, чтобы снова удовлетворить всем уравненмям, кроме первого н последнего. Подставнв Иг и Фг н М,+, в уравнение Йг,,а — М,р+М;+,а = — Р, получим Ахг 'а — —,— ()Ах~+ ~ — — + Ах'" 'а —, = — Р, Ра РР .

Ра 2а — Р Б~ — р 2а — Р нлн а — рх+ ах' = О. 90 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ И ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ пз откуда находим «+)Я~ — ча! « — )> «! — 4а! 2а ' ха 2а Теперь, очевидно. все уравнения, кроме первого и послелнего, будут удовлетворяться следующими выражениями: Р Ф! —— Ах, +- Вхя — —, 2а — « ' )Ь> = Ах!+Вх! —— Р а 1 ! 2а — « Ж. = Ах'+Вх! —— > ! я 2а — «' при любых значениях произвольных постоянных А и В. Последние же мы подберем так, чтобы удовлетворить первому и последнему уравнениям системы — «(Ах, + Вха — ~ «) + а(АХ! + Входа — 2„— -~) = — Р, а (Ахя-!+ Вхя-я ~ «(Ахя-!+ Вхя-! )— Я 2а — «) '! ! Я 2а — «, = — Р(а+ !), откула Ра А= — — Х 2а — « хяЯ Я(а — «хя)+ха(« — ! — 2а)(ах — «) х,л" я(ах! — «)(а — «х ! — х," яхт(а — «х!)(ах! — «) Ра В=+ —, Х 2а — « х! (ах, — «) (« — 1 — 2а)+х1я я(а — «х,) х,ха (ах1 — «) (а — «х!) — х", ха (а — «х!) (ах! — «) Усилия в заклепках равны: Р11 '~ 2 Рщ = )!(з !Щ н вастяждние.

сжатие и киичяние 91 1Вв Рассмотрим условия равновесия (рис. 184). Очевидно, — '=г. ИЛг, Их (1) Далее, согласно условию 1=й(и,— и,); (2) элемента винта ио Ии Ии в г — =е, — =г, в И ° Рис. !84 в г е,= .„.. е,= —.. Следовательио, в реаультате дифференцирования выражения (2) получим ( в г ) Подставим сюда г из уравнения равновесия (1): ио очевидно условие г"ч', = Р— 1в'„ поэтому получаем Ивгггв аР в рщ Их' в — ЕР ° где (ЕР +ЕР )' Решением однородного уравнения И г'Гв в аагД б Их' в— будет: М, = А ай ах+ Вой ах. Присоединив сюда частное решение уравнения (3), получим )Ч, = А а!1 ах + В с)г ах + — „, аР (4) гРг 92 гишение задач и ответы нл вопгосы на Постояипые А и В вайлем из граничных условий: при х=О М,=О, при х = ! 11, = Р.

После решения получим аР 1 — сии! Р ИР А т г. а'Етет в!т ат в!т ат ' авЕтдт ' +, В= — —,' Е,Е, Щ Рвс. !85. Нормальное усилие в винте равно Р 1 ~виа! — ви а(т — х) ваах1 Е Ев! ви а! — +— ЕвЕв ЕтЕт Нормальное усилие в гайке: И,=Р— М„ Усилие иа витки резьбы равно Р а 1'сиа(! — х) свах1 вйа! ). Е,Е, + Е,Ев~ 1 — +— ЕвЕв ЕтЕт На рис. 185 показам характер изменения этих величин по оси винта и гайки.

Е РАСТЯЖЕНИЕ. СЖАТИЕ И КРУЧЕНИЕ 17. Задача решается точно так же. как и предыдущая. Различие вносится только граничными услозиямн, которые теперь будут следующими: при х=О М,=Р, при х=1 М,=Р. Эти условия удовлетворяются при следующих значениях постоянных А н В: Нормальное усилие в винте будет Йг +ЕЕ Нормальное усилие в гайке равно М„= Р— Мв. Усилие на витки резьбы будет ФФ Ра сз ах — ся а (1 — х) Фх 1 1 ай а)Е Е Ев' в Евв в Характер изменения величин М„ Л~в и 1 по длине винта показан на рис.

186. 94 Решение ЗАлАч и ответы ИА ВОпРОсы 1 за $яв. Если к винту прнлокапь сжимающую силу Р с такнм расчетом, чтобы шаг его резьбы уменьшился на Аь, а затем навернуть гайку, в резьбе никаких усилий не возникнет. Если теперь болт разгрузить. то в системе .возникнут точно такие же усилия, что и в системе, рассмотренной в предылущей задаче. Поэтому полученное ранее решение пригодно н лля мастоащего случая, если только сила Р дает в свободно растянутом винте удлинение Ь на один щаг. По закону Гука Рз Ь= —, Е Гь где з — щаг резьбы.

Таким образом, лля того чтобы полу- чить интересуюшее нас решение, достаточно в выражениях послелней задачи заменить Р на — Е,Р,. Л 19~ Наиболее благоприятными условиями слелует считать те, при которых усилия на витки распределяются более рав- номерно. В первом случае сильно перегружен первый виток.

Во втором случае сила ватажки приложена к гайке выше первого витка. Диаметр гайки в нижней части уменьшен. Поэтому усилия на первый виток в этом случае будут мень» шнмн. Тем самым (прн том же усилии затяжки) догружаются остальные витки. Условия работы витков во втором случае будут более благоприятнымн. На основе сказанного не надо, однако, лелать вывода, что вообще во всех случаях следует применять гайки типа 2 (рис. 18). Ясно, что усложнение всякой конструкции, осо- бенно конструкции такой ходовой станлартной детали, как гайка, может быть оправдано только в том случае, если это усложнение дает реально ощутимые результаты.

Так как перегрузка нескольких витков резьбы по сравнению с прочими витками лимитирует прочность реаьбового соединения только в исключительных случаях, то и соответственно в виде исклю- чения может быть рекомендовзно применение гаек описан- ного тнпа, 20~.рассматриваем систему стержней в деформированном состоянии (рнс. 187) и, задаваясь перемещением точки А, вл нщем силу Р. По чертежу замеряем угол а, — .и †. По С ' ! кРивой Рис.

19 нахолим УсклнЯ Р, и Рм соответствУюшие тц ь Растяжение. сжлтнп и КРкченни 95 дт, ил удлинениям — и — . Сила Р определяется из условия Ю Е равновесия Р=2Р,соза+Рз. Задаваясь несколькими значениями ил, можно построить зависимость и„от Р. Полученная кривая ил — — 7(Р) для заданной диаграммы растяжения тяг показана на рис. 187. 7 дх 80 lХ Ряс. 187 Йя.

Случай 1 имеет место при больших, а случай 2 при малых углах а. Случай 3 является граничным между двумя первыми. Величина соответствующего угла а может быть найдена приближенно в предположении, что жесткость нити значительно превышает жесткость резины и что, следовательно, вся на- грузка почти целиком воспри- Р Р ннмается нитями. Выделим влемент резино- 1~ил кордного цилиндра(рис. 188) с размерами а и а1да. При таком выборе размеров в оба сечения влемента АВ и ВС попадает одинаковое число нитей.

Обозначим через Р усилие в нити, тогда равнодействующая сил в сечении АВ будет равна Рлв= Риз|па, 96 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ И ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ !ж где л — число нитей, попавших в сечение АВ. В сечении ВС соответствующая равнодействующая будет Рве — Рл сов а. Ко нам известно, что при нагружении цилиндра внутренним давлением окружное среднее напряжение вдвое больше осевого. Следовательно, ' ВС 'А — =2 —.

а1еа а Подставив РАв и Рвс, найдем 1етп =-, п = 35'16'. 2' При ятом значении угла а цилиндрическая форма оболочки сохраняется. При а ) 35'16' цилиндр деформируется так, как Рнс. 189 вто показано на рис. 21, П а прн а(35'16' — как на рис. 21, 2. Заметим. между прочим, что задачи по исследованию подобных резина-кордных конструкций возникают при расчете автомобильных покрышек. Для долговечности покрышки вопрос о выборе угла расположения нитей (рис. 189) имеет большое значение. Изменение угла в ту или иную сторону Е РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ И КРУЧЕНИИ 97 221 от оптимального для данного типа покрышки влечет за собой снижение срока службы шины. Нужно, однако, сказать, что для покрышки этог угол определяется не условиями равновесия, как в рассмотренном примере, а оптимальными условиями усталостной прочности нитей при переменных напряжениях, возникающих при качении колеса.

Йаа, Указанное явление может иметь место в том случае, если при нагреве в алюмкниевом кольце возникнут достаточно большие пластические деформации. Обозначим через Ь рззность между внешним радиусом внутреннего кольца и внутренним рааиусом внешнего кольца до посадки. Очевидно, ел+ее = — (1) Ь 11 ' где еА — относительное укорочео Ф ние дуги алюминиевого кольца, Ф ес — относительное удлинение Рис. 190. дуги стального кольца. В пределах упругих деформаций при наличии дополнительного нагрева аА "с е = — — а1,е = — +аг, А ЕА А' с Ес с' где о и и — напряжения в алюминиевом н стальном коль- А С цах, оа и и — соответствующие коэффициенты линейного расширения. С другой стороны, прн одинаковой толщине колец, как это следует из условий равновесия (рис 190), и = и = и.