Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950), страница 14

Так называется тензор, компоненты которого в таблице симметричны относительно главной диагонали, т. е. 5 = Яии, еа иш1 Ьг, = о , 8„ = Я.„; из девяти компонент симметричного тензора различий толькО щестьь элементы теогии поля. кинематика сгвды [гл. > 60 представляют не что иное, как скорости о лносительных удлинений бесконечно малых отрезков„ расположенных соответственно по на- правлению осей Ох, Оу и Ог, а диагональные компоненты; "и ие 2 (дх+ ду~' 1 (57) равны половина.к скоростей сдвигов или половинам скоростей сношений углов между этими отрезками.

Действительно, рассмотрим в данный момент времени г три бесконечно малых „жидких", т. е. образованных из частиц жидкости, вектора: МеМ„МоМя и МоМа, расположенных по осям координат (рнс. 8) с началом в точке Мо. у За время с[с жидкие частицы (концы этих векторов) М„Мя и Ма, следуя деформационному полю скоростей, которое сейчас только и рассматривается, перейдут в ноРис.

8. вые положения М>, Мз, Мз', точка Мо, поскольку исключены части дни>кения жидкости как твердого тела, останется на прежнем месте (хв — — хе=О, ув=у„=-О, «в=.«,,=0). Начальные (к моменту г) координаты точек М„М, М. будут: М,(х„О, О), Мг(0, у, 0), Мз(0, О, «), конечные координаты (к моменту Г+ас), согласно равенствам (49)„ примененным отдельно к точкам: г «е= О) « — ге = 0), « — «з = «з), М,(х — хе= хм у — уе — — О, Мя (х — хо — — О, у — уе =уз, Ма(х — х„= О, у — уа —— О, Отдельные компоненты тензора скоростей деформации имеют простой физический сл>ысл. Дока>кем, что диагональные компоненты тензора: ди ди дт не д ' ив д ~» х' у' '.* дг (56) а 10) скоеостнов полк в ок«встносги денной точки 01 будут: а) для точки М,: б) для точки М,: 1 /до да 1 хл = 0 + илеф (О, уе, 0) (Й = 2 ~ — + — ) увел!, «,+ о„ф(О, у„О)д1 у,+ — уяд1=у, 1 . 1д1~ 1 /ды дих = 0 + тилеф (О! 1'е! 0) !11= 2 ( — + — ) «я~й; 2 (, д«дг )о в) д л я т о ч к и Мо.

хо = 0 -+ илеф(0, О, ля)а!г= — 1 — + — ) гзо!Г 1 /ди, ди!л 2, дг дх)о 1 /ды дот «о=о + Флеф(0! О! гь)Ж= — ( + — ) гоЖ, 2 (,ду дг)о го =аз+ шлеф(0 О, гз) геле!= ха+ (д ) гог1е'=го ~1 +( — ) Ю). Составим теперь, например, сноросогь относительного удлинения отрезка МоМ„' это будет, с точностью до малых высших порядков: М М ММ )гУ х (!+( — ) дг1 +...— х! МоМ! хе де (д е о аналогично будет и для других диагональных колепонент. В начальный момент 1 угол между осями Ох и Оу был равен 90', косинус его — нулю.

Обозначим через т „уменьшение (скошение) этого угла к моменту 1+И; тогда получим, в силу бесконечной малости угла у — е., со$ (МоМ! МоМл) — соя ( ухи) = $1п уо!в = или, используя известную связь косинуса угла между двумя напРавлениями с их направляющими косинусами, в данном случае с точностью до малых высшего порядка, равными: х! =- хл + илеф (хн у, = 0 + ол,ф (х„ г! = 0 + гольф (х1 О, О)дг=х,+( д") х,ж=х,~1+®1 дГЗ, О, О)д1= — ( — -+ ) .,,11, 1 где ди' 2 (дх ду), О, О)дс= — '(ди ( д ) х,д1,.

дх о ЗЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ (гл. ! а) для направления М Мг, х, у, 1 сди дих г, 1 тди дэ1 хг ' х! 2 дх ду)о ' х1 2 ~де дх)о г б) для направления М,Мг! х., 1 сдо ди~ у., уг 2 дх ду)о ' уг получим = ! ' — ( — + х-) с!г+ — ( — + †) с!! 1 + беск. мал.

2-го пор. 1 lди дих 1 сдо дих 2 (,дх ду)е 2 (,дх ду)е 1 дге да Окончательно найдем (опуская индекс нуль) для скорости т сношения угла лОу: и аналогичные формулы для других направлений. Деформационная часть поля скоростей характеризуется еще одной важной величиной — сноростью относительного обяежного расширения в данной точке, которую можно определить как предел 1 Ы 1пп — — (Ьт), АА где дт — малый объем, в которол~ взята точка. Эта физическая скалярная величина носит наименование дивергенцаи (расходимости) скоростного поля и обозначается символом б!чУ, так что можно на- писать б!ч У = !!ш — — (~Ь).

1 ьт.+ еач "г (58) Чтобы не смешивать бесконечно малые приращения в пространстве с приращениями во времени, условимся в тех случаях, когда зто может повести к недоразумениям, обозначать пространственные дифференциалы символом 8, временные — ь!. Тогда (58) дает б1ч У = — — (3т). 1 Ея И (59) В дальнейшем часто придется находить производную по времени от элементарного объема жидкости. По (59) имеем: й иг — (дт) = б!ч У ° 8т. (59') 9 11. Скорость объемного расширения жидкости. Интегральные представления дифференциальных операторов поля.

Основные интегральные формулы $11! скОРОсть Овъемного РАсшиРенйя жидкости Для определения величины 61РЧ воспользуемся приемом, идея которого восходит еше к Эйлеру. Возьмем в данный момент времени 1 элементарную трубку тока и двумя произвольно наклонными сечениЯми (Рис. 9) ~Го, и г1ао выделим некотоРый объем АВСА1 = 8т. За время Ж объем сместится в положение А'В'С'Ю' и, вообще говоря, изменится, причем, как легко сообразить, полное изменение объема АВС0 в этом случае будет равно: г1 (8т) = объем А'В'С'В' — объем АВС0 = = объем ИЭ'С'С вЂ” объем АЛ'В'В, так как объем А'В'СО является общей частью объема трубки в начальный и следующий моменты.

Проведем внешние по отношению к объему АВСЮ нормали п, и по и внутреннюю нормаль пг, а также отметим векторы скоростей Ч, и Уя в сечениях Ио, и 1ао Тогда будем иметь; объем АА'В'В =с1а, ° л, = = — Фо, ° (г, г1г ° соз (Ч„п1) =- = — 1г,соз(Чп и,) г11 ° Иа„ объем ВО'С'С = ~Ья ло = 1' соя(Чо, п~ Ж ° газ и, следовательно, о (Ьт) — = Ч„,Но, + 1гя„гЬЕ. (60) Возьмем теперь в поле скоростей любой конечный объем;, разобьем его поверхностями трубок тока на бесчисленное множество элементарных объемов 8т; при этом входные и выходные сечения г1а заполнят всю поверх- Рнс. 9.

ность а, ограничивающую объем Просуммируем равенства, подобные (60), по всем трубкам тока; тогда, очевидно, получим обшую формулу для любого конечного объема: ич (' р ч. — — ) Уч~й= ~ 1'соз(Ч, п)а~о= ~ п ° Чда. (61) Ф о Согласно (58), получим теперь следующее интегральное представление дивергенца скорости: 61Р Ч = !пп — ~ 1г„~й = !Нп — ~ п ° Ч гЬ, (62) а..+ оа' ., ао.о о~о . а. ао ЭЛРМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ.

КИНЕМАТИКА СРЕДЫ (гл. ! где г!е — поверхность, ограничиваюп!ая малый объем Ьт, заключающий в себе точку, в которой определяется ц!ч Ч; при стремлении !!т к нулю поверхность дч стягивается в эту точку. Замечая, что выражение !Т„бч представляет секундный объемный расход жидкости сквозь замкнутую поверхность Ьч, ограничивающую объем Ьт. содержащий внутри себя точку, в которой определится дивергенция, можем еще определить величину б!ч Ч как предел отношении секундного обеемного расхода экидкости сквозь замкнутую поверхность к обеему, ограниченному этой поверхностью, когда поверхность стягивается к точке, в которой определяется дивергенция.

Как видно из хода доказательства, объем Ьт совершенно произволен по Рис. 10. форме. Выберем за ит элементарный декартов координатный параллелепипед (рис. 10); тогда, составляя непосредственно поверхностный интеграл в правой части (62) от значения Уч по всем шести граням (эти значения показаны на рисунке), получим: б!ч Ч = !Нп — — — р и + — Ьх) Ьуйв — идущее+ ~~~ ( + !о + — Ьу) Ьх Ье — о Ьх ли + до ду дм +(го+ — Ьг) Ахи — шйх Ау+ б. м. выс.

Пор.~. откуда найдем искомое выражение дивергенции скорости в прямоугольных декартовых координатах: ди до дге б!ТЧ= — + — + —. дх ду дг ' По заданным уравнениям поля скоростей й!ч Ч в данный момент легко вычисляется. Для облегчения запоминания формулы (63) приведем интггвальныв ьоюжлы ее символический зид б!ч Ч -:= Р 11. (64) Раскрывая правую часть по правилу скалярного произведения и вспоминая (24), получим формулу (63). Заметим, что дивергенция может рассматриваться как некоторая общая дифференциальная операция, совершаемая над любой векторной функцией и определяемая формулами (62) и (63), куда вместо вектора Ч надлежит вставить дифференцируемый вектор и. В этом случае уже нельзя говорить о скорости обьемного расширения, а вы- ражение ) а„ь!е= ( и ° ас!о, Ю а б!та= !пп — з! а„с!в= 1!гп — ~ п ° аьгв.

(62') т.+ь дт ь;-ьь ич ьа Аа Выражение дивергенции вектора а в декартовых прямоугольных координатах будет, аналогично (63), иметь вид: 61ча х+ У+ ь дан да да дх ду дв ' (63') Приведенный ранее вывод формулы (63) почти буквально можно повторить для элельента объема в любой системе криволинейных координат (полярных, цилиндрических, сферических и др.) и получить, таким образом, выражение днвергенцин вектора-функции в криволинейной системе координат; это будет сделано далее в гл. 711.

Из формулы (62') легко выводится важная для дальнейшего интегральная формула, впервые указанная в 1834 г. знаменитым русским академиком М. В. Остроградским (1801 †18). Разобьем любой конечный объем т на большое число малых объемов Ьт; обозначим поверхность, ограничивающую т, через а, а амтв через Ьв. б з . пмь л. г. л ь аь. где интеграл берется по некоторой (вообще говоря, не замкнутой) поверхности е, называют потока,и вектора а через поверхность е, Если вектор а представляет скорость жидкости, то поток вектора а совпадает с объемом ькидкости, протекающим через поверхность е в единицу времени, т. е. с секундным объемным расходом жидкости сквозь сечение а, что приводит к ранее данному определению дивергенции скорости.