Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950), страница 13

Локальная часть ускорения равна пулю при стационарности скоростного поля, конвектнвная часть равна нулю, если поле однородно. Предположим, например, что жидкость участвует, как одно целое, в ускоренном поступательном движении, прн котором скорости всех ее точек в любой момент равны между собой, но меняются во времени; з этом случае конвективное ускорение равно нулю и полное ускорение сводится к локальному. Предположим теперь, что в покоящейся жидкости или жидкости, движущейся поступательно и равномерно, т.

е. н в том и другом случае в однородном скоростном поле, мгновенно возникают ускорения, как это имеет, например, место прн явлениях удара тела о поверхностьжидкости, при начале движения тела в неподвижной жидкости и др. В этом случае ускорение сведется к локальному и только после того, как от действия локальных ускорений возникнет неоднородность поля скоростей, появится конвективное ускорение. Указанное соображение упрощает рассмотрение мгновенных явлений и лежит в основе теории удара.

Разложение ускорения на локальную и конвектнвную части может быть обобщено и на определение индивидуальной (субстанциональной) производной от некоторой скалярной, векторной или тензорной величины, связанной с индивидуальным движением жидкой частицы. Пусть, например, ка кдому положению частицы жидкости или газа в пространстве в определенный момент времени приписывается некоторая величина й (например, температура частицы, плотность), тогда совокупность значений величины э образует некоторое поле, и при движении жидкой частицы величина м будет изменяться как в силу нестацнонарностн поля (локальное изменение э), так и вследствие перемещения частицы с течением времени из одного пункта поля в другой (ионвеюиивное изменение в). Полная индивидуальная производная по времени от величины р будет склалываться из локальной производной дэ'дГ и конвективной производной, равной [ср.

с (Э7)): лч лз лч (ч — — = 1~„— = У( — ° пгаб р1 =Ч ° дгабэ=(Ч ° Ч) сь Окончательно для индивидуальной производной от скалярной функции э будем иметь: (41) 56 Эг!ЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ, КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [!'л, 1 Для любой век!орной или тензорной функции а нли Т, связанной с движущейся индивидуальной частицей, получим: да да — „= — +(У ° т)а, ВГ дà — - = — +(Ч ° т) Т. д! дг (42) й 1О. Скоростное поле сплоп!ноя среды в окрестности данной точки.

Угловая скорость и вихрь. Теизор скоростей деформаций и его компоненты Желая изучить скоростное поле движущейся !кидкости в деталях, применим обычный при~м математического анализа — рассмотрит! в данный момент времени поле скоростей жидкости в окрестности какой-нибудь точки М„ пространства, причем координаты и все величины, определеннъ|е в этой точке, будем отмечать индексом нуль. Разлагая проекции скорости любой частицы М, движущейся в окрестности точки Ма, в ряд, будем иметь с точностью до малых высших порядков: .=.. -;(',— '„') !' — ч! —,(и) !! — .! —,(",—,"),(* —.!.) ! (д— ~У (х хе)+),' —;) 'У вЂ” У ) +(д— , ) ( — .) (4ч! дхУЕ У!ч е ~=~о-,-( — ) (х — хо)+~д ) (у — уо)+[,де)(» — »о). 3 о (д ду ь 1 де~в и = ио !' ч!Е1»»о) е!Т(У Уо)~ .=- ..—.- - (х —..) — -.(» —.,), и! = тес + м!„(у — у ) — „(х — х,), или в векторной форме Ч = Ув + ю к (г — ге), (45! 11одчеркнем, что здесь все величины с подстрочным индексом нуль являются постоянными величинами или функциями только от времени, проекции же скорости и, о, тв рассматриваемой точки М являются линейными функциями координат х — х„, у — уе, т,тчки М относительно точки М .

Сравним линейное поле скоростей (43) с простейшим, известным нам еще из кинематики твердого тела полем (распределением) скоростей в общем случае движения твердого тела: к 10) скогостное пола в очггсгности данной точки 57 деч 1 гди диу' 2 ада дх,' 1 где ди' Рис. 7, после чего поле скоростей 144) примет внд: ( ди дю 1 до ди 1 = ° +- 2 дх дх) ~ о 2 (дх до)о~У Уо)' о 2 де дх е 1 о=по+в 2 147) ! тио+ 2 индекс нуль у скобок, содержащих производные, введен для удобства сравнения с системой 143); это допустимо, так как скобки имеют одинаковые значения во всех точках.

Сравнивая 143) и 147), видим, что поле скоросгей в окрестности данной точки может быть разбито на две части: 1) соответствующую равенствам 147), т. е. нолю скоростей в движущемся твердом теле Гусловимся называть эту часть квазингвердым движением), и 2) деформационную часть, отличающую поле скоростей движущейся жидкости или газа от движения твердого тела, так что будем иметь: и =ик,, + идее, о = т'к. * ч- 'адей, тв = тик, т + твдея. 148) Система равенств 148) заключает в себе проекции ик,„пк,„тик,е скоРости Чк, в квазитвеРдом движении, опРеделЯемые фоРмУлами 147), и проекции идей, одеэ, дядей скорости деформационного движения Чдеь, где ыгек„, оев, ое,) — векгоР Угловой скоРости тела в данный момент, одинаковый для всех точек тела грие.

7), т. е. не зависящий от вектора-радиуса г(х, у, х) точек тела илиот вектора-радиуса го(хо,уо,го) полюса О, а Чо 1ио по тво) скорость полюса, так же как ,-' гееУ н угловая скорость, зависящая только от времени. 11ользуясь этим, составим у Разности накрест взягых производных от проекций скорости по координатам и легко най- ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [ГЛ. 1 ВЫЧИСЛЯЕМЫЕ КаК РаЗНОСтИ и — иг„н — О,,„ТС вЂ” Шгх И РаВНЫЕ: /дах 1 Гди дит 1 /ди дю' их в[~)(ххе)+2~~+дуге[ууа)+ 2[д+д[в(иге) [,дх)ч 1 /до диь /дол 1гдю дот ючеа =- 1 + [[х — хо)+[ ) (у — уе)+-у[ — + — 1 (г — го), (49) ~Х'Ф = 2 (д +д ) (х — Ха) 1- ~д„+д ) [У вЂ”.Уе)+1 — ) (г — ге).

) Отсюда следует первая теорема Гельмгольца: всякое движение жидкости или газа в окрестносгпи некоторой точки (полюса) можно разложить на квазитвердое движение, состоящее из поступательного вместе с полюсом и вращательного вокруг полюса, и деформаг[ионное движение. Заслуга выделения из общего движения элемента жидкости части, отвечающей движению твердого тела, принадлежит Коши, который в 1815 г. впервые ввел понятие о „среднем вращении жидкости в точке". Однако, имея в виду дальнейшее развитие и применение понятия вращения в теории вихрей, созданной Гельмгольцем, мы сохраним общепринятое наименование только что доказанной теоремы.

Вектор Й с проекциями: дге до 1 дч дг' ди дю =д дх 1б0) Ыг = 2хг дх ду' дрг дрв дрх дрг дрв дух ду Вг ' дг дх' дх ду' т. е. к равенству н,лю вихри силы. равный удвоенной угловой скорости вращения твердого тела, следуя терминологии Гельмгольца, назовем „вихрем' нлн „ротацией" скоростного поля квазитвердого движения и условимся обозначать символом го1Ч [иногда пользуются еще символом спг[Ч). В рассмотренном частном случае поля скоростей твердого тела вихрь скорости есть вектор, одинаковый для всех точек тела в данный момент времени, в общем же случае любого скоростного поля этот вектор будет изменяться от точки к точке.

Вектор вихря (50) можно рассматривать как некоторую дифференциальную операцию, произведенную над векторной функцией Ч; аналогичную операцию можно производить над любой другой векторной функцией, образующей поле. Так, например, в обшей механике условие потенциальности силового поля г (Рх, Р, Р,) сводилось к выполнению равенств". к 10) скогостноя поля в окгастности данной точки 69 Для облегчения запоминания выражений проекций вихря скорости Я нли проекции вектора угловой скорости ю можно предложить следующие простые символические формулы; $2=го1Ч=Ч Х Ч, ю = — 4? = — го1Ч= — Ч;к', Ч, ! 1 1 2'" 2 2 (51) составление проекции которых по правилам векторного произведения сразу дает (50) и (46).

Распределение скоростей, соответствующее квазитвердому движению жидкости, можно, согласно (45) и (51), представить в виде: 1 = Чо + — (го1 Ч)в Х (г — го) 2 (52) где под (го1Ч)о слелует понимать значение вектора го1 Ч в точке д4 . Что касается вектора скорости деформацнонного движения Ч„а, то его, согласно (49) и введенному ранее правилу умноньения вектора на тензор [9 7, равенства (20) н (21)), можно представить в форме Ч„„э =(г — ге) 9, (53) где Я вЂ” тензор (опускаем для упрощения письма индекс нуль): ди дк ' до дг' называемый тензором скоростей деформации.

Аналогичной таблицей определяется в кинематике упругого тела „тензор деформаций" Я, если под и, и, тс понимать не проекции скорости, а малые перемещения упругой среды. Между этими двумя тензорамн существует очевидное соотношение: (55) где йг — элемент времени, в течение которого произошли малые перемещения тела. Тензор скоростей деформаций так же, как и тензор деформаций, симметричен.