Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950), страница 11

Здесь и далее символ „К" обозначает векторное умножение, точка обозначает скалярное умножение. В декартовой системе координат векторное равенство (б) эквивалентно системе дифференциальных уравнений, определяющих семейство векторных линий: чх оу ьа а,(х,у,х; Г) ая(х,у, х; с) а,(х,у, х; !) ' при решении этой системы двух уравнений первого порядка время ( следует рассматрипать как заданный фиксированныа ларанел1р. Проинтегрировав систему (7), получим конечное уравнение семейства ( векторных линий с двумя произвольными постоянными, которые можно найти из условия прохождения зскторной линии через заданную точку пространства. Проведем в данный момент в части пространства, где задано векторное поле, какой-нибудь за- рис З. мкнутый контур С (рис.

3) и через все точки этого контура — векторные линии; часть пространства, ограниченная поверхностью а, образованной векторными линиями, называется векторной вгрубкоа. Выделение в векторном поле векторных линий и, особенно, векторных трубок значительно упорядочивает и облегчает, как мы далее узидим, представления о характере изменчивости векторов, образую- щих данное поле. 5 7. Мера однородности поля в данном направлении н в данной точке. Градиент скалярного поля и дифференциальный тензор векторного поля как меры неоднородности поля Подобно тому как количественной мерой изменчивости (быстроты изменения) функции одной переменной при данном значении ее аргумента является производная этой функпии по аргументу, точно так же и в случае скалярного или некторного поля за меру неоднородности поля или изменчивости величин поля в данном направлении элементы теоРии поля.

Кинеыьтика сРеды (гл. ! 44 где первая представляет ранее определенную формулой (4) производную от скалярной функции р(М) по направлению 1, вторая определяется аналогичным образом как предел и (М,) — в (М! ггв, !!ш м,.+ м ММ! подчеркпелг, что в обеих частях равенства (8) е !ислитсле стоит векторная разность, а не скалярная, как в случае равенства (4); прн этом производная (8) является вектором.

Естественно встает вопрос, йу йа образуют ли величины — и — соответственно скалярные и векй! йг' торные поля. Через каждую точку пространства можно провести бесчисленное множество направлений, а, следовательно, каждой точке пространства будет соответствовать бесчисленное множество значений производных скалярной и векторной функций по направлению.

Отсюда закшочаем, йе пв что скаляр — и вектор — не образуют полей так как между нх сУ й! Э значениями и точками пространства отсутствует взаимно-однозначное соответствие; можно сказать, что эти производные являются функпиями положения точки (вектор г), в которой они вычисляются, и направления (вектора !). Поставим вопрос о разыскании такой образующей поле однозначной функции точен пространства, чтобы рассматриваемые проиаводные выражались через нее и орт 1, определяющий направление дифференцирования.

С физической стороны разыскивается мера неоднородности полн в данной точке, не зависящая от отдельных направлений в пространстве, но такая, что неоднородность поля в данном направлении будет выражаться через нее и орт выбранного направления. В случае скалярного поля такая мера неоднородности поля в данной точке напрашивается сама собою лри одном взгляде на формулу (5). Проведем через заданную точку поля вектор, равный mо величине производной скалярной функции по направлению внешней нормали к поверхности уровня в данной точке и нзправленный по внешней нормали.

Этот вектор называется градиентом скалярной функции и обозначается символом ига!! э; тогда, по определению, пгад е: — п пэ йп (9) в пространстве можно принять производные этих величии по выбранному направлению, причем в общем случае пространственного распределения производные эти зависят от направления дифференцирования. Таким образом, за меру неоднородности поля по направления! 1 можно принять величины: ПР йв — н йг и 4б меРА ОлнОРОдности полк а 4зоРМУла (5) эквивалентна слелУюЩей (Рис. 4): — =~втаб в~сов(1, п)=(игад р)!=! ° ягаг(ез.

(1О) йЗ дв (: 1..)в= —,, 1 дт дт (11) так как истные производные о по х, у, г являются нн чем иным, хак производными от о по направлениям осей координат. Далее, по обычным формулам векторной алгебры найдем величину градиента Рнс. 4 н косинусы углов, образованных вектором градиенгв или, что все ранчо, внешней ззормаззью к поверхности уровня с осями координат: дт дх соз(п, х)— дт ду сов(п. у)— (13) соа(п, г)- Градиент скалярной функции представляет меру неоднородности поля этой функции в данной точке. Мера неоднородности поля в Данном напРавлении — лРоизводнаЯ скалЯРной фУнкиии ло втозиУ иалравлению — является лроекз!исй градиента на рассматриваемое направление. Из формулы (10) сразу выте- П кают выражения проекций градиента на оси леквртовых координат: (гл. ! элгмю!ты теОРии поля.

кинематика сРеди Пользуясь (11) и известным выражением скалярного проиаведения, можем переписать (10) еще так: — =Š— +Е д!а дч дт ду д! адх гду «дг' (14) Если точка гИ(х,у, г) переместилась в смежное положение (рис. 5) гИ'(х+а!х„у+«Еу, г+«Ег) по направлению ! на расстояние «ЕЕ, то а!х=-«ЕЕ ° сов(1, х), йу= «ЕЕ сов(1,у), сЕг=«ЕЕ сов(1, г) и, следовательно, векторное равенство (16) может быть переписано так: — — +Š— +!в йа да да да с!! адх гду «дг" (17) или в проекциях йа Ж !г! Š— +Š— ' да« да. дх г ду даг даг — +!в дх г ду Š— +!в да, да дх " ду + Е а иа, !Е! (! 8) сга« й! где, по определению единичного вектора 1, Е,=сов(1, х), Ег —— сов(1, у), Е,=сов(1, г). (15) Из формулы (14) следует, что с аналитической точки зрения бесчисленное множество производных по всевозможным направлениям в данной точке поля однозначно выражается через совокупность аначений трех величин —, — и — в этой точке.

Само собой разудт ду дэ дх' ду дг меется, что совершенно безразлично называть ли мерой неоднороден ности поля в данной точке вектор втаб «« или эквивалентную ему совокупность кг аа де де дч а 1 величин —,— дх' ду' дг' Несколько сложнее решается аналоа гичный вопрос о мере неоднородности векторного поля е данной точке. и' Пусть в данный момент времени задано поле вектора а в функции декартовых ы координат, т. е. вектор-функция а (х,у, г). Рис. 5. Приращение вектора а при каком-то бесконечно малом изменении координат точки гИ (х, у, г) найдем по формуле полного дифференциала: йа = — а!х+ — «!у+ — а!г.

да да йа дх ' ду дг (16) 7! ыкРА одногодностн !!Ояя Сравнивая (18) с (16), видим, что, в отличие от скалярного поля, где мерой неоднородности служит совокупность и!рех величин — , дч дх ' д, а2 ду ' дг ' — мерой неоднородности в данной точке векторного поля валяется совокупность девяти величин: да да ду ' дг да„ дая ду ' дг дал да, дг ' дг да„ дх ди,! дх (19) да дх Отдельные величины таблицы (матрицы) (19) характеризуют изменчивость проекций вектора по направлениям координатных осей, а в своей совокупности эти девять величин определяют одну физическую величину в меру неоднородности векторного полн в данной точке. Нано!!ним,' что, вообще, всякая совокупность девяти величин 7'.!„, Т „..., линейно связывающая по формулам: Ьх Тки ! Ьятии + Ьл таю ая —— ь т + ь„та„+ ь,т а„= Ь Т, + Ь, Т, + Ь,Тяы (20) (2!) Имея в виду дальнейшие применения формул (20), укажем простой прием для их запоминания: составляя проекцию на некотору!о ось произведения вектора и тензора, умножаем проекции вектора на компоненты тензора с тем же первым индексом и вторыы индексом, соответствующим оси проектирования произведения.

Операция умножения вектора нз тензор не обладает, вообще говоря, свойством переместительности, т. е. аТф Та. Обозначим '!ерез Т" тензор, сопрнженный с тензором Т, т. е. такой, у которого ! См., например, Н, Е. Кочин, Векторное исчисление и начала теязорного исчисления. ОНТИ, ГТТИ, 1934, стр. 304. г Вектор называется физическим, если его величина и направление з пространстве не зависят от выбора системы координат; нрн атом отдельные его вроекцнн, конечно, зависят от выбора направления осей нроектнрозання.

проекции физического з вектора о с проекциями физического же вектора а, определяет физическую величину, называемую тензором второго ранга; нри этом правые части системы уравнений (20) соответствуют операции умножении вектора на тснзор, символически нредстзвляемой так: [гл. элемниты теогии поля. >гинвмлтн>ил сягды да„ даа В, = — г> дх ' ге дх да. Е) ге д даа Гд дг да дат дг (22) 71,е =- будем иметь вместо (!7) н (18), согласно (20) и (21): ла — =! О. лг (23) Последняя формула отчетливо показывает, что, независимо от выбора той или другой системы координат, физическая величина— производная физического вектора по определенному направлению в пространстве — выражается как произведение физического вектора— орта выбранного направления — на физический же тензор — меру неоднородности поля в данной точке пространства.

Для облегчения запоминания формул настоящего и следующих параграфов можно предложить простой символический прием. Обо- По аналогии градиен>л можно было бы назвать >Шффгренилальным век>вором скалярного лола. индексы компонентов переставлены, например, Т „= Т„, Тем = Т г и т. д. 'Гензор симосопряженный, для которого Тг = Т и, следовательно, Тии — — Т„, Тле = Т, Т, =- 7' „называется симметричным, так как в таблице такого тензора компоненты, симметричные относительно главной диагонали, равны между собой.

Операция умножения тенаора на вектор эквивалентна операции (20) нлн (21) умножения вектора на сопряженный тензор, т. е. Тв=аТь. Если тензор симметричен, то Та= — вТ, н формулы проекций произведения Тв совпала с (2О). В дальнейшем, при изложении механики жидкости и газа, так же как это имеет место и в механике твердого и упругого тела„прндется неоднократно иметь де,чо с примерами различных тензоров.

Подчеркнем важный для дальнейшего факт: хотя отдельные компоненты тензора (19) н зависят от выбора направления осей координат в пространстве, где задано поле, сам тензор от этого зависеть не должен, так как он характеризует определенное физическое свойство конкретного поля величин. Назовем тензор, представленный таблицей (19), поскольку он состоит из всевозможных производных от проекций вектора поля по координатам, дифференциальным тензором векторного поля.

' Тогда, согласно (18), придем к выводу, что мерой неоднородности (изменчивости) векторного поля слтжиог дифференциальный тенлор поля. Обозн;юая лифференциальный тензор поля буквой гу и, полагая 49 мела одионодности поля значим через 7 некоторый условный вектор с проекциями: 7= — 7= —,7= —, д д д дх' г дг' " дх' (24) представляющий символически оператор дифференцирования. Тогда градиент скалярной функции 7 можно рассматривать условно, как проиаведение вектора-оператора 7 на скаляр 7; гад7=77, (25) н формулы (11), принимая во внимание (24), писать просто по правилам проектирования произведения вектора на скаляр: (згад 7) = 7а7 == д н др д, 11ри этом равенстяо (10) по (25) можно представить в виде ае — '=-1 7о аг (26) н рассматривать операцию дифференцирования по направлению 1, как символическое произведение (27) вынося дифференцируемую функцию, безразлично скалярную, векторну1о или тензорную, за знак символического дифференцировании так: (23) 4 зак.