Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950), страница 10

Все практические расчеты пограничного слоя, необходимые для определения профильного сопротивления крыла и фк>зеляжа самолета, сопротивления корпуса корабля, потерь энергии в лопастных аппаратах турбомашин, а также расчеты различных струйных механизмов (эжекторов и др.) ведутся у нас в Союзе по методам, принадлежащим советским ученым. введянне Современная теория турбулентного движения н ее многочисленные применения в гидравлике труб и каналов, динамической метеорологии, теории взвешивания и осаждения наносов, горения и перемешивання топлива н струях и во многих других практических вопросах техники составили предмет глубоких изысканий советских ученых. Останавюы явясь лишь на главнейших принципиальных достижениях, заметим, по после классических работ Рейнольдса наиболее важную рощ сыграли замечательные исследования А.

А. Фридмана и Л. В. Келлера, выдвинувших в 1924 г. новый статистический метод изучения турбулентного потока. Идеи А. А. Фридмана и Л. В. Келлера послужили фундаментом для ряда теоретических исследований акад. А. Н. Колмогорова, Л. Г. Лойпянского, М. Д. Миллионщикова, А.

М. Обухова и Л. И. Седова. На этом, по необходимости, заканчивается краткий обзор достижений советской науки в области механики жидкости и газа. Обзор содержиг только перечисление наиболее значительных работ наших ученых. Многие из этих результатов еще настолько свежи, что не могут найги себе место в историческом очерке. Но уже и из того материала, который помещен в настоящем обзоре, отчетливо видно, что советская гидроаэродинамика по праву занимает ведущее место в мировой науке.

В настоящем, заключительном, параграфе очерка почти ничего пе говорилось об иностранных работах за рассматриваемый период времени. Это объясняется не только краткостью очерка, но и тем замечательным фактом, что в последнее время, за весьма немногими исключениями, все основные проблемы механики жидкости и газа самостоятельно выдвигались и разрешались советскими учеными, поставившими нашу Родину в совершенно независимое положение от зарубежной науки.

1.ДЛВ Д 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕЛЫ $ 6. Поле физической величины. Скалярное и векторное поля. Поверхности уровня. Векторные линии н трубки Совокупность скалярных нлн векторных величин, заданных в некоторой конечной или бесконечной области так, что каждой точке области соответствует одно определенное знзчение скаляра или вектора, образует иоле скалярной илн векторной величины, короче— скалярное или векторное поле. ' Таковы скалярные поля: температурное поле нагретого тела, поле плотности в неоднородном твердом теле, и векторные поля: силовое поле, например, поле тяготения, поле скоростей во врзщающемся твердом теле и др. Поле называется стационарным, если распределение физических величин в пространстве не изменяется с течением времени.

Так, например, поле скоростей в равномерно вращающемся вокруг неполвнжной оси твердом теле будет стационзрным; в противном случае поле называется не стационарныи. Если во всех точках пространства, где задано поле физической величины, значения этой величины равны между собою (соответственно в скалярном или векторном смысле), то такое поле называется однородным, в противном случае — не однородным. Скалярное поле плотности в однородном твердом теле однородно. В поступательно движущемся твердом теле векторное ноле перемещений так же, как и скоростей или ускоренвй,— однородно.

Само собой разумеется, что однородное поле может быть как стационарным, так и не стационарным. Аналитически поле некоторой скалярной величины р или вектор- Р" Р"" Р Р ФУ"" ' Р „„„,Р „„,, „, ГУЫ. необходимые для дальнейшего элементы векторного и тевэорвого анализа; ылч бы желательно предварительное ознакомление с этими элементами, аавркмер, по прекрасной книге Н. Е.

Кочина, Векторное исчисление и "ачзла тевзорного исчисления, РИТИ 1'ТТИ„1934 нли последующие издания. 40 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИ!<А СРЕДЫ !гл. ! от каких-нибудь, в частности декартовых, координа! и зрсмспи: ' й=югх,у, »; Г)=вгМ;!), а = а (х, у, »; 1) == а (М; ~). Условившись з этих простейших определениях, иосип!рви .!'Рпс!иь, каким образом характеризовать прпстрпнственную пзженчивослюь величин поля (изменение со временем величины в данной точке пространствз характеризуется, очевидно, частной производной от этой величины по времени). Для этого следует упорядочить рассмотрение бесконечного многообразия величин, образующих поле, расположив эти величины сообразно некоторому признаку: численной их величине — для скалярной функции, направлению — для векторной функции.

Рассматривая скалярное поле, расслоим часть пространства, в котором задано поле, поверхностями уровня, т. е. такими поверхностями, вдоль каждой из которых скалярная величина сохраняет одинаковое значение. Таковы, например, изотермы, изобары и др.

Уравнение семейства поверхностей уровня скалярной функции п(х, у, »; 1) з данный момент времени, если поле не стационарно, и в любой момент, если поле стационарно, будет и (х, у, »; г) = С, где величина С принимает некоторый непрерывный ряд значений. Гели задано знзчение величины !Р в некотоРой точке Ма(хе, У, »„) и в данный момент времени Гв, то уравнение поверхности уровня, проходящей через точку М„ в момент Г>, будет, очевидно, !у (х у»~ г) = Се = 9 ~хо~ уе»з' го) = !Р Жо' ге) !,Б) Смысл рассмотрения поверхностей уровня заключается в приведении вопроса об изменяемости скалярной величины в пространстве к более простому †изменен ее при переходе с одной поверхности уровня на другую.

Возьмем какую-нибудь одну поверхность уровня, например (3). Эта поверхность делит все пространство на две области. "внешнюю, где !Р(х, У, »; Г) ) Се, и внутреннюю, где т (х, у, »; 1) ~ Сгг Термины эти, конечно, условны, так как, например, если поверхность уровня представляет сферу радиуса и с центром в начале координат, то при выборе функции в (х, у, ») =- ха+ уз +»Р — пз ! Буква М символически представляет здесь совокупность коордпяат точки м; есап поле стационарно, то время г з характеристяке функции отсутствует. поле Физической Величины внешняя область по только что введенному определению совпадает с внешней областью в обычном геометрическом смысле, если же положить м(х,у, е)=-ая — хз — уз гз го предыду!дее определенно с гсомегричсским не совпадет. условимся положительное наг!ранление нормали, проведенной через некоторую точку данной поверхности уровня, выбир!пь в сторону виг шней области и называть =с =г' такую ось внешней норлгалью; у=с р= (е-!.

противоположно направленную ее ! ось — внутренней нормалью. И, Проведем (рис. 1) две смеж- гг! пые поверхности уровня ю== С ы н о = С' и через точку М с ио и одной из них — внешнюю норязль с единичным вектором-ор- и том и и какую-нибудь наклонную ось с ортом 1; от- о' резки ММ' и ММ! обозначим через ап н !ЕЕ. Нзпомним, что и" йе !эис. !. производной — от скалярной а! функции ъ по кзкому-нибудь направлению ! назывюог предел отнои!ения ч (ЛЕ,) — Ч (ЛЕ! ит 1'пп м, -+м Л,И, и! Замечая что, по определению поверхности уровня,(М,) —.= м(М') и что, кроме того, йп = — гЕЕ ° сов(1, п), будем иметь ггт ие ип ие — — — — — сов(1, п). и! Дп а! ип (б) Отсюда сразу следует„что, в силу положительности — „(вспом- ат пить определение внешней нормали): ив ав — > — ' ил аЕ' т.

е. направление внешней нормали к поверхношпи уровня прсдюпаеляет направление наибольисего изменения скалярной функции по сравнению с любым другим направлением. Рассмотрим (рис. 1) несколько смежных поверхностей уровни; ';=С, э=С', в=С" и т. д. Проведем через точку М внешнюю 42 элементы твояии поля. кннвматнка спады [гл. г нормаль и, через точку М' пересечения ее со смежной поверхностью уровня — нормаль и', через точку М" пересечения этой нормали со следующей поверхностью уровня — нормаль и" и т. л. В пределе получим кривую гг, нормальную ко всем поверхностям уровня в точках их пересечения с нею.

Зная закон изменения скалярной величины ндо:и. такого рода линии, тем самым по формуле рб) определим н общую картину изменения рассматриваемой величины в пространстве. В существовании этих линий максимального изменении заданной скалярной величины парялу с нормальными к ним поверхностями уровня, вдоль которых рассматриваемая величина сохраняет постоянное значение, и заключается смысл того упорядочения картины изменяемости скалярной величины в пространстве, о котором ранее упоминалось.

' Перейдем теперь к рассмотрению с той же точки зрения веклгорного поля. В этом случае задача осложняется наличием изменяемости векторов поля как по величине, тзк и по направлению. Чтобы лучше разобраться в многообразии векторов, заданных в точках пространства, поступим так. В данный момент времени, если поле не стационарно, или в любой, если поле стационарно, проведем через выбранную точку М 1рис. 2) соответствующий ей вектор поля н, отложим вдоль положительного направления этого вектора малый отрезок ММ', затем в тог же момент времени, если поле не стапионарно, проведем через точку М' соответствуюо а' щий ей вектор а, точно так же отметим нектор н" ы о" в точке М", расположены ной на направлении век- тора а', и т.

д. Если м взять точки М, М', М"... достаточно близкими друг Ряс. 2. к другу, то указанным путем можно прочертить в пространсгзе линию, обладающую тем снойством, что в каждой ев точке вектор полн направлен по касательной к ней. Такая линия называется векторной линией полн (вспомнить например, силовые линии электрического или магнитного поля, вдоль которых направлен вектор напряжения поля). Через каждую точку поля можно провести, вообще говоря, лишь одну векторную линию; исключением являются так называемые особые т Всякому семейству поверхностей соответствует система нормальных линий; обратная теорема о существовании поверхностей, нормальных к данному семейству линий, верна лишь прп выполнении некоторых условий.

По этому поводу см., например, Л. Г. Л ой панский и А. И. Л у р ье, Курс теоретической механяки, ч. 11, 1940, нзд. 3, стр. 164. ыеРЯ ОдноРодности поля ,кочка поля, через которые могут проходить несколько и лаже бесчисленное множество векторных линий. Тзк, например, нз „точечного заряда', образующего электростатическое иоле, выходит бесчисл„нное множество силовых линий поля. Легко написать дифференциальные уравнения векторных линий поля вектора а(х, у, х; г). Обозначим через Ьг направленный по касательной элемент векторной линии и запишем в векторной форме только что указанное свойство совпадения по направлению вектора ноля с касательной к векторной линии в данной точке: аХйг= О.