Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950), страница 12

пиь л г. Лоачянск а. Принимая указанную символику, можно дифференциальнь|й тензор .О изобразить как диадное произведение двух векторов: символического 7 и дифференцируемого а: О=-7а, (29) понимая под этой „диадой' тензор, составляющие которого легко определяются по простому правилу: да даа (7а)~~ = 7~а* д ' (7а)м" 7аа" д (7а)~~= 7~а»= д и т. д. да, Равенство (23), сообразно второму равенству (28) н (29), может оыть еще написано так: — =(1 ° 7)а =1(7а).

(30) ЗЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКь СРЕДЫ (гл. г Формулы (17) и (18) лшжно легко запомнить при помощи (30) и правила раскрытия скалярного произведения: — = (1 7) а = (! 7 + 1„7„+ 1,7,) а = =- (! — + ( — + 1 — ~ а = 1 — + 1 — + ! — . д д д К да да да а дх " ду ' дг ! а дх г ду ~ дг ' й 8. Задание движения сплошной среды.

Поле скоростей. Линии тока и траектории хо=хо(а, 6, с), уо==уо(а, Ь, с), го=го(а, Ь, с). Положение любой частицы Л жидкости в момент времени ! задается выражениями ее декартовых координат через величины 1, а, Ь, с, называемые леременкыяги Лаграклса: хо Уо го)=рг(1 а Ь с) хо уо го)='рз(! а, Ь, с), хо уо го)=9а(! " Ь с) (31) параметрам а, Ь, с, получим обычуравнения движения данной индиуда уже нетрудно найти уравнения проекции вектора ее скорости У Задавая определенные значения ные, принятые в кинематике точки видуальной частицы жидкости, отк траектории частицы и выражения ЛЧ и ускорения У = —: дг ду дат (32) Лг дта Лг дг В отличие от кинематики отдельной точки или системы конечного числа точек механика сплошной среды имеет свои специфические приемы задания движения.

Ближе всего к обычным способам задания движения подходит способ„ связаппый с именем Лагранжа. Пусть некоторая частица жидкости или газа Л (х, у, г) в момент времени ! 1о занимала положение Ло(хо, уо, го), тогда ее координаты х, у, з в любой момент ! моокно рассматривать как функции от времени 1 и параметров хо, уо, го, определяющих выбор данной индивидуальной частицы Л. Более обще, вместо декартовых координат точки Л можно рассматривать любые ее криволинейные координаты а, Ь, с, связанные с хо, уо, го соотношениями: Й 8) 3АдАние движения сплОшнОЙ сРеды и= и(х, у, г; г), о=о(х,у, г; г), а = а~(х, у, г; (), (зз) В методе Лагранжа величины х, у, г являются переменными координатами одной и той же движущейся частицы жидкости, в методе Эйлера — это координаты точек пространства, мило которых проходят различные частицы жидкости.

Рассмотрим подробнее метод Эйлера, которым, по преимуществу, и будем пользоваться. Векторные линии поля скоростей, т. е. такие линии, в каждоЙ то|ке которых скорость в данныЙ момент направлена по касательной к ним, называются линиями тока. Следующий простой опыт даст наглядное представление о линиях тока. Предположим, что на поверхность воды в канале насыпан легкий и хорошо видимый порошок, частицы которого будут двигаться вместе с потоком, не опережая и не отставая от частиц воды. Тогда на фотографии, произведенной с малым временем экспозиции, каждая частичка порошка изобразнтся в виде небольшая черточки, а черточки эти сольются в отчетливо видимые линии, которые и будут линиями тока в момент производства снимка.

По самому определению, линия тока поля не совиадает е траекторией частицы,, представляющей пространственнып след движущейся во времени частицы. Составим дифференциальные уравнения линии тока. По общему уравнению векторной линии (7) будем иметь следующую систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений: зх йу ьг и (х, у, г; е) о (х, у, г; е) т (х, у, г; В ' причем разыскиваются конечные связи между переменнымн х, у, г, а время г играет роль фиксированного параметра; величины же йх, ьу, ог представляют проекции произвольного бесконечно малого отрезка ог, направленного вдоль линии тока. В противоположность этому, проекции направленного элемента йг траектории йх, йу, дв представляют проекции перемещения частицы Производную по времени„вычисляемую в переменных Лагранжа для индивидуально движущейся частицы жидкости, называют индивидуальной или еще субстанциональной (относящевся к определенной частице субстанции).

Другой, получивший более широкое применение прием задания движения среды, предложенный Эвлером, заключается в выражении скоростей частиц в функции от времени и координат х, у, г точек прострзнства, т. е. в задании поля скоростей. Совокупность величин (, х, у, е называют нерененныжи Эйлера; движение среды, по Эялеру, задается так: элементы теоеии поля.

кинематика сыды (гл. ~ жидкости за время дс, т. ел дх=иЖ, с(у=наг, а'в=то й; отсюда получаем систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений траектории: иу и(х,у, г; г) о(х,у, г; г) э(х,у,х; Г) ( 35) и траектории ММ'М"М"'..., проходящих через одну н ту же точку М. Для построения линии тока фиксируем время и проводим вектор У скорости точки М, откладываем на нем малый отрезок ММы через точку М, проводим вектор скорости Ч„ соответствующий причем в этой системе уравнений координаты х, у и г являются неизвестными функциями одного аргумента — времени. Сравнивая уравнения (34) и (35), видим, что они принципиально отличаются друг от друга, а следовательно, линии тока н траектории не совпадают. Исключение представляет случай стационарного поля, т.

е. случай, когда время ( не входит явно в задание скоростного поля (ЗЗ). В этом случае уравнения (34) совпадут с уравнениями (35), если в этих уравнениях откинуть дифференциал времени иг, не входящего явно при стационарном движении в остальные уравнения системы (35). Отсюда следует, что ири стационарном движении, т. е. движении со стационарным полем скоростей, линии тока совладают с траекториями, К этому результату легко придти и из геометрических соображений. На рис. 6 показаны построения линии тока ММ,М,Мз...

ПОЛЕ УСКОРЕНИИ. РАЗЛОЖЕНИЕ УСКОРЕНИЯ гому же моменту времени, на векторе У, откладываем отрезок М,М н скорость Чя точки Мя и т. д., причем все это делаем в один и тот же фиксированный момент времени. При построении траектории вновь отмечаем скорость точки М н, пользуясь произволом в выборе интервала времени, откладываем на ней отрезок ММ' = ММ„ по прошествии времени Ш, если поле не стационарно, скорость Ч' точки М', несмотря на совпадение точки М' с точкой М„ уже пе будет равна скорости Ч, точки М, в момент й Следовательно, граекторня отклонится от линии тока, н кривые разойдутся в пространстве. Если же поле стационарно, то, несмотря на то, что время изменилось на дг, скорости совпадающих точек М' и М, будут одинаковы, точки Мя и М", так же как нх скорости, совпадут, н траектория ничем не будет отличаться от линии тока, Векторная трубка, образованная линиямн тока, называется трубкой осока; часть пространства, ограниченная траекториями частиц, образующих в некоторый момент замкнутый контур, называется снгруей.

!1з предыдущего следует, что прн стационарном движении трубка чока и струя, выходящие нз одного н того же замкнутого контура, совпадают. 9 9. Поле ускорений. Разложение ускорения частицы на локальную и конвективную составляющие 11ри лагранжевом представлении движения (31) ускорение индивидуальной частицы легко находится повторным дифференцированием по времени согласно формулзм (32). Следуя Эйлеру, необходимо найти распределение в пространстве ускорений всех частиц жидкости, т. е.

поле ускорений; для этого надо объединить лагранжев и эйлеров методы, иными словами, с одной стороны, следить за индивидуальной жилкой частицей, с другой, принять во внимание наличие заданного поля скоростей, т. е. распределение скоросгей в пространстве, в котором движется точка. Рассмотрич изменение йУ скоросги данной индивидуальной частицы М за время дт, или, как иногда для краткости говорят, индивидуальное изменение скорости частицы.

Это изменение скорости, следуя методу Эйлера, можно рассматривать как состоящее из двух: 1) локального (местного) изменения, происходящего из-за изменения скорости в данной точке вследствие нестационарностн поля и равного (дЧ)„, с дЧ (36) н 2) конвекнгивного, являющегося следствием неоднородности поля скоростей, в котором вдоль по траектории переместилась за время Ю рассматриваемая частица; это изменение, если обозначить через йв элементы теотии поля.

кинематика силы [гл. г дифференциал дуги траектории, будет равно: (с[к)конв = — гге = — ° — Ж = 1/ — к[А дЧ дЧ ае дЧ аз де дг де (37) или по формулам (28) для производной вектора по направлению [орт касательной к траектории, очевидно„равен Ч[Ъ'): (дЧ)„,„, = 1 ( —" . Ч) Ч а = (Ч Ч) Ч а. (38) формула полного угноуенин будет: (д )кок + [аЧ)кока к дг аг — дг+(к ° Ч)У. (39) ди ди ди дх' Г) дх' дю ~ дх ду' дх до до ду' де дге дге ду ' дв В проекциях на оси декартовых координат будем иметь: аи ди ди ди ди Р = — = — +и — +о — +те —, 1 дг дг дх ду де ' 1l = — = — +и — +о — +те —, до до до до до и аг дг дх ду дх ' (40) аы дге ды дге дю Р = — = — +и — +о — +то —, [ аг дг дх ду де' ) ди ао дге Производные типа — — — вычисленные вдоль траектории дг' аг' индивидуальной частицы среды (субстанции) по формулам (40), назы- вают, как уже ранее упоминалось, индивидуальны.ии, или, иногда, субстанциональными производными.

Аналитически те же формулы легко было бы получить по (32) и (ЗЗ), вычисляя полные производные по времени от проекций ско- рости: ди ди , ди дх ди ду ди де гп дг ' дх дг ду дг де дг ди ди ди ди = — +и — +о — +те — и т. д. дг дх ду де По заданному полю скоростей (33) и формулам (40) ускорение легко вычисляется. Используя равенство (30) и сохраняя для дифференциального тен- зора поля скоростей, являюп!егося мерой неоднородности скоростного поля, обозначение О, причем таблица [матрица) составляющих тензора будет иметь вид: полк тскоэений. газложвниа тсковения бб $9) получим формулу ускорения в форме Ч = — +ЧГ), ° бЧ, аг подчеркивающей роль неоднородности скоростного поля в образовании конвективного ускорения.