Л. Прандтль - Гидроаэромеханика, страница 4

Равновесие призмы с вертикальной осью 7оп+Р>Е =1>гР откуда следует, что Рг — Р> =тд. (6) Таким образом, разность между давлениями на взятых горизонтальных плоскостях, находящихся друг от друга на расстоянии Й, равна весу вертикального столба жидкости, заключенного между этими плоскостями и имеющего поперечное сечение с площадью, равной единице. величина которой не зависти от напрнженности Земли. Однако в гидростатических расчетах удобно иметь дело с удельным весом у. Основной задачей гидростатики, т. е. учении о равновесии весомых м1идкостей, лоляется вычисление распределения давления (апоян давления>) о однородной весомой жидкости.

Опять выделим в жидкости небольшую призму, причем сначала с горизонтальной осью (рис. 6), и рассмотрим ее равновесие относительно перемещений в направлении оси. Так как ось призмы перпендикулярна к вертикали, т.е. к направлению силы тяжести, то вес призмы не дает составляющей в направлении оси призмы. Поэтому мы можем в рассматриваемом случае повторить все рассуждения ~4 и попре>кнему найдем, что Применяя этот результат к ряду примыкающих друг к другу вертикальных призм, мы найдем, что давление в весомой жидкости возрастает с увеличением глубины, причел> увеличению глубины на единицу длины соответствует увеличение давления на величину 7.

Давление в каждой горизонтальной плоскости остается постоянным. Введем прямоугольную систему координат х, у, г и направим ось г вертикально вверх. Тогда, если давление в горизонтальной плоскости г = 0 обозначить через ро, давление в каком-нибудь другом месте будет равно (7) Р=Ро 7г.

Из принципа отвердеваннп (З 4) следует, что соотношение (7) справедливо не только для больших пространств, сплошь наполненных жидкостью, но также для сообщающихсн сосудов, для любой системы труб, для пор между зернами грунта и т.д. Необходимыми условилми длн применении уравнении (7) являются однородность и равновесие жидкости, а также связность занимаемого ею объема. Р> Если жидкость неоднородная, наприй г у мер, вследствие неодинаковой температу- ~ У> ры или разного содержания соли в разных местах жидкости, то все рассуждения относительно призмы с горизонтальной осью Рис.

9. Равновесие двух могут быть повторены без всяких изменелризм с вертикальной осью ний. Следовательно., в неоднородной весов неоднородной жидкости мой жидкости при равновесии давление во всех точках каждой горизонтальной плоскости одинаковое. Для выяснения условия равновесия в вертикальном направлении проведем в жидкости две горизонтальные плоскости па небольшом расстоннии й друг от друга (рис.

9). Пусть на верхней плоскости давление равно Р>, а на ни>клей — рз. Выделим между проведенными плоскостнми две узкие вертикальные призмы. Пусть средний удельный вес жидкости в левой пРизме Равен 7>, а в пРаной пРизме — 7з. ДлЯ Равновесил необходимо, чтобы слева соблюдалось равенство Р> — Рг = 7>|ц а справа — равенство Рг — Р> = 7зп. Оба эти требования совместимы друг с другом только в том случае. если 7> — — 7з.

В пРотивном слУчае Равновесие нс могло бы УстановитьсЯ., и жидкость пришла бы в движение. Мы можем уточнить чаши рассужденин, если возьмем расстояние й между плоскостнми очень малым и повторим рассуждения для любого большого числа пар соседних горизонтальных плоскостей. Таким путем мы придем к выводу: в неоднородной весалый жидкости равновесие возлшжно только в тол> случае, если в каждолз горизонтольнол> слое плотность везде постояннал. Отсюда, в частности, следует, что при равновесии двух наслоенных друг на друга и между собой не смешивающихся жидкостей различной плотности поверхностью раздела может быть только горизонтальная плоскость.

Это следствие можно вывести и непосредственно нз наших рассуждений, относящихся к рис. 9. В самом деле, предположив сначала, что поверхность раздела обеих однородных жидкостей, ыаслоснпых друг на друга, проходит произвольным образом между проведенными ыа ряс. 9 горизонтальными плоскостями, мы увидим, что равновесие возможно только в том случае, если поверхность раздела располоя1ена горизонтально.

Заметим, что для устойчивости такого наслоения жидкостей необходимо, чтобы менее плотыан жидкость была расположена обязательно над более плотной. При обратном расположении равновесие будет неустойчивым: малейшее возмущение немедленно приводит к опрокидываншо слоев. Длл доказательства можно опять воспользоваться рис. 9. Возьмем какое-нибудь возмущенное, например, несколько наклоненное, полшкеыие поверхности раздела между обеим>и горизонтальпымн плоскостямы н вычислим разности давлений, возникающие пры таком возмущении. Мы увидим, что прп устойчивом расположении слоев зты разности давлений стремятся умеыьшить наклон поверхности раздела, а при неустойчивом расположешш опи стремятся, наоборот, увеличить зтот наклон.

Если плотность жидкости изменяется непрерывно, то устойчивое равновесие по-прежнему будет иметь место в том случае, когда плотность везде уменьшается снизу вверх. Равновесие однородной жидкости в отличие от равновесия расслоеыыой неоднородной жидкости всегда является безразличным. В самом деле, как бы ни перемещать любые части однородной жидкости, находнщейся в равновесии, возмущающие силы, нарушающие равновесие. возникать ые будут. Что касается распределения давления в неоднородной жидкости, то для каждого слоя, в котором плотность можно считать приближенно одинаковой, имеет место уравнение (7) в дифереыцыальной форме: Если удельный вес 7 задан как функция высоты з, то интегрирование уравнения (8) приводит к соотношению: л р = ро — 7лз.

о (9) $ 7. Равновесие весомого газа. Условия равновесия весомого газа в основном совпадают с условиями равновесия весомой жидкости. Поэтому уравнения, выведенные в предыдущем параграфе, вполне применимы и для газа. Во многих случаях, например, если пространство, занимаемое газом, имеет умеренную высоту, можно считать удельный вес газа постоянным во всем пространстве. Тогда можно пользоваться уравнениями (6) и (7) предыдущего параграфа, т.е. принимать газ за однородную жидкость.

Но если пространство, занимаемое газом, имеет большую высоту, исчисляемую километрами, то тогда принимать газ за однородную жидкость уже недопустимо. В этом случае разности давлений на разных высотах столь велики, что вследствие сжимаемости газа плотность его вверху и внизу имеет значения, сильно отличающиеся друг от друга. Большую роль играют также разности температур на разных высотах. Следовательно, теперь все расчеты надо вести, исходя из уравнения (8) для неоднородной жидкости. Зависимость удельного веса 7 от высоты з заранее неизвестна, зависимость же его от давления р может быть найдена на основе определенного допущения о распределении температуры по высоте.

Поэтому, прежде чем интегрировать уравнение (8), разделим его на 7; после интегрирования мы получим: Ро / р р (10) р 7 = 7ор —. Вычислим этот интеграл для простейшего случая, когда температура постоянна на любой высоте пространства, занимаемого газом. Удельный вес 7, т.е. вес единицы объема газа, обратно пропорционален объему определенного выделенного количества газа; в то же время удельный вес, на основании закона Бойля-Мариотта, прямо пропорционален давлению. Поэтому Подставив это значение у в правую часть уравнения (10) и вычислив интеграл,мы получим: ра ро Как легко видеть из уравнения (7), величина — есть не что иное, как ро высота столба жидкости постоянного удельного веса 7о, причем на нижнем конце этого столба давление равно ро, а на верхнем конце — нулю.

Эту высоту называют высотой однородной атмосферы. Никакого реального значения для действительной атмосферы эта величина не имеет, оиа вводится только для удобства расчетов. Для примера найдем ее численное значение. Для этого необходимо сначала определить численное значение То, что можно выполнить следующим образом. Из сосуда, в котором имеется кран, выкачаем воздух и взвесим сосуд на чувствительных весах. Затем, открыв кран, дадим сосуду наполниться воздухом. При этом воздух, входящий в сосуд, нагревается за счет работы, совершаемой внешней атмосферой. Обождав некоторое время, пока не выравняетсн разность температур, взвесим сосуд еще раз.