Л. Прандтль - Гидроаэромеханика

ГЛАВА 1 Свойства жидкостей и газов. Статика л 1. Свойства жидкостей. Жидкости отличаются от твердых тел легкой подвижностью своих частиц. Для изменения формы твердого тела к нему необходимо приложить силы конечной, иногда весьма значительной величины. Между тем для медленной деформации жидкости достаточны самые ничтожные силы, которые в предельном случае бесконечно малой деформации делаются равными нулю.

Однако при быстрой деформации жидкость, подобно твердому телу, оказывает сопротивление деформации. Но как только движение жидкости прекращается, это сопротивление очень быстро исчезает. Свойство жидкостей оказывать сопротивление деформации называетсн вязкостью. Подробно это свойство будет рассмотрено в 11 гл. П1. Кроме обычных легко подвижных жидкостей существуют очень вязкие жидкости, сопротивление которых деформации весьма значительно, но в состоянии покоя по-прежнему равно нулю. По мере увеличения вязкости жидкость становится все более похожей на твердое тело, однако нельзн провести резкой границы между жидкостью с очень большой вязкостью и твердым телом: некоторые вещества прн быстрой деформации ведут себя как твердые тела, а при медленной — как жидкости.

К таким веществам принадлежит, например, асфальт. Если опрокинуть бочку с асфальтом, то в зависимости от температуры воздуха весь асфальт вытекает из бочки в течение нескольких дней или недель и принимает форму плоской лепешки. С течением времени такая асфальтовая лепешка все более и более растекается, но, несмотря на это, по ней можно ходить, не оставлян иа ее поверхности заметных следов; только в том случае, если постоять на ней некоторое времл, такие следы появляются. При ударе молотком разлившаяся масса асфальта разлетается на куски подобно стеклу. В статике, т.е.

в теории равновесия жидкостей, рассматриваются только состояние покоя или очень медленные движения, следовательно, здесь мы должны принять сопротивление деформации равным нулю. На основаниги этого мы можем дать такое определение ньидкости: зкидкостью назыеаегпся гпакое гнело, е котором е состоянии раеноеесил всякое сопротивление деформации равно нулю. Согласно кинетической теории материи мельчайшие частицы всех тел (атомы и молекулы) находятся в непрестанном движении; кинетическая энергия этого движения проявлиется в теплоте.

С точки зрения этой теории жидкости отличаются ат твердых тел тем, что в ннх отдельные частицы более илн менее часто меняются местами с соседними частицами, в то время как н твердых телах каждая частица занимает в пространстве вполне определенное положение, правда, совершая около него небольшие колебания. Постепенное размягчение аморфных тел при повышении температуры объясняется следующим образом: если тело нагреваетсн, т. е. если увеличивается энергии молекулярного движения, то сначала меняются местами частицы там, где случайно возникли особенно большие колебания, "при дальнейшем нагревании такая перемена мест совершается все чаще, причем она распространяется нв все тело. В кристаллических твердых телах переход из твердого в жидкое состояние происходит внезапно, в результате расплавления, т.е. вследствие разрушения правильной атомной структуры веществе.

Другим свойством жидкостей является их большое сопротивление изменению объема. Никаким способом невозможно сжать один литр воды так, чтобы он поместился в сосуде емкостью в пол-литра. Обратно, если налить литр воды в сосуд емкостью в два литра и выкачать из последнего воздух, то вода по-прежнему будет занимать только половину сосуда. Однако в некоторой мере вода при больших давлениях сжимается; при давленин около 1000 огпо" это сжатие достигает 5% первоначального объема. Аналогичным образом ведут себя и другие жидкости.

й 2. Теория напряженного состояния. Рассмотрим напряженное состояние жидкости, находящейся в равновесии. Прелвде чем определить это понятие, заметим, что общие теоремы о равновесии сил применимы также к жидким телам. Это следует из так называемого принципа отвердевииия, сущность которого заключается в следующем. Если в какой-либо подвижной системе, находящейся в равновесии, сделать отдельные ее части неподвижными, то от этого равновесие всей системы не нарушится. Следовательно, в случае жидкости, находящейся в равновесии, можно всегда вообразить, что некоторая ее часть отвердела; от этого равновесие всей жидкости не нарушится, к отвердевшей же части можно применить теоремы о равновесии твердых телз. Однако для исследования равновесия жидкости не обяза- 0 единицвх длл измерения дввленнл см. З 3.

Применял принцип атвердеввипл, следует иметь в виду, лонечна. нс фнзпчесиос атвердевсннс, связывсемос с измененном объеме, лрнстеллизецнеб и т.п., е вообрсмвсмое, цдевльнае отвердеввние без всялаго перемещеинл честпц и изменения объеме. тельно прибегать к представлению об отвердевании, Теоремы о равновесии общей механики, хотя н выводятся на примере абсолютно твердых тел, применимы такэке к системам материальных точек, если только внутренние движении, вообще возможные в таких системах, вследствие равновесин отсутствуют. В случаях действительного покоя оба способа рассмотрения совершенно равноправны. Но в задачах, связанных с движением жидкостей, когда в последних по существу пс мояэст быть ничего отвердевшего, принцип отвердевания приводит к затруднениям.

Поэтому, имел в виду дальнейшие приложения к динамике, мы изложим здесь вкратце основное содержание общей теории равновесин деформируемой среды, безразлично-жидкой или упругой. Прежде всего напомним, что любые силы представляют собою взаимодействие между массами. Если, например, масса гп1 притнгивает к себе другую массу тэ с силой Р, то с такой же силой масса тэ притягивает к себе массу гпы Следовательно, обе силы направлены примо противоположно друг другу (закон Ньютона о равенстве действия и противодействия).

В системе масс, каким-нибудь образом выделенной среди других масс, следует различать два вида сил: внутренние силы, действующие между массами, принадлежащими к системе, и внешние силы, действующие между каждой массой системы и массами, находящимися вне системы. Во всей совокупности сил, действующих в рассматриваемой системе масс, внутренние силы входят всегда попарно в виде равных и прямо противоположных сил, а внешние силы — всегда в одиночку. При суммировании (векторном илн координатном) всех сил внутренние силы всегда попарно уничтожаются. и остаются только внешние силы. Для равновесия системы необходимо, чтобы сумма сил, приложенных к каждой отдельной массе системы, была ровня нулю (при векторном рассмотрении должна быть равна нулю векторная сумма всех сил, прн координатном рассмотрении — суммы проекций сил на три координатные осн).

Прн сложении таких сумм для всех масс системы остается, согласно сказанному выше, только сумма всех внешних сил, а так как каждая отдельная иэ сложенных сумм прц равновесии равна нулю, то равна нулю и сумма всех внешних сил. Зта теорема, при выводе которой о системе масс не делаетсл никаких иных предположений, кроме того, что она находится в равновесии, находит широкое применение в самых различных случаях. Если вычисления ведутся в координатах, то эта теорема записывается в виде трех уравнений: Рис.

1 и 2. Метод сечений где Х, У, Я суть проекции внешних сил на оси х, у, х. Совершенно аналогичная теорема существует и для моментов внешних сил: сумма всех этих л~оментов при равновесии равна нулю. Как для упругих твердых, так и для жидких тел важно знать напрлженное состояние внутри тела, т. е. внутренние силы, действующие мезкду мельчайшими частицами тела во всех паправленилх и во всех точках тела. Однако в общем случае приходится ограничиватьсл указанием только среднего напрлженного состоннил. В самом деле, как бы нн была мала выделеннал область около рассматриваемой точки тела, в ней все же содержитсл очень большое число частиц тела, находлщпхсп к тому же в оживленном тепловом движении, и поэтому картина распределения сил взаимодействия между этими частицами имеет очень запутанный вид. Но как же вообще можно получать представление о внутренних силах, если наши теоремы об условилх равновесии говорит только о внешних силах? Для этого, как мы сейчас увидим, необходимо сделать внутренние силы внешнилш.

Это вполне возмолспо следующим образом. Вообразим некоторое тело, к которому приложены внешние силы (на рис. 1 они обозначены стрелками). Мысленно разрелсем его на две части и одну из частей, например, часть 1, примем за пашу систему масс. Тогда все силы, с которыми частицы части 11 действовали на частицы части 1 и которые раньше были внутренними силами, теперь будут внешними силами.

Этн силы определенным образом распределены по площади сечении, и сумма их должна быть такова, чтобы выделенная часть тела продел>кала оставатьсл в равновесии. Следовательно, результирующая этих сил должна быть равна и примо противоположна результирующей внешних сил, действующих па выделенную часть тела (рис. 2). Таким образом, мы получили вполне определенное и однозначное представление о результирующей внутренних сил в проведенном сечении тела'. Такая результирующая внутренних сил, отнесепнал к единице площади сечении, называетсн напрллсениель В только что рассмотренном Мы получили бы соверщенно такой же результат, если бы вместо части 1 тела рассмотрели часть 11, только теперь результирующал внутреннил сил была бы прилюксна к части 11 и направлена в прлмс противоположную сторону.

примере, разделив найденную результирующую внутренних сил на площадь сечения, мы получим, очевидно, среднее напрлжение в сечении. Вообще же на различных площадках сечения напряжение может быть разным. Напрлжение па площадке, подобно силе, нвляетсл вектором. Таким образом, мысленно рассекал тело на г две части, мы превращаем внутренние силы, действующие в проведенном сечении, во внеш- 4 ние. Такой способ определения внутренних сил 3 У называется способом сечения.

Этот способ до- пускает широкое применение во всех случалх, 2 когда требуетсл исследовать напрюкепное со! стояние внутри тела. Для этой цели внутри тс- 0 1 ла вырезается при помощи некоторого числа сечений небольшая частица, например, параллелеРис. 3. Раэновеснетет- пипед, призма, тетраэдр, и исследуется ее равраэдрэ новесие. Из многочисленных и важных теорем о напряженном состоянии, которые могут быть выведены из рассмотрения равновесия таких частиц, приведем следующую: если в трех сечениях, образующих друг с другом трехгранный угол, напряженил известны, то напряжения во всех других сечениях лгогут быть определены.