Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2, страница 3

В 3. Уравнения газовой динамики в дифференциальной форме. Для той части жидкости, в которой гидродинамическне элементы и их первые производные остаются непрерывными, мы можем написать урзвнения в дифференциальной форме. Уравнения движения уже были подробно выведены в ч. ! из начала Даламбера.

Чтобы получить эти уравнения иэ (2.1), поделим сначала обе части (2.1) на Разность гз — 1, и пеРейдйм затем к пРеделу, пола~ая, что гг †» 11 = — 1. Получим, очевидно: Ь 3) КРАВИЕИИЯ !АЗОВОГ1 ДИНАМИКИ В ДР!ФФЕРЕНЦИАЛЬНОЯ ФОРМЕ )о вводя лагранжевы коордиизты: ~ РУс)т= )( ~ ~ РУ((л((у((г= ~ ~ ~ео УОс(а((Ь((с, го (н) С другой стороны, из уравнения неразрывности следует, что РС) = оо, где Ро=Р(а. Ь, с Го)=ро(а, Ь, с). Таким образом ~ ~ РУ(1т= ~ ( ~ У(а, Ь, с, г)ро(а.

Ь, с)()а()Ьг)с. (гв го Отметив, что (то) и ро от времени, по самому их определению, не зависят, мы можем написать: ои Возвращаясь к старым переменным и к (3.1), получим окончательно / Р— „) с)т= — / о~ Рп((з. (г) Далее, преобразуем правый интеграл по формуле Грина к объвмному интегралу и перенесем всв под знак объемного интеграла, Получим, вследствие произвольности объема (т) и предполагаемой непрерывности подынтегральной функции: ду Р— = — втаб р, а'г (3.2) что совпадает с уравнением (ч.3) гл.

П части первой, если там отбросить объемные силы Р. Уравнение неразрывности подробно было выведено в первой части. Вто будет для сжимаемой жидкости — + о(((ч У=О. лр л( (3. 3) где (.о) — положение обыма ( ) в некоторый закреплйнный момент (о, а, Ь, с — лагранжевы коорлииаты, с) — функциональный определитель !) Ю(х, у, г) с)(а, Ь, с) ' сллвыа»лзгывы хасактгпистики 21 Собирая члены с производными, замечая, что с — с„= А/г, и производя простые преобразования, получим окончзтельно; Р б и г где к есть отношение тсплоемкостей.

Так будет выглядеть «уравнение притока тепл໠— условие адиабатичностя в дифференциальной форме. Отметим, что х всегда будет больше единицы. Для одиоатомного газа « =э/а, для двухатомного газа к='/з (при обычных температурах). Для воздуха мы будем принимать чаще всего «='/з= — 1,4'), При выводе уравнений этого параграфа мы предполагали гидрод1шамнческне элементы и их производные непрерывнымн. Пусть теперь есть поверхность с'., являющаяся поверхностью слабого разрыва, так что сами функции непрерывны всюду, но уже первые нх производные по координатам и времени претерпевают при переходе через Х разрыв. Такого рода слабые разрывы возможны, как мы в дальнейшем увидим, лля нестзционарного движения н для широкого класса стационарных движений.

Остановимся на этом вопросе детальнее. $4. Слабые разрывы. Характеристики уравнений газовой динамики. Наличие поверхности сильного разрыва не накладывало, само по себе, никаких ограничениИ на скачки гндродинамическпх элементов, и только необходимость удовлетворить уравнениям (2.1). (2.2) и (2.3) привела к установлению соотношений (2.15), (2.16) и (2.19). Напротив, в случае слабых разрывов уже самый факт существования разрыва производных, имеющего место вдоль многоооразня деформирующегося и перемещающегося, но всегда остающегося единственной поверхностью, заставляет связать скачки названных производных некоторыми условиями.

Последние являются следствиями геометрической или, вернее, кинематической картины движения и выводятся совершенно независимо от уравнений гидродинамики. Условия этп носят название «условиИ тождественности» и «кинематической совместности». Чтобы их получить, предположим, что функция ф(х, у, г, Г) непрерывна во всем пространстве, занимаемом жидкостью, но что сб первые производные претерпевают разрыв на некоторой поверхности Ьч имеющей уравнение з) /(х, у, г, /)=О. (4.1) ') Употребнтельны ещь' числа к = 1,41, а также значение « = '/,.

Последнее получается, по Лайтхиллу, в пределе, если, рассматривая реальный, но так называемый идеально-днссоцнирующнйся газ (з котором « зависит от Т н ог числа диссоцннрованных молекул), устремлять число днссоцннровавных молекул к нулю (см, 4 24 этой главы). э) Пол функцией Ф (х, у, «, Г) мы можем подразумевать какой-нибудь гндродвнамнческнй элемент непосредсгвенпо илн же какую-либо его производную по координатам клн по времени. 22 тЕОРЕТНЧЕСКНЕ ОСНОВЫ ГЛЗОВОП ДИНЛь1ИК11 1гл.

1 Мы можем говорить о четырйхмерном пространстве (х, у, з, Ц н в нем изображать уже неподвижную гиперповерхность (4.1). Пусть теперь имеется непрерывная вместе с производными функция ф от четырех наших независимых переменных и такая, что на гиперповерхности (4.1) ф(х, в, е, Г)=сопз1. тогда вдоль гипсрповерхности г(ф = О = — г(х + — ау+ — Же+ — '- дт, (4.2) дф дф дф дф причем дифференциалы берутся вдоль этой поверхности; но здесь, вследствие уравнения (4.1), — пх + — а'у+ — а'з+ — <И = О, дУ дУ дУ дУ дх ду де дг (4.3) это есть единственное условие, которое следует наложить на диффе- ренциалы наших координат вдоль поверхности.

Сопоставляя (4.2) и (4.3), заключаем, что во всех точках поверхности разрыва и для шобого момента времени должно быть: еф дУ дф дУ дф дУ дф дУ дх'дх ду 'ду де'де дс 'де Р' (4. 4) где рт — некоторая функция от координат и времени, определанная на (4.1). Рассмотрим теперь функцию Ф(х, у, з, Е), непрерывную ео всем нашем гипсрпространстве н имеющую непрерывные же первые производные по координатам и времени.

Пусть зта функция тождественно равна функции Ф, но только в положительной области; тогда на поверхности 2' Ф = Ф Рассмотрим сщв функцию Ф, непрерывную вместе со своими первыми произволными во всвм гиперпространстве и такую, что в отрицательной области Ф = Ф; тогда на Е; ф Функция Ф вЂ” Ф непрерывна со своими производными во асам гиперпространстве н, так как (Ф] =О, — обращается в нуль на е'. Но тогда мы можем принять функцию Ф вЂ” Ф за функцию ф предыдущей теоремы, и, если заметить, что на Е, по определению Ф и Ф.

будет: СЛАБЫЕ РАЗРЫВЫ. ХАРАКТЕРИСТИКИ 23 мы можем написать: (4.5) |множення нз [р | — | +| — ) + | — ) в ниде У |дх) ~ду ) (дл) дФ Т [7Ф[=), и; Н= — — ФЛР, ~(дГ)=- (4.6) |ле и — единичныи вектор нормали, а Н, по (2.9), — скорость перемещения поверхности слабого разрыва. Кроме кинематических условий (4,5), нам следует подчинить разрывы производных от различных гидродинамических элементов условиям динамическим, проистекающим оттого, что элементы эти должны, в положительноя и отрицательной областях отдельно, удовлетворять уравнениям гидродинамики. Считая, что о, пт, тр,, р, р непрерывны, можем написать: хр= — р[ф~р р~ [.

~ — =- — йч (ръ'). да дг — — +~'р — =о. д р р дс х (4 р) Уравнения наши не содержат производных более высокого порядка, чем первый. Приписывая один раз всем производным знак плюс, а другой раз знак минус и вычитая получаемые уравнения друг из друга соответственно, придем к соотношениям: [рр[= — Я~+ .~ф+,Я1+ .фД ~ф+~ [Рр[+р[д( У[=О, р| — [ — хр | — [+ ру ° [хрхр[ — хр[р [(Гр[ = О. ч|о можно записать ещв так: [рф[=р |ру'; ~- — ~=р Условия (4,5) и суть условия совместности, о которых мы говорили.

Они показывают, что достаточно задать одну лишь функцию [хе, чтобы определить затем разрывы всех производных Ф. Достаточно знать также разрывы одной какой-нибудь производной. Так, например, если разрыв одной из производных первого порядка равен нулю, то и все производные первого порядка будут на (4.1) непрерывны. Формулы (4.5) могут быть еща представлены путем деления и 24 теояетические ОсНОвы ГА30ВОЙ динАмики (гл, р Используя (4.6), получим тогда: рма рлурЛ ~ лаур — -А,АР+)7 А +Илу а=о, л глРХ - - хрр „М вЂ” рЪ'„ЛР+ хрИР>м = О есть вектор с компонентами ), р.„, )х ). Соб1ррая члены с Л, ( будем нметри Л и = Р (Р"ч' — )Рх) ).

У, )р (ртг И ) (4.8) ГЛР (~ ~х) Р ( ~л) )'р Пять величин Л удовлетворяют пяти однородным уравнениям. Для того чтобы существовали А, отличные от нуля, необходимо, чтобы был равен нулю определитель системы; проще всего получить это условие, умножая скалярно первое уравнение нз (4.8) на и и вставляя вместо р(Лу а) выражение из левой части второго из уравнений(4.8). Получим тогда: Л =А (Лг — Ъ'„)2, что в соответствии с последним из (4.8) даст либо )'ч' — 1;, = О, либо (Х вЂ” И„)' = х — = а'. Р (4.9) Первое из этих равенств отвечает случаю стационарного разрыва (6 = — О). Второе равенство показывает, что скорость распространения нестационарнои (8 ~ О) поверхности разрыва первых производных всегда равна : а = -~- 1рр — .

Величина эта носит название скорости звука. Мы говорили о скорости распространения поверхности слабого разрыва для производных первого порядка. Можно показать, что скорость 0 распространения любого слабого разрыва (т. е. разрыва производных любого порядка) будет либо В = О, либо ( 0', = а, Напротив, как мы вскоре увидим, скорость О для сильного разрыва со скоростью звука никак не связана. Покажем теперь, как слабый разрыв связан с характеристиками системы уравнений газовой динамики. Последняя есть система пяти уравнениИ в частных производных первого порядка по четырем независимым переменным, содержащих пять неизвестных функциИ. Известно, что к рассмотренню характеристик приводит задзча Кошщ каковая ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ До!НАМИКИ !ГЛ.

! Чтобы найти их, обрашаемсн к пяти уравнениям (4.7) и записываем их в новых переменных, пользуясь (4.12). Имеем (мы выписываем лишь те члены, которые содержат дифференцирование по»): дех с — Ч вЂ” Ч вЂ” ду дус 1 ду др =" (о, — + о — + ог — -+ — ) + = — —.. д с,хдх Уду д» ДГ) р дх Д» Дю 7- ДУ вЂ” Д/ — ДУ ДУ! 1 ДУ Др =(ох — + „— +,— + — )-+= — = Д» ' дх "ду Дг ДС р Ду д» Де„у- сЧ вЂ” ДУ вЂ” ДУ' се! 1 ДУ ДР ="1о.— +о — +и.— + — )+=-- — = Д» с дх "ду Д ДС) р Дг д» с)Р с ДУ дсу ДУ дег сЧ вЂ” — — + ="- — + = — -+ Д» Дх дг ду Дг дг 1 Др ' — Ду" — ДУ вЂ” Ду' ДУс + — =-1ох — -+ ссу — + о, — + — -) Д,-', х Дх ° Д, «Д». Д,) (» Дх ' ' ду 'д. Д!)(д~ р Дг) Ч вЂ” Ч вЂ” Ч Ду" (4.14) Пять наших производных можно найти из этой системы алгебраических уравнений лишь в том случае, если ее определитель отличен от нуля.

Определитель этот, если обозначить — ду — ду , — ду ду о — — +и — +о — + — =А, -сдх у д> ' »д» Д! будет: 1 ДУ О р дх 1 ду' О р ду 1 ДУ А р д А О О А о =.= — 'А (((Д') +(Ду) + — ) ] Х вЂ” А: ° (4.15) О О сЧ дУ сЧ Дх Ду д» О О О А сумели бы по (4.13) рассчитать (да/Дх)у ш ... У нас имеется пять функций: о„, о, и», р, р, так что нам надо найти пять производных СЛАБЫЕ РАЗРЫВЫ ХАРАКЗЕРИСтИКИ Вслк гиперповерхность (4.10) и заданные на ней функции о, и,...

заковы, что (4.15) обращается в нуль, система (4.14) может допускать лишь неопределвнные решения. Чтобы эти решения оставались копечными, необходимо прп этом потребовать обращения в нуль всех определителей, составленных путем последовательного введения правых частей (4.14) в столбцы определителя системы. В таком случае многообразие (4.10) называется характеристическим многообразие н (характеристической гиперповерхностью) илн просто характеристикой.