Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1, страница 13

Приняв ось цилиндра за ось Ое и взяв начало координат у дна, имеем по заданию: и. = — еУ, от —— 2пх, оп= О, 2 = совет. Уравнения Эйлера дают; 1 др , 1 др — 22 Х= — — —; — М У= — —— р дх' р ду' 1 др О= — а — — —, ь Рис. 25. откуда по умножении на «х, «у, «х и сложении получим для «р выражение «р = епа (х «х+ у «у) — 2««е или «р = « ~ — 2222 (х'+ у') — Е/ее~ и после интегрирования: 1 2 р = ипр (хп+ уп) — арх+ С. 2 На поверхности жидкости р = О; уравнение поверхности — ета (хп+ уп) — аах+ С = О 1 2 дает параболонд врвщения; вводя обозначение ОЕ = И', имеем: Для определения И' имеем условие сохранения объема в покое и при вращении тп а га'И = )) хг «г «е, о о где г и е — полярные координаты.

Вычисляя, имеем: 22 а ат / 222 яапИ = ) ) /(И'+ — гт) г «г «е или яапа = яа21/2'+ — ат)), 2«) Фд' о о отнуда „2 И'= И вЂ” — а', бб' ?6 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОИ ЖИДКОСТИ !ГЛ. Н и давление в любой точке будет; р ир (И вЂ” «)+ — и р х + ул — — ал~ т т 1 2 ! 2 2. По условиям предыдущей задачи вычислить полное давление на лно сосуда. Ответ.

Р = ядра'И = давлению в состоянии покоя. 3. Некоторый объем жидкости занимает длину 2й находясь в прямой трубке с малой постоянной площадью сечения. На каждую частицу жидкости действует внешняя сила, направленная вдоль трубки к постоянной точке и пропорциональная расстоянию частицы от этой точки.

Определить дввжение жидкости и давление в каждой ее частнце. (Рамсей) Решении. Взяв ось трубки за ось Ох и приняв начало координат в постоянной точке, имеем из уравнения неразрывности: — =О, до» дх ибо и е»=О; еу — О тогда уравнения Эйлера получают вид: де» 1 др др др — "= — Рх — — — — =О, — =О. дт р дх' ду ' д« Интегрируя по х, находим: де» ! л р х — = — — Рх' — + С, д? 2 р ибо в и дех/дт от х не зависят, Граничнйе условия дают р= О при х = «и при х = «+2й т е.

до 1 де» 1 х С Р«ь («+2?)» С Р («+2?)л дт 2 дг 2 откуда дех 1 до» + Р «с» Р ( «+ ? ) дг 2 ' дт Но х — Г н значит «+И(«+?) О, откуда, интегрируя, получаем: «+?= АЯЧЧО( РГ+ л) и значит: р 1 дех дох — Рхл х х — («х) — х + — и («л — хл) 2 1, т — !* («+ ?) (« —,Т) + — Р («' — хт) = — Р. (х — «) («+ 2! — х), 2 2 УПРАЖНЕНИЯ $ пй т. е. давление определено для каждой точки жидкости при любом положении всего жидкого объема, совершающего гармовические колебания около начала координат.

11ля середины объема будет — = — РП. р 1 р 2 4. Убедиться, что при взрыве мины под водой взрывнов давление изменяется обратно пропорционально расстоянию от места взрыва. Решение. Эффект взрыва в точке О состоит в сообщении за весьма малый проме- у, 5 жуток времени бт скоростей частицам жидкости, расположенным вокруг О. Считая картину явления симметричной, будем предпо- Ц лагаттч что скорости всех точек направлены по радиусам-векторам и зависят только от удаления их от точки взрыва; окружим эту точку двумя концентрическими сферамж 5, радиуса 1 и 5 радиуса г и назовем ско.

рости частиц жидкости на этих сферах через Рис. 26. в, и о 1рис. 2б1, В силу несжимаемости жидкостя через сферы 5, и 5 за время бт протечет одинаковый объем жидкости, т. е. 4ке, бт =4яг'оЫ, откуда о=— е, гт вли векторно, длл точек А, и А, лежащих на одном радиусе, и=— 1 г' ' Применяя уравнение Эйлера в векторной форме, имеем: ттв 1 — = Р— — ягаб р. нг За время бт скорость частицы в точке А изменилась от 0 до и,/гт, зна- чит ускорение иоугтт приближенно равно о,/гтбр и велико по сравнению с массовой силой Р; отбрасывая последнюю, имеем: ро~ яра р = — — — =— ггаг где для краткости положено а р", т. с, градиент взрывного давления направлен к центру.

Отсюда заключаем; а Р= г' 75 ОснОвные уРАВнения динамики Р!делльноя жидкости (гл. и ди дт 1 др У вЂ” —— р дх Интегрируя по х, находим: ди р х — = т'(г) — ех — —, д( Р где у'(г) — произвольная функция времени. пренебрегая атмосферным давлением, имеем р = О при х = л, н значит: ди У (Г) — дл. дг Исключая из двух последних равенств /(Г), получаеаи — = (» — х) 1(и+ — ( р l дит р 1 дгу и, в частности, для точки В будет; — (к+ ф).

(15.1) Аналогично, называя через р' и и' давление и скорость в некоторой точке горизонтальной трубки в расстоянии х' от В, имеем ди' †, = Π— уравнение неразрывности, дх' ди' 1 др' — = — — —, — уравнение Эйлера. дг р дх' Интегрируя и исключая произвольную функцию, получаем: р',, ди' — (л' — х') —, а дт и для точки В; б. Вертикальная трубка АВ малого постоянного сечения (рнс. 27) разветвляетси в нижнем конце на лве горизонтальные трубки ВС и В(), сечения которых тоже постоянны и равны каж,юе половине сечения вертикальной трубки; прн стыке труб имеются краны, запирающие горизонтальные трубки.

Краны заперты, и вертикальная трубкз наполнена жидкостью до высоты АВ = а. Определить движение после того, как краны будут одновременно открыты. Решение. Обозначим через л переменную высоту жидкости А'В по прошествии времени Г ог начала движения, а через л' длину ВВ'.—.=ВВ' р жилкости в тот же момент в горизовтальнык трубкак. Так как объем жидкости остается иеРис. 27. измеиным, то л+ а' = а. Если р есть давление, а и — скорость в не- которой точке столба ВА' на расстоянии х от В, то уравнение неразрывности дает ди!дх = О, и уравнение Эйлера для втой точки принимает вид: Р' ди' д( (15.2) кчн'лжыинин дг '( + дг)1 (15.3) но дг, дл' и = — =л, и' — =л'; дс ' дг кроме того, н значи.г л+л'=а г' — ж Исключая из (15.3) л' н и', получаем; — (а — л)л=л(а+а) или ал'+На=5. Общий интеграл последнего уравнения есть а = А в(н~~/ — (+ в).

Удовлетворяя начальным условиям х = а, а = 0 при 1 =0, находим, что динжение уровня жидкости в вертикальной трубке будет выражаться фор- мулой л.=асов~~/ ~ 1) до тех пор, пока трубка не опорожнится, что произойдет через время т = (в12) УаЯ. Этот жс результат можно получить сразу, применяя интеграл живой силы (14,10): 1 , л' а' — рачлв+риз — = рха— 2 2 2 где ч — площадь поперечного сечения трубки АВ.

Отсюда '= — у — ) ав .в ./ х а и после интегрировании л —.— асов()/ — 8). 6. Газ движется при постоянной температуре по прямолинейной трубке постоянного сечения. Пренебрегая силой тяжести, составить дифференциальное уравнение, которому удовлетноряет скорость о, считая что она во всех точках одного и того же поперечного сечения в момент ( одинакова и направлена вдоль трубки.

Направив ось Ох вдоль трубки н фчьсировав начало координат, имеет, уравнение Эйлера до до 1 др — + — о= — — —, дг дх р дх' Сравнивая (15.1) и (15.2) для одной и той же точки В, имеем р=р' и значит Нп ОСНОВНЫЕ КРАВНЕНИЯ ПННАМИКИ НЛЕЛЛЫГОП ЖНЦКОСТИ !ГЛ. Н ) равнение неразрывности — + — =о да д(ро) дт дх н уравнение состояния, выражающее закон Бойля — Мариотта, р=йр. Задача сводится к составлению одного уравнения, содержащего только о. дифференцируя по т уравнение Эйлера, имеем; дто , д'о до до й дтр , й др др — — -г — о+ — — = —— + — — '— д(т дх дь' дх дт р дх дг рь дт дх заменяя да!дт из уравнения неразрывности и выполняя в праной части диффе- ренцирование, находим: дР дх1 дт) дх'+дх~ е дхж).

Вследствие уравнения состояния и уравнение Эйлера булем иметь йо дь о др до,до — — = — — = — о — — о р дх ь дх дт дх' полставляя в предыдущее равенство, прихолим к искомому уравнению после переноса двух последних членов в левую часть: д'о д !' до, дот дто — + — ~2о — + о' — -) = й —. дтт дх 1 дт дх( дхь двигающейся в условиях 7. Показать, что яля сжимаемой жидкости, задачи 6, будет справелливо соотношение дьр д' дт. = д . — Ио' + й) Е). Реьаение. Имеем уравнение Эйлера до до 1 др — + — — о —— д( дх ь дх ' которое при р(ь = й принимает вид до до й дз — + — о= — — — ', да дх р дх' н уравнение неразрывности др, д (ао) д! ' дх 11ифференцнруя последнее по ь, находим: д'р д' (ро) — + — = О.

дР дх дт (15.4) 81 кпрлжнкн!!я я !и! С др)гон стороны, уравнение Эйлера дает: до / до др 1 Р— = — (Ро — + й — 1, дс ~ дх дх/' (15.5) а уравнение неразрывности дает; др д(ро) ( дп, др й о — =- — о = — 91рп — + е' — /. д! дх 'т дх дх/' (15,6) Складывая (15.5) н (15,6), находим: (от+ й). ((о! Л) ) (157) д (рп) Г до дрт д д( 'с дх дх ! дх Дифференцируя (15.7) по х и подставляя в (15.4), приходим к искомому соотношению.

8. Два одинаковых закрытых цилиндрических сосуда высотою с, основания которых лежат в одной горизонтальной плоскости и соединены трубкой с краном, наполнены — один водою, другой воздухом, давление котоого р, может уравновесить столб воды высоты й, причем й < с (рве. 28). некоторый момент кран открывается и устанавливается сообщение между сосудами. Найти наибольшую высоту поднятия воды во втором сосуде, считая, что воздух в нем сжимается изотермнчески. Ре:илиме. Обозначим через р давление и через т — объем воздуха в сосуде В, когда вода в нем поднялась па некоторую высоту х; тогда по закону Бойля — Марне! та будет: р -. с — х П оптуда гро с!!8' !'т = с — х с — х (15.8) Применяя уравнение энергии (14.9) ко всему объему жидкости, имеем; г! (1+ Р) !: дх дх — р — дЯ= — р — 5, д(,/ ПС д! Рис. 28.

где интеграл распространен только на поверхность воды в сосуде В, трк как в сосуде Лр = О, а вдоль твердых стенок ао + Пп +;о = О. Вследствие (15.8) имеем: д(7+() = — — дх, Ясйаг с — х откуда, интегрируя по х, имеем: т+ Ьг = Вс)та 1ц (с — х) + С. с — х х Ь'= с85 хг =(с — х) Вд +хай — = — ЯР— сх58+х958. 2 2 2 6 Зак. 9999 Потенциальная энергия )г жидкого объема равна весу всего объема, умноженному на высоту х„центра тяжести: 82 основныв тгдвнвния динамики идвяльнои жидкости шл,п Подставляя в предыдушее равенство, находом: Т+ — 5яст — 5хгсх+ 5г хе — 5дсд 12(с — х) = Е. 1 2 В начале движения при х = О будет Т=О и мы определяем значение постоянной ь: 1 — 5яст — 5г ей1я с = С.