Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1, страница 11

Мы имеем здесь дело с так называемым адиабатическлм движсние.ч. Величина р(Р' связана с энтропией о' соотношением 5 = — и1п .;-+сопя!. А рт (1! .1О) ') К у з н е ц о в Е. С., Лучистый теплообмен в движущейся жнлгоч срезе, Изв. АН СССР, серия географии н геофизики, 1941, )ча 1. В силу (! 1.8) энтропия при е = О сохраняется в частнике (хотя может меняться от точки к точке).

11 частном случае может оказаться, что р(р' будет постоянным во всей срслс. Уравнение (11.8) прн этом удовлетворится. В этом случае мы булем иметь дело с баротропной жилкостью. В термннолопш, приведенной выше, это будет полнтропнческий процесс с показателем позитроны х. Г1роиесс этот нззываюг нззнтропическиж нз-за постоянства энтропии. Основные вилы притока тепла, вхолящве в е, котла (11.7) не выполняется, связаны с теплопроводностью, вязкостью и излучением.

Для первых лвух видов притока тепла мы мозкем выразить з череа наши шесть элементов и, таким образом, замкнуть при помощи уравнения состоюшя н уравнения притока тепла нашу систему. Во второй части этого курса в главе о вязкой жидкости мы увидим, как это конкретно делается. Введение излучения представляет слелуюшее усложнение в том смысле, что интенсивность излучения появляется в качестве новой, сельмой неизвестной величиньн для которой слелует составить седьмое уравнение' ).

Однако в механик: сжимаемой жилкости сушествует большое количество теорем обшего 64 основныв квавнвния лмнлмики ндвлльног1 жидкости 1гл. м о (х, у, г, 0) = у,(х, у, г)„ пя(х, у, г, 0) = 9а(х, у г) о,(х, у, г, 0) = вз(х, у, г), (1 2.1) Граничные условия могут быть нескольких видов.

Если жидкость среди своих границ имеет неподвимо|ую стенку, сквозь которую жалкость не проникает и к которои жидкост~ прилегает без пустот во время движения, то такого рода граничное условие состоит в том, что во всех точках вдоль поверхности стенки скорость частиц жидкости должна быть перпендикулярна нормали к поверхности. Если Е (х, у, г) = 0 представляет уравнение поверхности. стенки, то последнее условие выразится, очевидно, соотноше- нием дг' дР' дУ' — о .+ — о -(- — о =-О. их ." ду у дг (12.2) Если стенка представляет собой подвижную поверхность, изменяющую при движении свою форму, так что уравнение поверхности будет вила г(х, у, г, г) =О, (1 2.3) и по-прежнему жилкость лолжна прилегать к стенке, не протекая сквозь нее, то граничное условие, очевидно, б>дет состоять в зом, характера. которые выводятся без привлечения уравнения притока тепла.

а только из уравнения неразрывности и уравнений лвижения. Имеьнэ зти общие теоремы и будут даны в первой части нашего курса, когда речь булет идти о сжимаемоИ жидкости (см., например, главу Ч). ф 12. Начальные и граничные условия. Решения дифференвнальных уравнений гилродннамикп будут содержать произвольные функции и произвольные постоянные, которые нужно подчинить ряду лобавочных условий для постижения определенности в решении конкретных задач о движении жидкости.

Эти условия могут быгь двоякого рода. Одни из нпх, называемые начальными, должны быть выполнены в начальный момент движения Г =-0 во всех точках пространства, занятого жидкостью; другие, так называемые граничньге условия, лолжпы выполняться на границах жидкости в любой момент ее лвижения. Если рассматривать лвпжение идеальной несжимаемой жидкости в переменных Эйлера, то начальные условия состоят в том, что задается состояние движения, т. е. по,те скоростеИ в гичальиыИ момент и, значит, решения о (х, у г Г), о (х, у г 1), тг(х у г Г) уравнений (10.1) лолжны при (=0 обращаться в наперед заданные функции координат точек поля: пвнмвнгннв закона количтстз лвнжсния ф 13! что скорость перемещения любой точки поверхности и скорость частицы жидкости, прилегающей в этой точке к поверхности, должны иметь одинаковые проекции на нормаль к поверхности.

Пусть точка поверхности, имеющая в момент 1 координаты х, у, х, получит в следующий момент Г+Л координаты х+ г)х, у+.г)у, г+Фг; так как точка остается на поверхности (12.3), то (! 2.4) Р!х+дх, у+ау, г+ иг, Г+дт) =О, пли, разлагая в ряд Тэйлора и ограничиваясь первымн членами разложения'! дР дР , дР дР— пх+- — — ггу+ — пг+ — пт == О. дх ду ' дз де (12. 5) Разделив (12.5) на Л и замечая, что дх ду У пх дГ пт дГ суть проекции скорости частицы, находим искомое граничное условие: дР дР дР , дР— о + — — и + —.— + — =О. дх х ду т дз ' дГ (12.

6) Упомянутые здесь вилы граничных условий не исчерпывают все возможные случаи. Своеобразные краевые условия возникают, например, на поверхностях разрыва, отделяющих рассматриваемую часть жидкости от других частей той же О!ли другой) жидкости. Так, например, если жидкость граничит с пустотой (пли с воздухом), то во всех точках свободной поверхности )уравнение последней пусть будет Р(х, у, г, т) —.— О), кроме условия (12.6), должно выполняться для идеальной жидкости условие Р !х.

у, г, г) = сот.з!. 5 зяк. нзз Другие виды поверхностей разрыва и соответствующих краевых условий мы рассмотрим зо второй части книги, в главе, посвященной вопросам газовой динамики. В 13. Применение закона количеств движения и ззкоиа моментов количеств движения. Эти законы установлены для всякой системы материальных точек, между которыми действуют внутренние силы взаимодействия, попарно равные и противоположные, так что главный вектор и главный момент внутренних сил равны нулю в каждое мгновение движения. В частности, оба закона будут приложимы для жидкости кзк идеальной, так и вязкой. В случае установившегося движения жидкости закон количеств движения н закон моментов допускают простую геометрическую интерпретацию, к установлению которой мы перейдем, ограничиваясь для простоты идеальной жидкостью н начав д.тя большей наглядности с частного случая.

бб основныв гплвняння динамики идгхльнон жидкости !гл.н рассмотрим установившееся движение в элементарной трубке тока (рис. 22) и разберем изменение за бесконечно малый промежуток времени И количества движения жидкого объема, заключенного в отрезке трубки аЬ. Пусть скорости в сечениях а и Ь вЂ” о! и г, и пусть за вр ч!я Л рассматрнга"л! ваемый ооъем перейдет в положение а'Ь', так что таст па' = н! Н, ЬЬ' = 222 !й. Так как движение — установившееся, то общие части а'Ь рассматриваемых двух объемов аЬ и а'Ь' булут облапать один аб иаковыми количествами движе- Е! чм иия.

Следовательно, искомое изменение количества движения выразится геометрической разностью количеств лвижения объемов ЬЬ' и аа'. Вследствие неразрывности лвижения массы жилкостп, протекающей за время Л сквозь сечения а и Ь, будут одинаковы, т. е. Рис. 22 о! г)Г ' ! ~~~! ~2 ~~~ Р2 г)~2 где рн г)5! и р2, !Ю2 суть плотности и площади в сечениях а н Ь. Таким образом, искомое изменение количества лвижения !)К булет: Г)К = — О2 22 Ш вЂ” О, !2'т.

дК= о2 г)т — н! !2т =- Рг)'!. Лналогнчно, применяя закон моментов количеств движения и повторяя предыдущее рассуждение, мы придем к соотношению: () 3.2) Л = т 2 )( н2 а гн — г, Х о, Игл = Е Ж, где Ь есть момент количеств движения жидкого объема аЬ, г, и л2— ралиусы-векторы сечений л и Ь, А — главный момент сил гидродинамическнх давлений, приложенных ко всей замкнутой поверхности объема аЬ, С другой стороны, вследствие закона количеств движения, ггК будет равняться элементарному импульсу всех внешних сил, приложенных к объему аЬ, т. е.

всех массовых снл и сил гилродинамических давлений, приложенных кзк к боковой поверхности трубки, так и к сечениям а и Ь. Если массовые силы отсутствуют или если имн можно пренебречь по сравнению с силами давлений, то, обозначая главный вектор последних через Р, имеем: ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ Ьт э ги ивг дт Ф вЂ” и — о г,гг пг приложенным к кониалг отрезка и численно равным секундным гсоличествам движения жидкости, вытекающей и втекаюигей в трубку через сечения на ее концах. Если эти две силы пересекаются, то совокупность гидродинамическнх давлений есть такая совокупность сил, которая, будучи приложена к тверлому телу, может быть уравновешена одной силой, равной 3' и'гп Тг (о — ог) — и приложенной в точке 1 2 иг пересечения векторов ог н оп Применим теперь закон количеств движения и закон моментов к любому связному объему жидкости конечных размеров.

Пусть, например, проведена иепорис. ' . ис. 23. движная замкнутая поверхность 5 в потоке жидкости, обтекающем неподвижное твердое тело М (рис. 23). Жидкий объем, ааключенный внутри 5, имеет своей наружной граиипей поверхность 5, а внутренней гранипей — поверхность твердого тела М. Через бесконечно малый промежуток времени с!Г жидкий обьем перехесгится в положение О', которое мы получим, отложив от каждого элемента поверхности 5 вектор чгдт.

В случае установившегося течения жидкости количества движений з общей части Я объемов, заключенных в 5 и Яг, одинаковы, следовательно, изменение количества движения жидкого объема 5 за время гут выразится геометрической разностью: которая вследствие закона количеств движения при отсутствии массовых сил будет равна элементарному импульсу всех гидродинамических давлений, приложенных к гранипам жидкого объема, т. е.

к поверхности 5 и поверхности М: и дт — ~ гг г7т = Рз дт -+ Р" аг !1 З.З) где Рз и Рм — гллвиыс всксоры давлений, приложенных к 5 и Л!. равенства (13.1) и (13.2) могут быть обьединены при помощи единой формулировки, известной под названием теоремы Эйлера: при отсутствии .чассовых сил совокупность гиородинаиических давлений, приложенных ко всей поверхности некоторого отрезка гпрубки тока, эквивалентна в случае установившегося движения двум силам; 68 ОснОВные уРАВнения динамики идеАльнои жидкОсти (гл тт — = — / орд«=Р +Р «/К «/ /' з А, д/ и/ ./ — — (гХ о) рдт =/, +/.' д/ «/ Р а «ч д/ дт,/ Так как при нахождении полной производной д/дт мы следуем за частицами объема -, при их движении н так как при этом масса частицы р д«остается неизменной, то знак производной д/д/ можно отнести к векторам о и г Х ее дК /' до — — рви д/,,/ д/ / д(гХо) д/ ./ дт р дт.

(13.5) (1З.б) Взяв проекцию (13,5) на неподвижную ось Ох, имеем: дК« / / до, до«. док — — ок+ — о + — о = / 1 дх к ду У д» «/ так как до /д/ —.- О вследствие того, что движение установившееся. Применяя преобразования дох д(т'„р) д (о„р) Охр = ок дх дх дх до д (охо„р) д (о„р) — о Л = — — о»в ду ' = ду ду док д(око«р) д(о,р) огр— — ох — * Аналогично, применяя закон моментов количеств движений, приходим к равенству: ~ (г Х о) г/т — ~ (У Х О) г/т = уз «//+ у." д/, (1 3«4) «« «, Оба равенства (13.3) и (13.4) выражают, что совокупность гпдродинамических давлении на поверхностях О и А4 эквивалентна совокупности векторов, приложенных к элементам поверхности О, численно равных секундным количествам движений жидкости, протекающей через элементы этоИ поверхности, и направленных по течению в тех элементах, где жидкость вытекает, и противоположно там, где она втекает в поверхность О, которая при этом считается неподвижной. Этот результат можно получить и чисто анали~ическим путем.