Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1, страница 14

2 Таким образом, Т вЂ” 5дсх+ 5ххт — 5дсй 1д = О с В тот момент, когда вода достигает наибольшей высоты в сосуде В, скорость каждой частицы обрапгается в нуль и, значит, Т = О. Следовательно, высота наибольшего подъема служит корнем уравнения сх — х'+ си1я — = О. с ГЛАВА ТРЕТЬЯ ГИДРОСТАТИКА А. ГИДРОСТАТИЧЕСКОЕ ДАВЛЕНИЕ нли в про кциях Х= — —, 1 д«« дх ' р ду ' р дх ' (1.2) Последние уравнения называются уравнениями равновесия.

В случае отсутствия массовых сил уравнения равновесия примут внд: — =О, — =О, — =О, д««д)«д)« дх ' ду ' дх т. е. давление одинаково но всех точках жидкости; это соотношение известно под названием закона Паскаля. Для тяжелой «кидкости уравнения равновесия дают: др дл др — =О, — =О, —,=рд, дх ' ду ' дх если направить ось Оя вертикально вниз. Первые два уравнения выражают, что р = сопз1. для всех точек на любой горизонтальной плоскости, которые являются, таким образом, поверхностями равного давления или так называемыми поверхностями )«ровня. Третье уравнение (1.3) для несжимаемой жидкости дает: р=рП+С, (1.4) считая д постоянной величиной в некоторой ограниченной области близ земной поверхности.

Если покоящаяся жидкость имеет свободную поверхность, к которой приложено одинаковое во всех точках внешнее давление и„. то эта поверхность должна быть горизонтальной плоскостью. Взяв ф 1. Уравнения равновесия. Для покоящейся жидкости гидро- динамическое уравнение (6.1) предыдущей главы принимает вид: х" — — ассад Р =- О 1 (1.1) гнпгостлтикл 1ГЛ. >П на ней начало коорлинат, имеем на (1.4) С=)>е прн г — -О и получаем таким образом соотношение Р— >зе+Р~~ (1.5> выражающее известный гилростатнческий закон: давление на глубине г от поверхности равно внешнему давлению, слоисенному с весом столба жилкости, высота которого есть г, а площадь основания равна единнне. Этот закон остается справедливым н для сжимаемой жидкости, так как и в этом случае из уравнений (1.3) следует: гч ря — р,= ~ дре>а=весу столба высотою зе — ан и где д и р суть некоторые функции от г.

2 2, Условие дли сил. Уравнения равновесия налагают некоторое ограничение на характер массовых сил, способных сознать равновесие жидкости. Чтобы вывести искомое условие, напишем очевидные соотношения, получаемые из уравнений равновесия после предварительного умножения на р и последующих дифференцирований: д(Е~) д(ГУ) де ду де дудг " д (зХ) д (зХ) др да дх длд= ' д (з)') д (рХ) д>р дх ду дхду ' выполняя дифференннрование, нахолим: /дХ дУ'> др дз р~ — — )=У вЂ” — Х вЂ” -, ( ду да / дя ду ' /дХ дХ т дз дв р — г — Х ( дз дх ) дх да ' Умножая на Х, г, Л и складывая, получаем искомое условие: которое можно короче представить в векторной форне: Р ° го1 Р= О.

(2.2) В геометрии доказывается, что при соблюлении условия (2.1) система силовых линий дл Ну дя Х у Е БАРОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА 85 может быть пересечена системой ортогональных к ннм поверхностей. В случае однородной несжимаемой жидкости р= сопз1., н уравнения равновесия (1.2) дают непосредственно т. е. массовые силы при равновесии должны иметь потенпнал ъ' = — р + с, так что Р= — тай (г. В этом случае условие (2.1) выполняется само собой, так как го1Р= — го1 3гад Ъ'= О.

ф 3. Барометрическая формула. рассматривая атмосферу как покоящуюся сжимаемую жидкость, можно установить приближенную зависимость между высотой над поверхностью земли и атмосферным давлением на рассматриваемой высоте, известную под названием барометрической фор.нулы, Взяв начало координат на уровне моря и направив ось Од вертикально вверх, напишем уравнения равновесия: — =О, до дх — „=О, — =- — И. др др ду ' дз (3.1) Здесь р есть плотность на некоторой высоте д, связанная с давлением и абсолютной температурой Т уравнением состояния (Клапейрона): ЙрХ, и обозначая 1/273 = а (коэффициент температурного расширения воздуха), напишем уравнение !(лапейрона в форме ( + — — 27ЗЙ.

(3,2) Вводи для удобства обозначение 27ЗЙ= 1)й, имеем из (3.2): ар 1+чт ' где Й вЂ” газовая постоянная. Вводя обычную температуру е в градусах Цельсия Т = 273+. ч гидностатикА 1Гл. иг Подставляя в уравнение (3,1), получаем: лр лл — = — — г(8. Р 1+ат Величина ускорения силы тяжести А" на высоте г изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от центра земли, как это следует непосредственно из закона тяготения, если пренебречь прн этом вращением земли. Принимая землю за шар радиуса а и обозначая через д величину ускорения силы тяжести на уровне моря, имеем: (а+ 1)1 Определенное отсюда значение д' подставим в уравнение (З.З) чр Лнв1 ва р 1+ат (а+1)1 и, интегРиРУЯ междУ высотами аг и га, на котоРых дзвление обозначим чеРеа Р, и Ра, полУчаем: 12 Р1 1 л'1 1в — '= — йдаа 1 Р~ ./ 1+ас (а+а)1 1~ Здесь т есть некоторая неизвестная функция от а.

Сделав приближенное допущение = соп51., 1~+11 2 где т, и тз — температуры на высотах г, и гм мы приходим к при. ближенной формуле р, ЛАа1 1 1(1 !и — '= — — г р, 1+ат .Г (а+1)' 1, или ра Ллаа р, 1+11 ~а+11 а-~-г~)' откуда получаем, обозначив аа — г, = Ьг: (3.4) Вычисления по этой формуле ведутся последовательными приближениями: сначала в правой части полагают Ьг = О и вычисляют первое приближение для бг; внося эту величину в правую часть формулы, находим второе приближение для Ьа и т.

д. 8? тсловия нл повегхносги гхзделл а 41 1(ля небольших превышений Ьх можно получить более простую приближенную формулу, приняв непосредственно в уравнении (3.3) Р = сопш. = '+ 2 где Р, и Рг — давления на высотах з, и зг; тогда, обозначая Р~ — Рг = цР и принимая л'= д, имеем: О Р~ Рг Ле' Р~+Рг 1+~" откуда Численное значение множителя 2/Дд составляет около 16 000, если высоты взяты в метрах, а давление — в миллиметрах ртутного столба; таким образом, мы приходим к приближенной формуле Вабине Ля=16000 ' ' (1+ее), Р~+Рг $4, Условия на поверхности раздела.

Рзссмотрим изменение давления ИР при бесконечно малом перемещении вдоль границы раздела двух несжимаемых несмешивающихся жидкостей с плотностями р, и рг Так как на границе давление и массовые силы одинаковы для обеих жидкостей, то, умножая уравнения равновесия на проекции перемещения г(х, ~(у, ~1з и складывая, получаем: ~ХР = р, (Х г(х + У ду+ х.

дз) = рг (Х г(х+ у г(у + х. г(г); (4.1) отсюда заключаем, что при р, чь рг должно быть Хг(х+ Гг(у+Е ах=О, иР=О, (4.2) а тогда и Таким образом, на поверхности раздела давление постоянно, т. е. поверхность раздела служит поверхностью уровня давлений и одновременно является поверхностью уровня н для потенциала массовых сил, как показывает уравнение(4.2), которое можно написать в форме Л' = О, так как при равновесии несжимаемой жидкостк должен существовать потенциал массовых сил. Отсюда мы заключаем, что границей раздела двух соприкасающихся и находягцихся в равновесии тяжелых жидкостей является горизонтальная плоскость.

вв гидяостлтикА 1гл гг! Р= крт, причем для определенности температура рассматривается как ааданная наперед функция точки; при определении дав.чения на погруженные в жидкость тела обычно рассматривается изотермическое равновесие жидкости, при котором Т= сопя(. Совокупность сил гидродииамических давлений, приложенных к некоторой твердой поверхности Я, рассматриваемой как часть границы жидкости, приводится, как известно из статики твердого тела, к одной силе, равной главному вектору давлений (5.1) и к одной паре с моментом ~ (КХР)г(о 5 (5.2) или в проекциях Р„= ) рсоа(л, х)агя, ~ рсоа(гг, у)гг'о, Р,= — ~ РСОа(и, 2)агя, (5.3) 5 = ~ Р1у соя(л, 2) — асоз(л, у)) г(Я, У.„= ~ Р [2 соя(п, х) — х сов (и, 2)] Щ г = ~ Р(хсоз(л, у) — усов(п, х)) аго, (5.4) где через и обозначено направление внешней по отношению к жидкости нормали к поверхности Я.

5 6. Давление тяжелой несжимаемой жидкости. Рассматривая в дальнейшем до конца главы равновесие тяжелой несжимаемой 8 5. Обшие формулы для определения давления на твердую поверхность. В заданном поле массовых сил давление является определенной функцией точки, определяемой из уравнений равновесия и добавочного уравнения состояния вида г (Р, р, Т) =- О, устанавливаюшего зависимость между давлением, плотностью и температурой. Для несжимаемой жидкости уравнение состояния есть р = сопа1.; для сжимаемой же жидкости уравнением состояния булет уравнение Клапейрона: жидкости с горизонтальной свободной поверхностью, к которой приложено постоянное атмосферное давление ра, мы будем иметь на глубине 2 от поверхности: Р = е 92+ Ра.

Давление атмосферы можно заменить весом фиктивного слоя той же самой несжимаемой жидкости; высота такого слоя булет, очевидно, Рд . 6=— 6Р горизонтальная плоскость, проведенная на высоте «е иад свободной поверхностью жидкости, носит название приведенного уровня. Отсчитывая глубины «' от приведенного уровня, мы будем иметьч 2 =2+ — или 2=2 Ро Рс 6Г !!а и формула для давления получит более простой внд: ,у = Ь.Р« .

(6.2) Предыдущие формулы (5.3) и (5.4) для вычисления главного вектора и главного момента сил давлений принимают в этом случае вид: И,=в]* .!, ж6, ( Р„= д'р / 2' сов(л, у) а!5, Р, = А'р ~ 2'соз(а, «) а!О, (6. 3) !! (.„=др~] ]у«'соз(и, 2) — 2' соз(и, у)]ИВ, соз(л, х) — х«'соз(л, «)~ г!О, У.,= 6 ~ ]х«'соз(п, у) — у«'соз(и.

2)]!зО, (6.4) где все интегралы распространены по поверхности 5. Как известно нз статики, для того чтобы совокупность сил давлений, действующих на поверхность 8, приводилась к одной равнодействующей, должно быть выполнено условие Р ] Е, или иначе: Р„.Е„+ Р Е +Р,).,= О. (6.5) Это условие, вообще говоря, при произвольном виде поверхности 5 не выполняется. Мы рассмотрим два важных частных случая, когда совокупность гидростатнческих давленкй приводится к одной равнодействующей; это будут случай давления на плоскую стенку и случай давления на твердое тело, целиком погруженное в жидкость. 4 6! ДАВЛГНИЕ ТЯЖЕЛОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 89 Гндяостлт>!кл 90 >гл >>! у>уз Р =да ~ г'созга, х')д5 —.-- — 9>рз>пб ~ г'дЗ, Рг =- б> / г' сов (и, у') до:=- О, Р, = ир ~ г' сов (и, г') дЯ = 9 в сов 0 ~ г' д3, 5 5 откуда Р= 1 Р'„+Р~~ +Р', =др ~ г'сЮ.

Последний интеграл есть не что иное, как плошадь площадки 8, умноженная на координату г,', центра инерции С этой площади; таким образом Р = бр8г,', (7.!) но произведение Яг', выражает собой объем цвлиндрвческого столба с площадью основания Я и высотою г', и мы приходим к заключес' нию, что давление тяжелой жидкости на плоснуио п.>ои>адну измеряется весом цилиндрического столба этой жидкости, >соторый бь>л бь! расположен над площадкой, если бы она лежала горизонтальна на глубине своего центра инерции. ф г. Давление на плоскую стенку.