Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1, страница 10

Чтобы получить уравнения движения, исходя из точки зрения Лагранжа, мы должны за независимые переменные принять время ! и параметры а, д,, с, из основные > лвнвннЯ динамики идвлльноп жндкостп 1гл. и определяющие начальное положение частиц жнлкостн в момент 1=0; все прочие величины, фигурирующие в уравнениях движения, должны считаться функциями аргументов Г, а, Ь, с. Обрзщаясь к общим уравнениям лвижения 16.1), заменим в них ти, щт, "и, по кинематнческим формулам (б.4) главы 1, тогда найдем: д>х Х вЂ”вЂ” дг> 1 др дте (8.1) Остается в последних уравнениях выразить др/дх, др/ду, др/дл через др/да, др/дд, др/дс.

Умножив уравнешщ (8.1) соответственно на дх/да, ду/да, де/да и сложив, получим в правой части: 1 /др дх др ду др де'> 1 др з1дх ди и> ди де ди/ » ди' Аналопщно после умножения (8.1) на дх/дЬ, ду/дЬ, дл/дЬ и сложения найдем в правой части — —, а после умножения на дх/дс, е да 1 др ду/дс, де/дс и сложения получим — —. Таким образом мы приходим р дс' к слелующнм уравнениям движении в форлге Лагранжа: 1 др и ди 1 др йв 18 8) 1 ди дс 9 9.

Общая постановка задач гндродинамнки. Рассмзтривая жидкость как совокупность материальных частиц (сплошным образом заполняющих пространство или его часть), между которымн появляются внутренние силы взаимодействия, выражающиеся в идеальной жидкости при посредстве гидродинамического давления, мы можем общую задачу гидродинамики формулировать так: определить под действиеч заланных внешних сил движение каждой частицы н внутренн>т силы, т. е. гидродинамическое давление, в каждой точке жидкости и в каждый момент лвижения. СЛУЧАЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИЦКОСТИ дог дол дГ+ дх до о + — 'о + г ду У дог о+ — уо+ к ду У дог о+ — ''о+ к дз, У до„доу — + —," дх ду дог — 'о дх г Х 1др р дх до до — +— ду дх дог дог дс ' дх до дг 1 др р ду 1 др (10.1) до — ' ог = Л дх р д» Если эту систему удастся проинтегрировать, то будут определены векторное поле скорости и скалярное поле давления для каждого момента времени, т.

е. будут найдены функции: р=Х(х у.. 1). о.=Л(х, у. а. (), ,=у(хуа() .=Ых уст) уловлетворяюшие системе (10.1), Чтобы повести задачу до конца и определить уравнения лвижения каждой частицы, т. е. зависимости коорлинат частицы х, у, х от времени г и начальных аначений координат х,, ур, хе, остается проинтегрировать еше систему трех уравнений: — =/',(х, у, а, г), — = уа(х, у, х, г), дг — - = — гз(х, у, х, г). дт (10,2) нналогично обстоит леле, если мы возьмем уравнения движения в форме Лагранжа: в этом случае залача сводится к определению четырех неизвестных функций х, у.

х, р, зависящих каждая от Рассмотрим отдельно случаи несжимаемой и сжимаемой жидкости, считая в обоих случаях жидкость илеальной и лля простоты олнородной. Постановка задач гилродинаьщки вязкой (не илеальной) жилкости булет рассмотрена во второй части курса. В 1О, Случай несжимаемой жидкости.

В несжимаемой жилкостн плотность р есть некоторая постоянная, служащая физической характеристикой ванного сорта жилкости и счнтаемая известной. Взяв уравнения Эйлера (илн Ламба), мы видим, что в них неизвестными величинами являются четыре: о„, о,, о„р, зависящие каждая от аргументов х, у, а, г; величины же Х, У, х суть заланные функции тех же аргументов; присоединяя к трем дифференциальным уравнениям Эйлера четвертое дифференциальное уравнение — уравнение неразрывности, мы приходим к задаче определения четырех неизвестных функций о, о, о„р из системы четырех лвфференциальных уравнений: бй ОснОВные уРАВнения динАмики идеАльнон жидкОсти 1гл. и аргументов С а, Ь, с из системы четырех дифференциальных у.равнений: ! др р дс дхо дуо д о ' )у,), да да да да да дхо дуо дха дЬ дЬ дЬ дхо дуо дхо дс дс дс $11.

Случай сжимаемой жидкости. Баротропиость и бароклинность. Уравнение притока энергии. Переходим к задаче определения движения сжимаемой жидкости. Математически простейшим будет тот частный случай, когда во всем движении плотность есть заранее известная функция от давления Ь=-Ф(, ). Среды, в которых плотность есть функция одного давления, носят название бараш раиных.

Для баротропных жидкостей уравнение неразрывности (11.3) главы ! и три уравнения движения (5.1) настоящей главы замыкаются в том смысле, что эти четыре уравнения содержат как раз четыре искомые функции, ибо, пользуясь (11.1), мы можем всюду исключить р, оставив в качестве неизвестньш ох, о, о,, и р. Простейшим примером аакона для Ф(р) будет Ф (р) = сопз!.

Ф(р) =Ср, где С вЂ” постоянная, называются «изосперлоическими», Если Ф(р) = Ср'. где С и и — постоянные, то говорят о «политропи«еских» процессах, причем величина 1)и называется показагпелем полигпропы. Таковы простейшие и притом наиболее употребительные виды функций Ф (р) для баротропной жидкости. дх ду дх дЬ дЬ дЬ дх ду дг дс дс дс Это — случай несжимаемой жидкости.

Движения, для которых 1 др р да' 1 др о, дЬ 61 слкчли сжнмлсмоп жидкости % гй Среды, в которых плотность не есть функция одного только давления, т. е. для которых нельая подобрать никакой функции Ф(р), такой, что имеет место (11.1), носят название бароклинных. Здесь плотность р является пятой неизвестной функцией, подлежащей определению, равноправной с функциями о, пт. о,, р, и потому четырех наших уравнений (уравнение неразрывности и три уравнения движения) недостаточно для решения задачи.

Для исследования движения в общем случае бароклинной сжимаемой жидкости оказывается необходимым учет нового фактора — притока энергии. Это обстоятельство вводит в рассмотрение две новые величины: температуру (абсолютную) жидкости Т и так называемую плоглносгль лгеиловод мощности приглока энергии е, т. е.

количество энергии, получаемое единицей обьема жидкости в единицу времени. Чтобы установить, на что расходуется этот приток энергии, обратимся к первому началу термодинамики. Именно, мы должны записать, что энер~ ия е' = ~ ~ ег(тгИ, (1 1.2) ',-= ~ гг / „— "„~-рггт. !и Обозначая далее через А термический эквивалент работы (А = 1/Е, где Е' — механический эквивалент тепла), л~ы будем иметь часть е,,' нашей тепловой энергии, израсходованную на внутреннюю работу, в виде .,'=А ~ (г~ р — „", -.. (11А) Но, по механическому смыслу расхождения скорости, имеем: Л Ыт — = с(т Й т и, лг притекающая за промежуток времени от (, до Ге к некоторому жидкому обьему (т), расходуется отчасти на повышение температуры Т жидкости этого об.ьема, отчасти на совершение работы внутренних сил, действующих в жидкости, т.

е. на работу, производимую давлением путем уменьшения или увеличения объема сжимаемой жидкости. Обозначая через с„теплоемкость при постоянном об-ьеме, мы получим часть е' ,притекшей энергии, израсходованную на увеличение температуры (при постоянстве объема), в виде 69 ОснОВные уРАВнения динамики идеАльнОЙ жидкости !Гч.

и или, заменяя б!Уо его значением из уравнения неразрывности (1!.1) главы 1, получим: ДД" 1 Лр — = — — — сй. аг р лг Вспоминая, что е' =е, '+е,', получим: ~ ~ с( (г: = ~ ~(, — „, го и Предполагая непрерывность полынтегральных функций, получим окончательно аТ р аа е= с. р — А — — ' е, аг аг (11.5) Это соотношение носит название уравнения притока энергии, или уравнения притока ягепла. Приведенный здесь вывод дан Л. Л.

Фрилманом '); во второй части нашего курса в главах, посвященных «газовой динамике» н «вязкой жилкости», мы ладим другие выволы этого весьма важного уравнения. Кроме уравнения (1!.5), мы должны еще написать соотношение, связывающее р, р н Т. Для совершенных газов таким соотношением является уравнение Клапейрона р=к;Т, (11.6) гле Й вЂ” газовая постоянная.

Таким образом, мы имеем шесть уравнений: уравнение неразрывности (!1.3) главы 1, трн уравнения движения (5.1) настоящей главы, уравнение притока энергии и уравнение состояния, Этн уравнения солержат как раз шесть неизвестных функций: о„, е, е„ р, р, Т, К сожалению, в (11.5) вхолнт еще величина е, которую не всегда можно считать известной. Простейшим н важным случаем будет отсутствие притока тепла извне, т. е. случаИ, когла е = О. (11.7) В данном случае мы можем, сначала используя (!1.6), написать (11.5) в виде ат 1 лр О= с — — — )сА — —, ° т ае г аг ' а затем, пользуясь еще раз (11.6), исключить Т. В результате пол)чим: г ! лр ! Дат ! лг О = с,( — — — — — ') — Ай — —, е(р аг г ') Фри ли а и А.

Л., Опыт гидромехаиики сжимаемой жидкости, О!!Т!1, 1934. случАи' сжимлемоп жийкости ба а н1 или, собирая члены с р и Р: д!пр сг!пр О = с —. -- — (с,+.-И) —. г д! т Вспоминая соотношение термолинамикп с — с„= АЙ, где с — теилоемкость при постоянном давлении, мы получим окончзтельио зля случая. когда а = О, уравнение притока энергии в виде: — =- О, и Р дс (! 1.8) сл с (1!.9) есть отношение теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкости прн постоянном объеме.