Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1, страница 12

Если рассматривается установившееся двиРкение жидкости, в котором можно пренебречь массовыми силами, то применение законов количеств движений ы моментов количеств движении к объему т, заключенному между неподвижной (так называеиой контрольной) поверхностью Ь' и поверхностью твердого тела М, дает применение ВАкОнА коли'шоти дВижения з !з! получаем: ЛКх Р ! д(о„.г) д(о о р) д т Второй интеграл обращается в нуль вследствие уравнения неразрывности, которое при установившемся движении имеет вид: д (ро,) д (ро„) д (ро ) дх ду де + — "+ = О. Разбивая первый интеграл на три слагаемых и применяя к каждому преобразование Гаусса, находим; — = у (о рсоа(п, х)+о о р сов (и, у)+о о рсоа (п, «)~дя, 5 илн ЛКх — / огроа'% лт 5 аналою!чным путем получаем два других равенства: ККг — ,, „ 3, ЛКт — — оро ЛЯ; у в которые вместе с первым можно объединить одним векторным; лК 1' — — = ( оро б3.

(13.7) Эта интерпретация закона количеств движения и закона моментов может оказаться полезной для расчета суммарного эффекта давлений установившегося потока иа неподвижное твердое тело, погруженное Применяя аналогичные рассуждения, приходим к следующему выражению производной от момента количеств движения: — = / (г Х о) ров ст3. Лт (13.8) 5 Так как ро, ЛБ есть масса жидкости, протекающая в единицу времени через элемент поверхности Л3, то выражения (13.7) и (13.8) показывают, что ЛК/Лг и Лг/Лг можно расслгатривать как главный вектор и главный момент системы векторов рролд3, распределенных по поверхности 3, и мы приходим к объединяющей оба закона (13.3) и (13.6) формулировке: Совокупность поверхностных сил гидродинамических давлений, приложенных к поверхноспги 3 объема т при установившемся движении, эквивалентна совокупности количеств движения жидкосгпи, ежесекундно уносимых сквозь паве)гхность 3.

2о Осгювные РРАВнения динАмики идеАльнОЙ жидкОсти !Гл и в поток полностью или частично. В последнем случае контрольную поверхность 8 следует провести в непосредственной близости к телу со стороны жидкости, Рассмотрим для примера, слелуя Прандтлю, косой удар двуразмерной струи несжимаемой жидкости на плоскую пластинку (рис. 24). Пусть плоская струя воды, текущая из е д бесконечности прямолинейно со скоростью О, одинзковой для всех точек поперечного сечення ширины а, встречает под углом и г,!!' плоскую бесконечную пластинку АВ и раз- ЕА , ! Ед " ВЕтВЛЯЕтСЯ Па ДВЕ СТРУИ, ЛИНИИ тОКа КОТО- рых по мере удаления от места развету,' е аления асимптотически становятся параллельными пластинке; пусть ширина этих струй ег '!' в бесконечности будет а, и аз.

Заметим, что !!! скорости струй в сеч е н и ях а , и аз будут мВ олинаковы со скоростью (в бесконечности) Рнс, 24. неразветвленной струи. В самом деле, при- нимая плоскость течения эа плоскость Оху, имеем О, = О, и первые два уравнения Ламба (!.1) примут вид: при этом движение считается установившимся, массовые силы отсутству!Ощнми и Р= 1. Умножая эти уравнения на а!х и ду, взятые вдоль одкоа и той же ликии тока: а!х=п И, г)у=о де, и складывая, находии без труда интеграл (Бернулли) 2 2 и + р=сопа1., справедливый для данной линии тока. Считая давление р на свободной поверхности струи повсюду одинаковым и равным атмосферному давлению р, мы приходим к заключению, что будут повсюду одинаковы и скорости частиц у свободной поверхности струи, а так как в сечении а скорости всех частиц равны О, то такой же скоростью будут обладать все частицы в сечениях а, и а .

Для расчета сил давлений на пластинку возьмем контур контрольной поверхности 8, показанный пунктиром на рис. 24, так, чтобы он прилегал к пластинке между двуия достаточно удаленными сечениями а! и аз и пересекал неразветвленную струю также в лоста- пРименение злконл количестВ ЛВижения а (3) точно удаленном сечении а. Самую поверхность 8 иожно представлять как полную поверхность цилиндра единичной высоты, для которого упомянутый контур в плоскости течения служит основанием и образующие которого перпендикулярны к плоскости течения.

Форма конгУРа иа Участке междУ сечениЯми ан а, ат остаетсЯ ПРоизвольпой, н можно, например, за этот контур взять свободную границу струи. Как было отмечено, давление Р„на части поверхности 8, ие прилегаюшей к пластинке, постоянно; переменное же давление па части, прилегаюшей к пластинке, можно представить в виде Р = Ре+ (Р Ре) Замечая, что при интегрировании по заткнутой поверхности 5 и что система параллельных сил Гр — р„) аЯ, илп, что то же, (р — Р„) г)5 сложится в одну силу Р= ~ (р — ре) (!Ь', приложенную в некоторой точке, называемой !темп)роз( (Эаа,гелия. мы имеем по теореме импульсов Р= — ~ пйт+ )( п(1т — ~ пйт = а)птг)+ азпие — атгт). (а,) (а,) (а) Проектируя на параллельное и перпендикулярное пластинке направления, находим Р = атр з)п а; О = а)пе — аеое — апз соз а.

Из последнего уравнения имееи: а, — аз = асов а и, так как вследствие уравнения неразрывности дол)кио быть а,+аз=а, то 1+ соз а 1 — соз а а! 2 а' аз 2 Для определения положения центра давлений воспользуемся теоремой о моментах импульсов. Обозначая через О точку пересечеюи пластинки с осью неразветвленной струи, по которой направлен импульс аип, приложенный в сечении а, возьмем точку О за ненгр моментов; тогда импульсы а)оо! и азпиз, приложенные в сечениях 72 ОснОВные уРАвнения динАмики идеАльнОН жидкости 1гл.!! а, и ат в их сеРединах, бУдУт иметь плечи а!12 и аа)2, и теоРема моментов дает а чр! — — а оа — =Ре, а, а, 2 т 2 где е — расстояние иентра давлений от точки О.

Заменяя здесь Р через его предыдущее выражение, находим а е = — с!и а. или Ха!х+ У!Ру+ ас!» — с( —,оа = — — О + — О + — о ) с(г. (14.2) /1 1 1 /др др др (2 ) р (дх х ду У д» Вели поле внешних массовых сил стационарно и силы имеют потенниал У!, который можно назвать потенциальной энергией единицы массы движущейся жилкости, т.

е. — — Е.= — —, Я, дт, ду ' д» Л'= — — ', дк"! дх то (14.2) принимает вид: с(У + гр ~ — о ) = — — 1! — о + — о + — и ) а'г. (14.3) г1 а! 1 ГдР дР дР (2 ) р (дх» ду У д» Вспоминая опрелеление индивидуальной (полной) производной ир др др др др — = — + — О .+ — +— ат дг дх ду У д» мы можем представить (14.3) еще в таком виде: р (иг (14. 4) где Тг=оа(2. Последнее уравнение представляет собой выражение закона живой силы для единицы массы жидкости.

Вводя обозначение ! ир др) р !и! д! можно написа!рз (1 4.5) д(т!+~',) = р,и!. ф 14. Уравнение энергии. Умножив скалярно обе части уравнения (6.1) на чрс(р, получим: Г ° и г(! — чг ° гро = — и!ад р ° о гй', 1 (1 4.1) Р уэ УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ э и) умножая (14.5) на элементарную массу рагт и интегрируя по некоторому жидкому объему ъ ограниченному замкнутой поверхностью Я, имеем: / д(Т +1,)рдя У, Так как рассматривается жидкий движущийся объем, состоящий из одних и тех же частиц, то рс)т не зависит от времени и можно напнсатГН ~( ~ (Т +(У~) р Ит = — ГЫ ~ рчр о(т, с у или и — / Трг(т+ — / Ь' рг(т= — / ~ — — — /сгт.

(14.6) ~й,/ г Ш,/ ' ./ )дт д)/ Выражение представляет собою живую силу, или кинетическую энергию Т рассматриваемого жидкого объема; интеграл ~ )г,рдт может быть назван потенциальной энергией (г всего жидкого объема т. а ) )Агро)т — мерой диссипативности объема; таким образом: дт( + ) 'Ад) д ) (14.7) др др — — — через дг дт + — О др г Заменяя в правой части разность мы приведем соотношение (14.7) к виду — (Т+ (г) = — ~ д)ч (ро) г(т + / р б)ч т) ~Ут.

у — и + — о др др дх х ду У и применяя преобразования: Г)р д ( рох) дх х дх др д(ро ) — О ду у ду др д ( ргя) дх ' дх дэх Р— ° дх ' доу Р— ду д» 74 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЪНОИ ЖИДКОСТИ 1ГЛ. Н Применяя, наконец, преобразование Гаусса: ) <1ги(ро) а!*= ~ ро„дЬ', мы приходим к соотношению: — (Т.-)- '»г) = — / р(ио + ~~о + (о ) с(©' + / де». диу де» '! + ) р~ — + — + — )дт, (14.8) ,/ \ дх ду дг ) » где а.

'р, у суть косинусы углов, образованных внешней нормалью к поверхности О с координатными осами. Последнее уравнение носит название уравнения энергии, Поверхностный интеграл — ) ~ ( ..+роу+)о,)д~ 3 можно рассматриват~ как отнесенную к единице времени работу поверхностных сил гидродинамических давлений, приложенных к поверхности О жидкого объема. Интеграл же (14. 9) Если, кроме того, жидкий объем заключен в неподвижные границы, вдоль которых ит ! + рог + (о» 0 то (14.9) принимает вид: + ( ) 0 откуда заключаем, что в таком объеме сумма кинетической н потенциальной энергии остается с течением времени неизменной: Т + (г = сопз(. (14.

10) можно рассматривать как секундную работу внутренних сил, связанную с расширеииеи каждо~о элемента обьема т, ибо, как было показано в кинематике, расхожленне скорости до /дх+до„/ду+ до,/дг есть не что иное, как секундное относительное кубическое расширение жидкости. Для несжимаемой жидкости этот член в уравнении (14.8) выпадает, и уравнение энергии принимает вид: -дТ (Т+)г) = —.

/ р(ао„+ рот + (и ) до. э УПРАЖНЕНИЯ 1 251 б 1б, Упражнения. !. Тяжелая несжимаемая жидкость, налитая в вертияальный цилиндрический ируговой сосуд, вращается как твердое тело с постоянной угловой скоростью е вокруг оси цилиндра (рис. 2б). Определить давление в каждой точке вращающейся жидкости, если известно, что в состоянии покоя жидкость имела уровень И от дна сосуда и что над поверхностью жидкости нет д г давления. Решение.