М.И. Гуревич - Теория струй идеальной жидкости, страница 3

А. Домбровского за помощь в написании параграфа об обобщении приближенного метода С. А. Чаплыгина; Н. Н. Моисеева, Я. И. СекержЗеньковича, С. В. Фальковича и Л. А. Эпштейна за просмотр отдельных глав и параграфов книги и ценные замечания по ним, а также Н. А. Слезкина за большую библиографию по теории струй, которую он предоставил в распоряжение автора. Столь же искренне автору хочется поблагодарить всех лиц, которые давали ему оттиски своих работ и библиографические справки и оказывали ему другую подобную помощь. М. И.

Гуревич некотоРые сведеНия Йз кинемАтйкй чтобы ось х была линией тока. Потенциал скоростей полученного течения будет искомым, так как линию тока в идеальной жидкости всегда можно заменить стенкой. Для построения такого течения поместим в точке г,=х,— ~у, источник интенсивности О.

Комплексный потенциал течения с источниками в точках г, и г, имеет вид и = — „1п (г — г,) + — „1п (г — г,). Этот комплексный потенциал и является искомым. В самом деле, комплексный потенциал (1.14) 2 1п ~г — г(г1+г1) +г1г11= 2 1п (г — 2гх1+х1+у1) действителен при г=х, т. е. ось х является линией тока ф=О. Очевидно, что и в области течения имеет логарифмическую особенность не только в точке г„но и в бесконечности, где имеется сток. Конечно, иначе не могло бы и быть, так как вытекающая 'из источника жидкость не может нигде скапливаться. Можно избавиться от стока в бесконечности, перенеся его на конечное расстояние, например в точку г=г,. Характеристическая функция такого течения будет иметь вид и = 2— 1п (г — г1) + — 1п (г — г1) — — 1п (,г — г2) — — 1п (г — га) = (~ ~1) (~ ~1) (1 15) 2я ~~ ~д (~ ~д * Легко так же найти комплексный потенциал вихря, находящегося в точке г, и имеющего циркуляцию Г, при условии, что ось х является твердой стенкой.

Для этого течение следует продолжить в нижнюю полуплоскость, поместив в точке г, вихрь с циркуляцией — Г: и = —. [1и [г — г,) — 1и [г — г1)1= —. 1и ='. [1.16) 2щ 2ж В самом деле, при обходе точки г, по бесконечно малой окружности против часовой стрелки 1п (г — г,) не меняется, а 1п(г — г,) получает приращение 2ж; таким образом, ю получает приращение Г, т. е. в точке г, имеется вихрь с циркуляцией Г.

Далее, ось х является линией тока, так как на оси х 1гп ы = — — 1п Г 2д г — г1 ~ = — — 1п1=0. Г 2д С математической точки зрения приведенный способ построения комплексных потенциалов источников и вихрей при наличии стенки с помощью помещения в симметричных относительно 20 Егл. я ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ СТРУЙ ПЛОСКИХ ТЕЧЕНИЙ $2. Основные предположения теории струй 1) До последнего времени в теории струй исследовались только установившиеся течения. В главе 1Х будут рассмотрены и некоторые современные работы о неустановнвшнхся струйных течениях.

В теории струй рассматриваются течения, ограниченные частично твердыми стенками и частично свободными поверхностями, на которых давление постоянно. В качестве примера можно указать на течение, изображенное на рис. 1.1. На пластинку АВ набегает поток невесомой жидкости, разделяемый пластинкой на две части.

На свободных поверхностях Ю у ВВ и АЕ) давление постоянно. За пластинкой расположена зона неподвижной жидкости, в которой давление постоянно. Предметом исследования является область движущейся жидкости. В теории струй рассматривается Я идеальная жидкость, не содержащая вихрей. В настоящее время теория струй с учетом весомости жидкости и сил поверхностного натяжения начала усиленно развиваться (см. гл. ХП), но в большинстве прежних работ по теории струй жидкость считалась невесомой, а силы поверхносч ного натяжения — отсутствующими. Основы теории струй сжимаемой жидкости были заложены С. А. Чаплыгиным ~3891. В течение последних 20 — 30 лет теория газовых струй была существенно развита и может служить предметом специальной монографии.

За исключением главы Х, где дается' понятие об идеях С. А. Чаплыгина, автор ограничивается изложением теории струй несжимаемой жидкости. Для установившихся течений' ) это последнее предположение накладывает только известное ограничение на скорость течения, которая должна быть существенно меньше скорости звука (т. е. скорости распространения малых возмущений в среде).

Для газа это ограничение существенно, но для капельной жидкости не имеет практического значения. По поводу остальных предположений полезно сделать несколько предварительных замечаний. Замена жидкости, обладающей малой вязкостью, идеальной жидкостью достаточно обычна. Однако следует помнить, что для маловязких жидкостей влияние вязкости может быть двояким. Во-первых, вследствие внутреннего трения жидкости в тонких пограничных слоях у поверхностей тел действуют касательные ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ СТРУЙ силы, и, во-вторых, пограничные слои могут отрываться и деформировать течения вне тел. Картина обтекания зависит прежде всего от формы тела и от числа Рейнольдса. При обтекании тела потоком маловязкой жидкости пограничный слой в зависимости от числа Рейнольдса может быть ламинарным или турбулентным, причем места отрыва этих слоев от тела могут быть.

различны. В теории струй изучается случай, когда от тела отрывается не только пограничный слой, но и весь поток (рис. 1.1). Место отрыва потока при струйном обтекании тела и при истечении жидкости из сосуда почти не зависит от числа Рейнольдса.

В случае, например, кругового цилиндра расчетные точки отрыва потока при струйном обтекании располагаются значительно ближе к передней критической точке (см. гл. 1'Ч, ~ 1?), чем точки отрыва пограничного слоя при сплошном обтекании '). Таким образом, в теории струй используется гипотеза идеальности жидкости, и гипотеза эта законна в тех случаях, когда режимы течения и формы тел таковы, что пограничные слои нигде от тел не отрываются. Такие случаи вполне реальны; при этом, согласно теории пограничного слоя, силы трения могут подсчитываться отдельно (после решения задачи о течении идеальной жидкости; см. гл. П1, ~ 12).

Предположение об отсутствии вихрей тесно связано с предположением об идеальности жидкости. Отсутствие вихрей чрезвычайно упрощает математическое решение задачи. Действительно, для безвихревого течения несжимаемой жидкости существует потенциал скоростей ~, удовлетворяющий уравнению Лапласа (1.2). Как известно, при заданном потенциале скоростей можно рассчитать поля скоростей и давлений и затем определить любые суммарные характеристики движения: расходы, действующие на стенки результирующие силы и моменты и т. и. Кроме уравнения Лапласа, потенциал скоростей должен удовлетворять определенным граничным условиям на твердых стенках и на свободных поверхностях.

Пренебрежение весомостью жидкости вносит большое упрощение в граничные условия на поверхностях струй. Рассмотрим, например, установившиеся течения. В этом случае границы жидкости должны представлять собой поверхности тока, на которых удовлетворяются следующие условия. 1'.

Нормальная скорость (нормальная производная от ~р) равна нулю на заданных твердых стенках и неизвестных свободных поверхностях. ') Ву Яо-пзу, в своем обзоре 154~ отмечает, что положения точек отрыва потока, определенные на основе теории идеальной жидкости, не подтверждаются экспериментально. 22 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ СТРУЙ ПЛОСКИХ ТЕЧЕНИИ ИГЛ. ! 2'. На свободных поверхностях давления постоянны.

Необычность этих условий заключается, очевидно, в том, что вместо формы свободных поверхностей задается условие 2'. Величина ускорения силы тяжести д, не входит явно ни в. уравнение неразрывности (1.2), ни в условие 1'. Однако есщ~ положить, согласно 2', давление на свободной поверхности постоянным, то в силу интеграла Бернулли на свободной поверхности имеет место соотношение 1) В переводе на язык теории механического подобия сделанное предположение означает, что, рассматривается течение только при бОдьщщ числах Фруда Рг=г'/(ф), где 1 — характерный динейдьй ра~цер. где о — скорость на свободной' поверхности, а у — вертикальная коордийата,,'и ускорение силы тяжести явно входит в условие 2 .

Пренебрежение весомостью, очевидно, равносильно предположению, что скорость течения на поверхностях струй отно'- сительно велика'). При рассмотрении обтекания тел неограниченным потоком это предположение может быть законным только на достаточно малом расстоянии от тела. Приняв предположение о невесомости жидкости, можно заме-. нить условие 2'простым условием постоянства скорости на сво'- бодных поверхностях.

Скорость эта не может быть слишком малой, чтобы удовлетворялось предположение о нееесомости жидкости, и не может быть слишком большой, чтсбы жидкость можно было считать несжимаемой. Такое двойное ограничение вполне удовлетворительно выполняется во многих практически важных случаях. Учет сил поверхностного натяжения вносит в решение задач теории струй не меньшие осложнения, чем учет силы тяжести. В.частности, силы поверхностного натяжения могут влиять и на места отрыва потока. Вопрос о струйных течениях капиллярной жидкости будет рассмотрен в главе Х11. Сейчас мы будем считать, что капиллярнь.е силы отсутствуют, так же как и силы тяжести.