Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.С. Давыдов - Квантовая механика

А.С. Давыдов - Квантовая механика, страница 24

DJVU-файл А.С. Давыдов - Квантовая механика, страница 24 Физика (2684): Книга - 4 семестрА.С. Давыдов - Квантовая механика: Физика - DJVU, страница 24 (2684) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.С. Давыдов - Квантовая механика", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 24 - страница

(27,0) Разлагая функцию ф,($) состояния а по полной системе функций (27,8), находим ф. (5) - ~ Ффрй) ф-(р) в тл РАзличные НРедстАВления ВектОРА сОстОяния 1Ю Итак, вектор состояния системы 1а) может быть изображен несколькими волновыми функциями, зависящими от разных переменных, что можно записать в виде схемы ($ ~ а), $-представление; (Е„'1а), Е-представление; (р! а), р-представление; ~ а) -в В общем случае переход от волновой функции (т~а), определяющей состояние в т-представлении, к какому-либо другому представлению, например д-представлению, осуществляется с помощью соотношения (4 ~а) =.".,(4~т)(т ~а), где функции преобразования (д ~ т) являются собственными функциями оператора, соответствующего физической величине т в д-представлении.

Обратное к (27,12) преобразование имеет вид (27,12) ~~У !а Р=~~т)(т ~=1, или ) Йр~ар~зяв~ др!р)(р!=1 (27,14) и т. д. Таким образом, например, (а7 !а) = ) 4з(д !р)(р1а). Этот процесс можно продолжать, например, (д! а) = ~ г1р ~я ! р) (р1 а) = ~ йр г1е (д ! р) (р! е) (Е ! а). 5 А, С, Давылов (т!а) = ~~'.~ (т 1д) (~7!а), (27,13) где функции преобразования (т14) =(д~т)т являются собственными функциями оператора, соответствующего физической величине д, в т-представлении. Если переменные т в (27,12) или О в (27,13) пробегают непрерывные значения, то суммирование следует заменить интегрированием по всем значениям этой переменной.

Формулы (27,12) и (27,13) показывают удобство дираковских (скобочных) обозначений векторов состояний при исследовании вопросов перехода от одного представления к другому, В самом деле, формулы (27,12) и другие можно писать формально, если учесть, что в силу условий полноты собственных функций операторов (Я 9, 10) имеют место соотношения элвмвнтленхя твотия пгвдстлвлвнии [гл. ч Рассмотрим явный вид некоторых функций преобразования от одного представления к другому.

1) Явный вид нормированной условием (27,9) собственной функции импульса (27,8) в координатном представлении следующий (см. $10): (г)р>=(2пй) аехр(1 — ). Эта функция преобразует импульсное представление в координатное представление. Функция обратного преобразования (р)г>=(2пй) 'ехр( — — ) является' функцией координаты в импульсном представлении. Эта функция является комплексно сопряженной функцией к функции прямого преобразования.

2) Собственные функции оператора углового момента в координатном представлении можно записать в виде У~ (О, ~р) — (Оср 31лт>=( —,~ Ет), где углы 8 и у определяют направление единичного радиуса- вектора. Функции (27,15) нормированы условием ~ Уг (8, ~) Ук (О, г) )и = = ~ дй (1т! О~р> (0<р11гп'> = бпЬ„чг.

(27,16) Функции (27,15) осуществляют преобразование от представления угловых моментов к координатному представлению, а функция (1т)О~р> осуществляет обратный переход от координатного представления к представлению угловых моментов. Если ввести г единичный вектор и= —. направление которого определяется углами 0 и ~р, то можно написать (1 п)п>=(г и!Ор>. Эти функции нормированы условием ~~.'~ (и! 1гп> (1гп 1 и'>'= (и ) и'> = 6 (и — и'). Если углы 6, Ф определяют направление вектора импульса, то функции являются собственными функциями оператора углового момента в импульсном представлении.

РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕЦСТАВЛЕИИЯ ОПЕРАТОРОВ 13! Как уже отмечалось ранее. векторы состояний определяются с точностью до фазового множителя е, модуль которого равен 1. Выбор такого множите тела определяется условием простоты записи. В некоторых приложениях, например, вместо функций 127,15) удобнее пользоваться функцией ф 111' (9, ф). 5 28. Различные представления операторов Произведение 1Ь)(а~, в котором «кет»-вектор стоит слева от «бра»-вектора, является оператором. Подобно тому как любой вектор состояния )а) можно разложить с помощью равенства ) а) = ~~'.~ ) Р ) (Р 1а).

по полной системе ортонормированных векторов )Р„) оператора Р, так и любой оператор Л можно разложить по полной системе операторов )Р„)(Р ~. В самом деле, если А = Х А„ж!Р )(Р„), то из свойств ортонормируемости векторов )Р ) однозначно определяются матричные элементы разложения: А„=(Р ) А)Р„). В частности, разложение единичного оператора 1 имеет вид 7=Х!Р )(Р 1 В координатном представлении операторы выражаются функциями от координат и производных по координатам. Действуя на функции координатного представления, операторы преобразуют эти функции в другие функции того же представления. Например, действие оператора Р на функцию фе(й) определяется равенством фаа)=РФ.Ю.

или в обозначениях Дирака (й 1 Ь) = Р (й ) а). (28,1) При переходе от координатного к другим представлениям вектора состояния необходимо осуществлять и преобразование операторов. Определим вяд оператора Р в энергетическом представлении. Для этого преобразуем функции координатного представления (Р ) а) = ~ (Р ) Е„) (Е„)а), (в ) Ь) = Х (ь 1Е~) (Е„1Ь). ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЛ, У Подставим полученные выражения в (28,1), затем умножим это уравнение слева на (Е„~Ц, проинтегрируем по $. Тогда, учитывая свойство ортогональности ) д$ (Е ! е) (й 1 Е„) = Ь „, находим (Е 1 Ь) = ~~'„~ (Е„! Р ~ Е„) (Е„1а), (28,2) где (28,3) Зная все величины (28,3), мы можем по формуле (28,2) перейти от вектора состояния ~а), заданного в энергетическом представлении функцией (Е„~а)„к вектору состояния ~Ь), заданному в энергетическом представлении функцией (Е ~Ь).

Поэтому совокупность всех величин (28,3) следует рассматривать как оператор Р в энергетическом представлении. Совокупность всех чисел Ры, в общем случае являющихся комплексными, образует матрицу, которую Обозначают (Ры ). СаМИ ВЕЛИЧИНЫ Р,ч„чм (Е )Р~Е ) Наэмнавт МатриЧНЫМи ЭЛЕ- ментами оператора Р в энергетическом представлении. Если энергетические уровни Е ие вырождены, то матрица (Ры ) изображается квадратной таблицей с бесконечным числом строк, нумеруемых индексом гл, и бесконечным числом столбцов, нумеруемых вторым индексом л. В-случае вырождения каждый индекс и и и характеризует свою совокупность квантовых чисел (которые иногда выписываются в явном виде), определяющих состояние системы; поэтому матрица (Р „)ими((а'Ь'с'...

1 Р! аЬс...)) будет многомерной матрицей. Сводка основных свойств матриц приведена в мат. дополн. В. Из определения самосопряженного (зрмитового) оператора (7,4) следует, что самосопряженные операторы в энергетическом представлении (и любом другом дискретном представлении) изображаются эрмитовыми матрицами, так как выполняются равенства РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ !33 Представляя совокупность величин (Е 1а), выражающих вектор состояния 1а) в Е-представлении, в виде матрицы с одним столбцом (Е11а) (ЕА1а) (ЕА1а) ((Е„1а)) можно рассматривать (28,2) как произведение матриц. Если в качестве оператора Р взять оператор Гамильтона Н, то этот оператор в энергетическом представлении будет изображаться диагональной матрицей (Е 1Н1Ел) =Елбллл что непосредственно следует из (28,3), если учесть, что функции ($1Е„) являются собственными функциями оператора Н, т. е.

Н(ЦЕ ) = Е„ЩЕ„). Определим теперь вид оператора Р в р-представлении. Для этого разложим функции координатного представления, входящие в (28,1), по собственным функциям оператора импульса в координатном представлении ($1а) = ) г1р(в1р) (р1а), ($1б) = ) г1р(в1р) (р1б). Подставляя эти значения в (28,1), находим после умножения на (р'15) и интегрирования по $, при учете условия ортогональности ) д$(р'1в)(в1р)= — б(р' — р), (28,4) следующее соотношение (р'1б) = ~ Ыр(р'1Р1р) (р1а), (28,5) где (р'1Р1р) =) В(р'1в)Р(В1р) (28,6) — совокупность величин, зависящих от двух индексов р н р' которые можно назвать матричными элементами оператора Р, образованными с помощью функций преобразования (Цр). Совокупность всех матричных элементов (28,6) является оператором| физической величины Р в импульсном представлении. Равенство (28,5) указывает правило, с помощью которого оператор (28,6) переводит одни функции импульсного представления в другие функции импульсного представления.

Хотя индексы р' и р в (28,6) изменяются непрерывно, тем не менее из формальных соображений удобно рассматривать <гЛ. Р ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИИ совокупность всех значений матричных элементов (28,6) как матрицу бесконечного ранга, число строк и столбцов которой несчетно. При таком толковании правую часть равенства (28,6) можно рассматривать как произведение матриц, индексы которых изменяются непрерывно, вследствие чего суммирование заменяется интегрированием.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4990
Авторов
на СтудИзбе
468
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее