А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В силу линейности уравнения Шредингера (16,1) его общие решения для операторов Й с дискретным свектром могут быть представлены в виде ф Щ, Ц = Х С„ф„(Ц З 'ВВПА, я (16,8) Стационарные состояния в квантовой механике обладают рядом особенностей: а) Зависимость волновых функций стационарных состояний системы от времени (16,7) однозначно определяется значением энергии в этом состоянии.
б) В стационарных состояниях плотность вероятности и плотность тока вероятности не зависят от времени. в) В стационарных состояниях среднее значение любой физической величины, оператор которой явно не зависит от времени, является постоянным СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ Если оператор Н имеет непрерывный спектр собственных значений, то лл, с-)ъс з)~ ~~с (1см Состояния (16,8) и (16,9) не обладают определенной энергией н не являются поэтому стационарными.
Среднее значение энергии в этих состояниях не зависит от времени. Например, в состоянии (16,8) (Е) = ~ ф*($, «) Нф (я, «) Щ = ~~~! С„('Е„. л Однако плотность вероятности зависит от времени: р($* «) =ф*(ь «) ф(е «)= = ~~.", С'С ф'„($) ф ($) ехр Яń— Е ))«!««'). Если неопределенность энергии системы мала по сравнению с ее средним значением, то говорят о квазистационарном состоянии системы. Исследуем временное изменение квазистационарных систем.
Пусть при « = 0 состояние характеризуется функцией Ч (~, 0) = ~ С,Ы) «Е. (16,!О) Собственные функции фе($) оператора энергии нормированы условием ~ фл($) фе,(Е) 454(Š— Е'), поэтому величина )Се~'г«Е определяет вероятность того, что система имеет энергию, заключенную в интервале Е, Е+ ««Е. Предположим далее, что ~с,~=, -ул~ . (~с,балл-.с рс1ц Параметр з определяет средний разброс энергии Около значения Ео >) е. Согласно (16,9), к моменту временй «волновая функция (16,10) примет вид Чl (й «) ) Сефл (ф) е-юепзг«Е. ' (16,12) Вероятность того, что к моменту времени «система все еще на,ходится ~в начальном состоянии, определяется величиной )Р («) ! ('Р(й, «) Ч' (й, 0)) )". 72 ИЗМЕНЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ !ГЛ.П Подставив значения (16,10) и (16,!2), находим В7(!)= ) !Сере-!Еиос(Е=ехр( — — ).
(16,13) При Т = е/а вероятность начального состояния уменьшается в 2,7 раза, поэтому время Т=— (16,14) называют временез! жизни начального состояния. В квазистационарном состоянии (з ~ Ео) время жизни значительно больше характерного времени системы, равного З!Ери Из (16,14) следует, что время жизни связано с неопределенностью энергии ЬЕ = з начального состояния простым соотношением (16,15) Если гамильтониан содержит часть, зависящую от времени, например, Н = Но+ У(!), то общее решение уравнения (!5,1) можно выразить через линейную комбинацию стационарных состояний ф (з) оператора Но с помощью формулы рй. 1)=Хи.(()ф.(~).
Подставив это выражение в (15,1), находим систему уравнений .Вд =~(Е б „+У и(!))а„, и из которой, в простейшем случае 1'ри = 1Р б, а (О) = С б следует с „!рр=и„*р) — т— (ир.р) р,рир1). о В заключение этого параграфа рассмотрим вид уравнения Шредингера в различных системах координат. Оператор энерги!о (гамильтониан) представляет собой сумму операторов потенциальной и кинетической энергии частиц системы: Вид оператора потенциальной энергии системы частиц записывается просто в системах координат, явно отражающих свойства симметрии системы. Удобно и оператор кинетической энергии Ь~ о ( — — т!) записать в той же системе координат. Для этого 2и! достаточно знать вид оператора Лапласа одной частицы 7з — д!ч йтаб в произвольной системе криволинейных координат.
Из курса дифференциальной геометрии известно, что если СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ 2 3Й квадрат элемента длины в такой системе выражается формулой Ю= ~~ Ры 4722(у2 2.1 где Р22= Рм — произвольные функции дА, то оператор Лапласа имеет вид (16,16) где 6 — квадратный корень из детерминанта матрицы Р„л Р~~'— элементы матрицы, обратной матрице Рм. В случае произвольной ортогональной системы координат Ри= Рьбц, 6=НР2Р2, Рм =йьуР22.
Следовательно, 022 = .~~ Р2 й)н поэтому (16,17) Частным случаем (16,17) являются д2 д2 д2 — + — + — — декартова система координат, дх2 дУ2 д22 — — 1г2 — ~ + — — сферическая система координат, 1д~д1Л г' дг 1 дг) 22 где (16,18) В задачах с аксиальной осью симметрии удобно использовать параболические координаты $, 21, ~, определяемые уравнениями 1 х= р й21соз<р, у= р~$2)з)ц<р, а= ($ — т1). Обратные преобразования имеют вид 5=2+а, 21=г — г, ~р=агс(ц ~~, г=Ух2+у2+я'.
Квадрат элементарного отрезка определяется выражением ДЕ2 +~ „12Р2+ +и Дцт+2ьц,12,2 Следовательно, оператор Лапласа приобретает вид Р~ = + ~ — ($ — ) + — (2) — )~ + — —,. (16,19) 74 ИЗМЕНЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ 1ВЛ. П $17. Изменение средних значений физических величин с течением времени В предыдущем параграфе было указано, что средние значения физических величин в стационарных состояниях не зависят от времени. Определим, как изменяются средние значения в произвольных состояниях. : По определению Следовательно, дг Й ф 1 д~ 1 ь' ( ~1) Подставляя из уравнения Шредингера (15,1) значения производных д$1 дг м ' дг ш и используя эрмитовость оператора Н, преобразуем (17,1) к виду — = ) ф'~ —, + —, 1Р, Й1 ~ ф й$, (17,2) где (Р, Н) = РН вЂ” НР.
ар Если ввести оператор —. определяемый соотношением М л~,) ф аг ф~ь' а<Я) Г . ар (17,3) то, учитывая (17,2), получаем операторное равенство (17,4) Из (17,4) следует, что если оператор Р явно не зависит ог времени и коммутирует с оператором Гамильтона, то среднее значение физической величины Р не изменяется с течением Времени в любом состоянии. Такая величина носит название интегра а квантовых уравнений движения. Применим полученные выше соотношения к координате и импульсу. Для простоты рассмотрим одномерное движение вдоль оси х. Импульс р = р и координата х не зависят явно от времени, поэтому производные от операторов, соответствующих этим Величинам, согласно (17,4), имеют вид а,=~(Р,Н). д,-,д!4.Н1 $ !н изменение сРедних знхчег!Ни с течег!Нем ВРемени 75 Предположим, что состояние движения частицы определяется оператором Гамильтона «2 д! Н .
— — + У (х), зп дкз тогда из (17,5) следуют операторные равенства дд дб дг д д! дх ' Ф Н (17 6) 1 Взяв производную по времени от обеих частей второго уравнения (17,6) и использовав затем первое уравнение, находим й'~ дО Из этого операторного равенства следует равенство для средних значений: р —,, ) ф'хф!1х= — ) ф' — !р!(х. (17 7) Если волновая функция ф(х) отлична от нуля в небольшой области пространства около х = (х), то (17,7) допускает упрощение.
Вводя новую переменную $, определяемую равенством . дсг х = х+ $, можно в этом случае разложить производную дх в ряд — = дсг(Е) + д~г!(Е) Е + 1 д!гг(в) Ех + ... (17,8) дк дх дх' 2 дх' где использованы обозначения — = !с 1 и т. д. дскб (х) г ди (х+ К) т дх " да Подставляя (17,8) в (17,7), получаем и х ди(х) ! д'гг(х) "дгх дх а дл Если выполняется условие (17,10) то (17,8) сводится к классическому уравнению Ньютона для движения центра волнового пакета, если предположить, что в нем сосредоточена вся масса частицы. Неравенство (17,10) выполняется тем лучше, чем более плавно изменяется потенциал при изменении х и чем меньше пространственное протяжение волнового пакета.
Однако малые значения ((Ьх)з) из-за соотношения неопределенностей приводят к большим неопределенностям в значении импульса, т. е. к существенному нарушению классического понятия импульса и кинетической энергии та изменение квантовых состоянии с течением ВРемени (гл. и частицы. Для приближенной применимости классических представлений о движении частицы необходимо, чтобы наряду с неравенством (17,10) выполнялось равенство Чтобы выполнялось (17,11), необходимо выполнение неравенства 2р 2р зр ((ьх)~у (17,12) Одновременное выполнение неравенств (17,10) и (17,12) возможно при движении частиц с большими импульсами в плавно меняющихСя внешних полях. Уравнение (17,4) позволяет найти весьма общую связь между средними значениями кинетической и потенциальной энергии частицы, движущейся в ограниченном объеме пространства.
Действительно, для движения, ограниченного некоторой областью пространства, производная по времени от среднего значения скалярного произведения (гр) должна равняться нулю, т. е. — ((гр)) = О. (17,13) рй Пусть О = — + У (г), тогда, согласно (17,4), имеем операторное равенство З (гр)= а 1(гр), Й]=2Т вЂ” (гусам 1/), Р~ где Т= — — оператор кинетической энергии. Полученное опе2и раторное равенство соответствует, согласно (17,3), равенству средних значений ~~ ((гр)) = 2 (Т) — ((г йтай У)). Учитывая (17,13), имеем окончательно 2(Т) = ((г дгад $~)7.
(17,14) Если потенциальная энергия пропорциональна г", то (г угад У) = а(У) и равенство (17,14) принимает простой вид 2 (Т) = л (Ь'). (17,15) Соотношения (17,!4) и (17,!5) можно назвать квантовой вири ланой теорелой, так как оно по форме совпадает с вириальной теоремой классической механики, определяющей соотношение между средними по времени значениями кинетической и потенциальной энергии системы. $ Щ ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ И УСЛОВИЯ СИММЕТРИИ 77 $18*.
Интегралы движения и условия симметрии Как было показано в $16, интегралом движения, т. е. величиной,среднеезначение которой не меняется с течением времени в любом состоянии, является физическая величина, оператор которой явно не зависит от времени и коммутирует с оператором Гамильтона данной системы.
Напомним, что в классической механике интегралом уравнений движения принято называть такую функцию координат и импульсов, которая остается постоянной при любых начальных условиях. Знание интегралов движения позволяет сформулировать соответствующие законы сохранения, имеющие большое значение для понимания физических свойств изучаемых явлений. Покажем, что наличие интегралов движения и соответствующих законов сохранения тесно связано со свойствами симметрии квантовомеханических систем, т. е. с инвариантностью оператора Гамильтона относительно тех или иных преобразований координат.
Прежде чем переходить к рассмотрению отдельных примеров, исследуем, как преобразуются волновые функции квантовой механики прн преобразованиях координат. Преобразования координат могут быть двух типов: а) преобразование координат, связанное с перемещением в пространстве векторов, характеризующих положение точек системы; при этом базисные векторы, определяющие систему координатных осей, остаются неподвижными; б) преобразование координат фиксированного в пространстве расположения точек при изменении базисных векторов координатных осей. В этом параграфе мы рассматриваем преобразования координат типа а). Пусть 3 — некоторая операция, с помощью которой преобразуются координаты вектора г, определяющего положение точки, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
