Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.С. Давыдов - Квантовая механика

А.С. Давыдов - Квантовая механика, страница 14

DJVU-файл А.С. Давыдов - Квантовая механика, страница 14 Физика (2684): Книга - 4 семестрА.С. Давыдов - Квантовая механика: Физика - DJVU, страница 14 (2684) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.С. Давыдов - Квантовая механика", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 14 - страница

В силу линейности уравнения Шредингера (16,1) его общие решения для операторов Й с дискретным свектром могут быть представлены в виде ф Щ, Ц = Х С„ф„(Ц З 'ВВПА, я (16,8) Стационарные состояния в квантовой механике обладают рядом особенностей: а) Зависимость волновых функций стационарных состояний системы от времени (16,7) однозначно определяется значением энергии в этом состоянии.

б) В стационарных состояниях плотность вероятности и плотность тока вероятности не зависят от времени. в) В стационарных состояниях среднее значение любой физической величины, оператор которой явно не зависит от времени, является постоянным СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ Если оператор Н имеет непрерывный спектр собственных значений, то лл, с-)ъс з)~ ~~с (1см Состояния (16,8) и (16,9) не обладают определенной энергией н не являются поэтому стационарными.

Среднее значение энергии в этих состояниях не зависит от времени. Например, в состоянии (16,8) (Е) = ~ ф*($, «) Нф (я, «) Щ = ~~~! С„('Е„. л Однако плотность вероятности зависит от времени: р($* «) =ф*(ь «) ф(е «)= = ~~.", С'С ф'„($) ф ($) ехр Яń— Е ))«!««'). Если неопределенность энергии системы мала по сравнению с ее средним значением, то говорят о квазистационарном состоянии системы. Исследуем временное изменение квазистационарных систем.

Пусть при « = 0 состояние характеризуется функцией Ч (~, 0) = ~ С,Ы) «Е. (16,!О) Собственные функции фе($) оператора энергии нормированы условием ~ фл($) фе,(Е) 454(Š— Е'), поэтому величина )Се~'г«Е определяет вероятность того, что система имеет энергию, заключенную в интервале Е, Е+ ««Е. Предположим далее, что ~с,~=, -ул~ . (~с,балл-.с рс1ц Параметр з определяет средний разброс энергии Около значения Ео >) е. Согласно (16,9), к моменту временй «волновая функция (16,10) примет вид Чl (й «) ) Сефл (ф) е-юепзг«Е. ' (16,12) Вероятность того, что к моменту времени «система все еще на,ходится ~в начальном состоянии, определяется величиной )Р («) ! ('Р(й, «) Ч' (й, 0)) )". 72 ИЗМЕНЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ !ГЛ.П Подставив значения (16,10) и (16,!2), находим В7(!)= ) !Сере-!Еиос(Е=ехр( — — ).

(16,13) При Т = е/а вероятность начального состояния уменьшается в 2,7 раза, поэтому время Т=— (16,14) называют временез! жизни начального состояния. В квазистационарном состоянии (з ~ Ео) время жизни значительно больше характерного времени системы, равного З!Ери Из (16,14) следует, что время жизни связано с неопределенностью энергии ЬЕ = з начального состояния простым соотношением (16,15) Если гамильтониан содержит часть, зависящую от времени, например, Н = Но+ У(!), то общее решение уравнения (!5,1) можно выразить через линейную комбинацию стационарных состояний ф (з) оператора Но с помощью формулы рй. 1)=Хи.(()ф.(~).

Подставив это выражение в (15,1), находим систему уравнений .Вд =~(Е б „+У и(!))а„, и из которой, в простейшем случае 1'ри = 1Р б, а (О) = С б следует с „!рр=и„*р) — т— (ир.р) р,рир1). о В заключение этого параграфа рассмотрим вид уравнения Шредингера в различных системах координат. Оператор энерги!о (гамильтониан) представляет собой сумму операторов потенциальной и кинетической энергии частиц системы: Вид оператора потенциальной энергии системы частиц записывается просто в системах координат, явно отражающих свойства симметрии системы. Удобно и оператор кинетической энергии Ь~ о ( — — т!) записать в той же системе координат. Для этого 2и! достаточно знать вид оператора Лапласа одной частицы 7з — д!ч йтаб в произвольной системе криволинейных координат.

Из курса дифференциальной геометрии известно, что если СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ 2 3Й квадрат элемента длины в такой системе выражается формулой Ю= ~~ Ры 4722(у2 2.1 где Р22= Рм — произвольные функции дА, то оператор Лапласа имеет вид (16,16) где 6 — квадратный корень из детерминанта матрицы Р„л Р~~'— элементы матрицы, обратной матрице Рм. В случае произвольной ортогональной системы координат Ри= Рьбц, 6=НР2Р2, Рм =йьуР22.

Следовательно, 022 = .~~ Р2 й)н поэтому (16,17) Частным случаем (16,17) являются д2 д2 д2 — + — + — — декартова система координат, дх2 дУ2 д22 — — 1г2 — ~ + — — сферическая система координат, 1д~д1Л г' дг 1 дг) 22 где (16,18) В задачах с аксиальной осью симметрии удобно использовать параболические координаты $, 21, ~, определяемые уравнениями 1 х= р й21соз<р, у= р~$2)з)ц<р, а= ($ — т1). Обратные преобразования имеют вид 5=2+а, 21=г — г, ~р=агс(ц ~~, г=Ух2+у2+я'.

Квадрат элементарного отрезка определяется выражением ДЕ2 +~ „12Р2+ +и Дцт+2ьц,12,2 Следовательно, оператор Лапласа приобретает вид Р~ = + ~ — ($ — ) + — (2) — )~ + — —,. (16,19) 74 ИЗМЕНЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ 1ВЛ. П $17. Изменение средних значений физических величин с течением времени В предыдущем параграфе было указано, что средние значения физических величин в стационарных состояниях не зависят от времени. Определим, как изменяются средние значения в произвольных состояниях. : По определению Следовательно, дг Й ф 1 д~ 1 ь' ( ~1) Подставляя из уравнения Шредингера (15,1) значения производных д$1 дг м ' дг ш и используя эрмитовость оператора Н, преобразуем (17,1) к виду — = ) ф'~ —, + —, 1Р, Й1 ~ ф й$, (17,2) где (Р, Н) = РН вЂ” НР.

ар Если ввести оператор —. определяемый соотношением М л~,) ф аг ф~ь' а<Я) Г . ар (17,3) то, учитывая (17,2), получаем операторное равенство (17,4) Из (17,4) следует, что если оператор Р явно не зависит ог времени и коммутирует с оператором Гамильтона, то среднее значение физической величины Р не изменяется с течением Времени в любом состоянии. Такая величина носит название интегра а квантовых уравнений движения. Применим полученные выше соотношения к координате и импульсу. Для простоты рассмотрим одномерное движение вдоль оси х. Импульс р = р и координата х не зависят явно от времени, поэтому производные от операторов, соответствующих этим Величинам, согласно (17,4), имеют вид а,=~(Р,Н). д,-,д!4.Н1 $ !н изменение сРедних знхчег!Ни с течег!Нем ВРемени 75 Предположим, что состояние движения частицы определяется оператором Гамильтона «2 д! Н .

— — + У (х), зп дкз тогда из (17,5) следуют операторные равенства дд дб дг д д! дх ' Ф Н (17 6) 1 Взяв производную по времени от обеих частей второго уравнения (17,6) и использовав затем первое уравнение, находим й'~ дО Из этого операторного равенства следует равенство для средних значений: р —,, ) ф'хф!1х= — ) ф' — !р!(х. (17 7) Если волновая функция ф(х) отлична от нуля в небольшой области пространства около х = (х), то (17,7) допускает упрощение.

Вводя новую переменную $, определяемую равенством . дсг х = х+ $, можно в этом случае разложить производную дх в ряд — = дсг(Е) + д~г!(Е) Е + 1 д!гг(в) Ех + ... (17,8) дк дх дх' 2 дх' где использованы обозначения — = !с 1 и т. д. дскб (х) г ди (х+ К) т дх " да Подставляя (17,8) в (17,7), получаем и х ди(х) ! д'гг(х) "дгх дх а дл Если выполняется условие (17,10) то (17,8) сводится к классическому уравнению Ньютона для движения центра волнового пакета, если предположить, что в нем сосредоточена вся масса частицы. Неравенство (17,10) выполняется тем лучше, чем более плавно изменяется потенциал при изменении х и чем меньше пространственное протяжение волнового пакета.

Однако малые значения ((Ьх)з) из-за соотношения неопределенностей приводят к большим неопределенностям в значении импульса, т. е. к существенному нарушению классического понятия импульса и кинетической энергии та изменение квантовых состоянии с течением ВРемени (гл. и частицы. Для приближенной применимости классических представлений о движении частицы необходимо, чтобы наряду с неравенством (17,10) выполнялось равенство Чтобы выполнялось (17,11), необходимо выполнение неравенства 2р 2р зр ((ьх)~у (17,12) Одновременное выполнение неравенств (17,10) и (17,12) возможно при движении частиц с большими импульсами в плавно меняющихСя внешних полях. Уравнение (17,4) позволяет найти весьма общую связь между средними значениями кинетической и потенциальной энергии частицы, движущейся в ограниченном объеме пространства.

Действительно, для движения, ограниченного некоторой областью пространства, производная по времени от среднего значения скалярного произведения (гр) должна равняться нулю, т. е. — ((гр)) = О. (17,13) рй Пусть О = — + У (г), тогда, согласно (17,4), имеем операторное равенство З (гр)= а 1(гр), Й]=2Т вЂ” (гусам 1/), Р~ где Т= — — оператор кинетической энергии. Полученное опе2и раторное равенство соответствует, согласно (17,3), равенству средних значений ~~ ((гр)) = 2 (Т) — ((г йтай У)). Учитывая (17,13), имеем окончательно 2(Т) = ((г дгад $~)7.

(17,14) Если потенциальная энергия пропорциональна г", то (г угад У) = а(У) и равенство (17,14) принимает простой вид 2 (Т) = л (Ь'). (17,15) Соотношения (17,!4) и (17,!5) можно назвать квантовой вири ланой теорелой, так как оно по форме совпадает с вириальной теоремой классической механики, определяющей соотношение между средними по времени значениями кинетической и потенциальной энергии системы. $ Щ ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ И УСЛОВИЯ СИММЕТРИИ 77 $18*.

Интегралы движения и условия симметрии Как было показано в $16, интегралом движения, т. е. величиной,среднеезначение которой не меняется с течением времени в любом состоянии, является физическая величина, оператор которой явно не зависит от времени и коммутирует с оператором Гамильтона данной системы.

Напомним, что в классической механике интегралом уравнений движения принято называть такую функцию координат и импульсов, которая остается постоянной при любых начальных условиях. Знание интегралов движения позволяет сформулировать соответствующие законы сохранения, имеющие большое значение для понимания физических свойств изучаемых явлений. Покажем, что наличие интегралов движения и соответствующих законов сохранения тесно связано со свойствами симметрии квантовомеханических систем, т. е. с инвариантностью оператора Гамильтона относительно тех или иных преобразований координат.

Прежде чем переходить к рассмотрению отдельных примеров, исследуем, как преобразуются волновые функции квантовой механики прн преобразованиях координат. Преобразования координат могут быть двух типов: а) преобразование координат, связанное с перемещением в пространстве векторов, характеризующих положение точек системы; при этом базисные векторы, определяющие систему координатных осей, остаются неподвижными; б) преобразование координат фиксированного в пространстве расположения точек при изменении базисных векторов координатных осей. В этом параграфе мы рассматриваем преобразования координат типа а). Пусть 3 — некоторая операция, с помощью которой преобразуются координаты вектора г, определяющего положение точки, т.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5119
Авторов
на СтудИзбе
445
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее