И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков, страница 5

Найти соотношение между углом рассеяния в системе центра масс и углом рассеяния в системе координат, связанной с какой-либо из двух рассеивающихся частиц. 3.12. Найти в пространстве импульсов уравнение поверхностей, на которых лежат концы векторов импульсов рассеянных частиц. $3.

Сечения рассеяния и захвата частиц гГссв9„, ! ! Исоав,„ 3.13. Найти ~ " ~; ~ ~ для случая покоящейся е~' 1к е, до рассеяния частицы / (Оь Оа — углы рассеяния частиц в л-системе). 3.14, Найти полное сечение упругого рассеяния для шариков радиуса а массы т на таких же покоящихся шариках; сила прнг тяжения между шариками имеет вид Р = — са —. га 3.15.

Найти зависимость дифференциального сечения рассеяния от относительных скоростей частиц до рассеяния, если частицы взаимодействуют по закону У(г) =и/»". В случае и=4 определить угол рассеяния в системе центра масс как функцию прицельчого расстояния. 3.16. Найти дифференциальное сечение рассеяния частиц ца малые )глы в поле (/(г) = —— гп 3.17. Восстановить вид рассеивающего поля (/(г) по известной зависимости дифференциального сечения от угла рассеяния. Предполагается, что с/(со) =0; ) У(г) (чт:Т (Т вЂ” кинетическая энергия частицы до рассеяния). 3.18.

Найти выражение дифференциального сечения рассеяния, справедливое для случая произвольного потенциала (/(х, у, г) (У-ч.О при х, у, г-+.-+со). 3.19. Найти дифференциальное сечение рассеяния электронов на малые углы в поле диполя с моментом д. 25 Сечения рассеяния и захвата частиц й 21 3.20. Найти дифференциальное сечение рассеяния заряженных част иц иа малые углы в поле магнитного монополя.

3.21. Найти дифференциальное сечение рассеяния на малые углы в поле магнитного диполя с моментом 1с. 3.22. Вычислить дифференциальное сечение рассеяния заряженных частиц на монополях в системе центра масс 191. 3.23. Нейтроны и протоны, налетающие на неподвижные ядра, вызывают ядерные реакции лишь при непосредственных столкновениях с ядрами.

Допуская, что ядра представляют собой заряженные сферы одинакового радиуса, вычислить сечения реакций, вызываемых протонами и нейтронами. 3.24. Найти сечение захвата частиц на поверхности сферического тела радиуса тс. Потенциальная энергия взаимодействия частиц е телом И(г)= сс(г" (а>0; п>2). 3.25. Показать, что для достаточно больших прицельных расстояний при рассеянии частиц на силовом центре с потенциалом 11(г) =а/и" (а>0, п>1) классическая теория рассеяния неприменима. ГЛАВА 4 Движение относительно неинерциальных систем отсчета $ т. Положение, скорость и ускорение материальной точки относительно разных систем отсчета 4.(.

Точка движется по окружности радиуса И с угловой скоростью о. Найти уравнение траектории точки в системе отсчета, которая поступательно движется со скоростью кь лежащей в плоскости окружности (в начальный момент времени начала подвижной и неподвижной систем отсчета совпадают). 4.2. Точка движется в плоскости Оху системы 5 по прямой г(~) =Р+то((Р0.) тз)- Найти траекторию точки в системе отсчета 5', вращающейся с постоянной угловой скоростью ы относительно 5 (начала обеих систем отсчета, а также плоскости Оху и О'х'у' совпадают), 4.3.

В системе 5 закон движения точки: х=асозы|; у=я=О. Найти уравнение траектории в системе отсчета 5', вращающейся с угловой скоростью и относительно 5 (начала обеих систем отсчета, а также плоскости Оху и О'х'у' совпадают). 4,4. Найти связь между декартовыми координатами точки в системе 5 и системе 5', повернутой относительно 5 на углы Эйлера е, В,ф.

4.8. Самолет садится на корабль, движущийся по океану со скоростью о, в восточном направлении. Скорость ветра от направ. лена на север, а самолет снижается по отношению к кораблю вертикально со скоростью о,. Определить величину скорости самолета по отношению к движущемуся воздуху. 4.6. Окружность радиуса а вращается с угловой скоростью ы вокруг оси, проходящей через одну из ее точек и расположенную перпендикулярно ее плоскости. По окружности движется точка со скоростью и относительно окружности.

Найти величину скорости точки в лабораторной системе отсчета. 4.7. Используя представление о совокупностях ортов цилиндрической и сферической систем координат как о подвижных системах отсчета, найти скорость и ускорение точки в зтих координатах. й 2. Уравнения двюкения и законы сохранения относительно неинерниальных систем отсчета 4.8. Точка подвеса математического маятника движется с постоянным ускорением а (лежащим в плоскости колебаний мнят~ 4 2] Уравнения движения относительно неинерциальных систем 27 ника) в горизонтальном направлении. Найти закон движения маятника.

4.9. Материальная точка, подвешенная на нити длины 1, вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью та, а точка подвеса маятника движется вверх по вертикали с по. стоянным ускорением. Определить ускорение точки подвеса, если известно, что маятник, отклоненный от вертикали на угол ф, остается в том же положении. 4.10. Равнобедренный треугольник высоты lг вращается с постоянной угловой скоростью ат в своей плоскости вокруг вершины 1рис. 4.10). Вдоль гладкого основания треугольника может двигаться шарик массы пт, скрепленный с двумя одинаковыми пружинами жесткости и.

Эти пружины наниза- 4~ ны на основание треугольника и закреплены в его углах. Общая длина " пружин в ненапряженном состоял нии совпадает с длиной основания. Найти закон движения шарика в О' инерциальной системе отсчета. 4.11. Шарик движется в поле тяжести Земли по прямой, образующей угол а с вертикалью и вра- Рис. 4.10 щающейся с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси (проходящей через прямую). Найти величину скорости шарика как функцию положения.

4.!2. Шарик массы т нанизав на гладкую плоскую кривую, расположенную в вертикальной плоскости и равномерно вращающуюся с угловой скоростью ы вокруг вертикальной оси (рис. 4.12). Найти уравнение этой кривой„если шарик находится в равновесии в произвольной точке кривой. Рис. 4,13 Рис 4.12 Движение относительно неинерциальных систем (гл. 4 4 13. Внутри гладкой прямой трубки, вращающейся вокруг горизонтальной оси (и перпендикулярной этой оси), движется шарик, прикреплеинын к оси вращения с помощью пружины (рис. 4.13). Найти закон движения шарика относительно инерциальной системы отсчета.

4.14. Горизонтальная плоскость вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью со. Найти закон движения точки в поле тяжести Земли в системе отсчета, связанной с плоскостью. Написать интегралы движения. 4 15. Окружность радиуса 11 вращается вокруг своего вертикального диаметра с постоянной угловой скоростью от. Из верхней точки окружности по ес гладкой хорде, составляющей угол ~р с осью вращения, движется материальная точка массы т (ее начальная скорость равна нулю). Найти время движения точки.

4.16. Оценить величину сил инерции при движении тела вблизи поверхности Земли в малой области пространства. 4.17. Методом последовательных приближений найти решение уравнения движения тела относительно Земли вблизи поверхности Земли (в качестве нулевого приближения взять решение в отсутствие сил инерции). 4.18. Маятник Фуко находится на географической широте Х. Найти закон движения маятника в декартовых координатах. 4.19.

Найти закон движения маятника Фуко в сферических координатах. 4 20. Найти в квадратурах закон движения точки в поле Земли относительно системы отсчета, жестко связанной с Землей (в сферических координатах). 4.21. Оценить влияние Луны на ускорение свободного падения в различных точках земной поверхности. ГЛАВА 5 Уравнения Лагранжа 9 1. Уравнения Лагранжа с реакциями связей и законы сокранения энергии и момента импульса при наличии связей 5.1.

Материальная точка движется в однородном поле тяжести по гладкой неподвижной плоскости, образующей угол а с горн- зонтом. Найти закон движения точки и реакцию плоскости. 5.2. Точка движется в однородном поле тяжести (рис. 5.2) по гладкой неподвижной параболе, расположенной в вертикальной плоскости (ось параболы горизонтальна). Известно начальное положение точки, а ее начальная скорость равна нулю, На какой высоте точка оторвется от параболы? 5.3. Точка движется по гладкому неподвижному эллнпсоиду с полуосями а, Ь, с под действием силы Г= — нг с центром в центре эллипсоида. Найти реакцию связи как функцию положения и скорости.

5.4. Шарик движется в однородном поле тяжести по гладкой кривой у=у(х), лежащей в вертикальной плоскости. В начальный момент времени х(0) =а, о(0)=0. Через какой промежуток времени т шарик будет находиться в точке с координатой Ь? 5.5. Точка движется в однородном поле тяжести по гладкому круговому конусу, ось симметрии которого расположена вертикально. Найти траекторию точки н реакцию связи. 5.6.