И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков, страница 10

8.7. Найти главные центральные моменты инерции полой тонкостенной однородной полусферы радиуса а массы гп. 8.8. Сферический двуугольник представляет собой область сферической поверхности радиуса а, ограниченную двумя большими окружностями, плоскости которых образуют двугранный угол а. Найти главные моменты инерции однородного тонкого сферического двуугольника массы М относительно осей с началом в центре сферы, из которой образован двуугольник.

Лииаяива твердого тела [Гл Я 8,9, Определить главные центральные моменты инерции однородного прямоугольного параллелепипеда с ребрами длины 2п, 2 Ь, 2 с соответственно и массой М. 8.10. Найти главные центральные момснты инерции однородных объемных тел массы М, имеющих форму а) прямоугольной пирамиды со сторонами основания 2а и 2Ь и высотой й; б) прямого круглого конуса с радиусом основания И и высотой /и в) шарового сектора радиуса Р и высоты л (в последнем случае ограничиться вычислением момента инерции относительно оси материальной симметрии).

8.11. Найти главный центральный момент инерции сплошного однородного полуцилиндра массы пт радиуса а (относительно оси, параллельной плоской поверхности полуцилиндра). 8.12, Найти главные центральные моменты инерции однородного полушара а массы т. 8.13. Вычислить главные центральные моменты инерции однородного полого цилиндра массы М (радиус внутренней цилиндрической поверхности равен г, радис наружной поверхности Р, высота цилиндра гт); в частности, найти главные центральнтяе моменты инерции однородного сплошного цилиндра.

8.14. Найти главные центральные моменты инерции однородного сплошного эллипсоида массы М с полуосями а, Ь, с и, как частный случай, моменты однородного шара радиуса И. 8.15. Найти главные центральные моменты инерции однородного прямого эллиптического цилиндра массой М. Высота цилиндра 2п, полуоси эллиптического основания а, Ь. 8.!6. Определить моменты инерции однородного параболоида вращения высотой 6 с радиусом а плоской поверхности параболоида — относительно системы координат с началом в некоторой точке О окружности, ограничивающей плоскую поверхность, осью О)у, касательной к этой окружности, и осью Ох, направленной по диаметру окружности (рнс.

8.16). 8.17. Найти главные центральные моменты инерции однородного тора массы М, полученного вращением окружности радиуса г относительно осп, лежащей в плоскости окружности и удаленной от 'ее центра на расстояние Й)г. 8.18. Вычислить моменты инерции однородной сплошной полусферы массы М радиуса а в системе координат с началом в некоторой точке О окружности основания полусферы, осью Ох, направленной по диаметру основания, и осью Оу, касательной к окружности основания.

Определить направления главных осей инерции, проходящих через точку О, п вычислить главные моменты пперцпп, соответствующие этим осям. Плосвопараллельное движение $21 в' Ряс. 8.16 5 2. Пиоснопараппельное движение 8.19. Диск скатывается без скольжения по наклонной плоскости. Найти функцию Лагранжа, закон движения диска и реакцшо плоскости (рис. 8.19). 8.20. Концы тонкого стержня массой т длины 1 скользят по параболе у=йхв с вертикально расположенной осью у (рис. 8.20). Найти частоты линейных колебаний стержня.

8.21, Однородный полый полуцилиндр (одна из половин цилиндрической поверхности, разрезанной вдоль плоскости, проходящей через ось этой поверхности) массой т радиуса а находится на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости и совершает линейные плоскопараллсльные колебания (рис. 8.21). Найти период зтнх колебаний, 8.22. На неподвижный горизонтальный цилиндр радиуса а положен абсолютно шероховатый брусок массы М с прямоугольным поперечным сечением высоты 2Ь так, что продольное направление бруска перпендикулярно оси цилиндра (рис. 8.22).

Определить период линейных колебаний бруска, если его главный момент инерции относительно оси, проходящей через его центр масс параллельно оси цилиндра, равен Мйе. 8.23. Твердое тело, момент инерции которого относительно не- которой осп равен У, совершает линейные крутнлъные колебания !Гл В динамика твердого тела вокр!г этой осн.

Это тело подвешено на нити, которая представляет собой упругий круглый цилиндр длиной 1, радиуса !г' с плотностью массы о и подчиняется закону Гука. Найти период крутнльных колебаний тела с учетом упругости нити. l $ 0 0 Рис. 8,20 Рис. 8 !9 РИС. Внм Рис. 822 8.24 Осью полого однородного цилиндра радиуса а и массы Л! служит легкий стержень.

И начальный момент цилиндр покоился на абсолготно шероховатой горизонтальной плоскости„ а математический маятник длины ! и массы т, подвешенный к середине осн цилиндра, был отклонен перпендикулярно оси цилиндра на угол сс от вертикали. Найти амплитуду колебаний центра масс цилиндра, Плоскопараллельиое диижеиис 8.26. Однородный круговой обруч массы М радиуса а подвешен в одной из своих точек. Обруч совершает свободные колебания в своей плоскости (рис. 8.25).

Максимальное значение угла отклонения О диаметра обруча, проходящего через точку подвеса, от вертикали равно се. Найти наименыпее и наибольшее значения величины реакции точки подвеса. 8.26. Однородный круговой цилиндр массы т радиуса а катится без проскальзывания по внутренней шероховатой поверхности неподвижного полого цилиндра радиуса Ь (рис.

8.26). Какую минимальную угловую скорость необходимо сообщить первому ци/ / 1 Рис 828 Рис 825 лиидру в положении равновесия, чтобы ан двигался, не отрываясь от внутренней поверхности неподвижного цилиндра. 8.27. Найти общее решение для линейных колебаний двойного маятника, состоящего нз двух плоских абсолютно твердых тел: первое тело может вращаться вокруг гладкой горизонтальной неподвижной оси, а второе — вокруг оси скрепленной с первым телом н параллельной неподвижной оси. 8.28.

Однородный стержень массой т и длиной 2а опирается своим верхним концом на гладкую вертикальную стенку, а нижним — на гладкий горизонтальный пол. Стержень удерживается так, что он составляет угол се с вертикалью и находится в вертикальной плоскости. Показать, что предоставленный самому себе стержень при падении отделяется от вертикальной стены в тот момент, когда угол его наклона к вертикали 6 удовлетворяет условию [Гл.

8 Дннаинкв твердого тела соей = — сова. 2 3 8.29. Однородный цилиндр массы М катится с постоянной скоростью центра масс Ч, по горизонтальной абсолютно шероховатой платформе, а затем скатывается по приставленной к платформе наклонной плоскости (скорость Чо перпендикулярна оси цилиндра и ребру, образованному платформой и плоскостью). Под каким максимальным углом должна быть поставлена плоскость, чтобы при переходе на нее цилиндр не делал скачка? 8.30.

Однородная пластинка массы гл имеет форму равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами длиной а. Пластинка вращается по инерции вокруг оего вертикального катета, так что вершина прямого угла служит верхней опорой, а вершина одного из острых углов — нижней. Какова постоянная угловая скорость вращения пластинки, при которой горизонтальная составляющая реакции нижней опоры равна нулю? 8.31. Однородный тяжелый стержень длины 2а равномерно вращается без трения вокруг своего верхнего конца, сохраняя постоянный угол а с вертикалью.

Определить направление реакции в точке опоры. 8.32. Однородный куб массы а с ребрами длины а может свободно вращаться вокруг вертикального ребра, Вдоль диагонали куба, не пересекающей оси вращения, высверлено тонкое гладкое отверстие. В верхний конец диагонального отверстия вкладывается шарик массы ти после чего система выходит из состояния покоя. Какую угловую скорость приобретает куб после того, как шарик скатится по его диагонали? 8.33. После того, как однородному диску массы т радиуса а сообщили угловую скорость е«е, его поставили на шероховатую наклонную плоскость, образующую угол «х с горизонталью, при этом диск стал двигаться вверх.

Рассмотреть случай, когда диск движется в вертикальной плоскости, перпендикулярной наклонной поверхности. Коэффициент трения между поверхностями й. Найти а) расстояние, пройденное центром масс диска до того момента, когда он начинает катиться без проскальзывания, и работу сил трения, совершаемую до того же момента; б) максимальное расстояние, пройденное диском вверх по плоскости (й>(йа). и 3. Общий случай движения 8.34.

Взяв в качестве обобщенных координат твердого тела углы Эйлера «р, 8, «р, показать, что обобщенные импульсы ре, ре, Рч являются соответственно проекциям кинетического момента тела на ось г, ось узлов и ось з'. Общий си ай ииижсиии 8.36. Однородный стержень массы ш длины 1 одним концом скользит по гладкой горизонтальной плоскости. Найти лагранжиан стержня и первые интегралы движения.

8.36. Однородный стержень массы и длины 1 укреплен так, что может вращаться вокруг вертикальной и горизонтальной осей, проходящих через середину стержня. Написать уравнения Лагранжа, найти их решение и частоту колебаний стержня вокруг горизонтальной оси.

8.37. Стержень массы 7п длины 1 вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, проходящей через его Рис 8.37 Рис 838 середину (рис. 8.37). Расстояния точки пересечения осн и стержня от опор 1 и 2 равны а. Угол са между стержнем и вертикалью остается постоянным. Найти реакцию опор. 8.38. Однородный стержень длины а и массы т прн помощи легких колец прикреплен своими концами к гладкой окружности радиуса а и.может скользить вдоль нее (рнс.