И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков, страница 3

В начальный момент времени г(0)=0; ч(0) =(иасози, и поз)па, 0). Найти зависимость дальности 1 от угла а (рис. 2.6). Рис. 2.6 2.7. Расстояние между катодом и анодом в плоском магнетроне равно г(, разность потенциалов К а напряженность магнитного поля Н. Электроны эмитируются с катода с нулевой начальной скоростью. При каком значении поля Н ток в магнетроне отсутствует? 2.8. Найти закон движения заряда в магнитном поле Н = ~0, О, Н,сов — ~. Начальные условия в декартовых коору 1 а ? динатах имеют вид г(0) =0; т(0) = (О, ыа, 0); а=еОа(лтс. (рл, 2 14 Законы изменения из|пульса, момента и энергии 2.9. Электрон движется в однородном мащпитном поле Н= Нопг и радиальном электрическом поле с потенциалом о (хо г уа) 2йо В начальный момент времени х(0)=асоза; у(0)=аз(па; з(0) =0; ч(О) =О.

Найти закон движения эчектрона, если ( оооо 1' 4еоУо ) — (заряд электрона е= — ео). гно лтм 2.10. Электрон (е= — ео) движется в поле квадрупольной линзы, потенциал которого Ч =- — '(х' — го), и в однородном постоо1о янном магнитном поле Н=Н,п,. Определнть закон движения элек- У еово ~ 2оио трона, если ~ — ) ) гло лая 2.11. Электрон (е= — ео) движется в неоднородном магнитном поле Н = по п„образующем магнитную стенку, параллельеко ау иую оси х. В начальный момент времени электрон находился на бесконечности (х(0) =О, у(0) = — оо, г(0) =0) и имел скорость х(0) =х(0) =О, у(0) =уо.

Найти а) условия, при которых возможно отражение и прохождение электрона сквозь стенку; б) закон движения вдоль оси у; в) уравнение траектории электрона. 2.12. Протон движется в среде с линейным сопротивлением в постоянном однородном магнитном поле и нестационарном электрическом поле. Напряженность электрического поля вращается с постоянной частотой оз в плоскости, перпендикулярной фиксированному направлению напряженности магнитного поля.

Найти мощность сил, действующих на частицу, а также мощность снл, усредненную по периоду осцилляций кинетической энергии, предпоаагая, что сопротивление среды мало. 2.13. Проинтегрировать уравнение движения свободной точки в цилиндрических координатах. 2 14. С внутренней обкладки цилиндрического конденсатора вылетает электрон с начальной скоростью, перпендикулярной оси конденсатора. Найти критическое значение угла вылета электрона, прн котором его траектория не будет касаться наружной пластины конденсатора. 2.15. Электрическое поле создается двумя одинаковыми зарядами +1,1, расположенными на расстоянии 2а друг от друга. Частица массы т и заряда — д движется в этом поле по окружности радиуса Р, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от зарядов.

Определить момент импульса движущегося заряда относительно оси симметрии системы. 2.16. Электроны движутся между обкладками цилиндрического конденсатора в аксиально симметричном магнитном поле (ось сим- й Ц Сохранение импульса, момента импульса и энергии точек 15 метрии совпадает с осью конденсатора) и электрическом поле, созданном постоянной разностью потенциалов между обкладками.

Найти критическое значение магнитного потока через сечение конденсатора, при котором электроны, двигаясь от внутренней обкладки с нулевой начальной скоростью, перестанут попадать на наружную обкладку конденсатора. 2.17. По бесконечно длинному цилиндрическому проводу радиуса а течет постоянный ток У. С поверхности проводника в радиальном направлении испускается электрон со скоростью ро. Найти формулу, которая определяет наибольшее удаление электрона от проводника. 2.18. Заряд е движется в однородном постоянном магнитном поле. Доказать, что для момента импульса М заряда имеет место интеграл движения МН+ — [гН)э =- С.

вс 2.19. Электрон (е= — е,) движется в однородном постоянном магнитном поле. Найти решение уравнений движения в цилиндрических координатах. 2.20. Заряд е движется в однородном постоянном магнитном поле и в поле неподвижного заряда Я. При некотором соотношении заданных величин заряд будет двигаться по окружности, Найти это соотношение и радиус окружности. 2,21. Заряд е движется в поле магнитного монополя Н = д— га. Найти интеграл движения, следующий из закона изменения момента импульса заряда. 2.22.

Заряд движется в электромагнитном поле. Записать в тензорных обозначениях уравнение движения заряда и закон изменения его кинетической энергии. 2.23. Найти собственную гравитационную энергию однородного шара массы М и радиуса а. 2.24. Найти потенциальную энергию взаимодействия однородного шара массы ть радиуса а и находящейся на расстоянии г ог его центра точки массы гпа. 2.25. Учитывая несферичность Земли, найти энергию взаимодействия однородной Земли н точки массы т, находящейся на расстоянии г»а от центра Земли (а — экваториальный радиус Земли).

2.26. Оценить, исходя из теоремы о вириале сил, температуру внутри Солнца. 2.27. Обобщить теорему о вириале сил для заряженной частицы, движущейся в однородном магнитном поле. 2.28. Частица движется в потенциальной одномерной прямоугольной «яме» с бесконечно высокими «стенками». Ширина ямы [Гл. 2 Законы изменения импульса, момента и энергии а, полная энергия частицы Е.

Вычислить среднюю силу, с которой частица действует на стенку. 2.29. Из классической электродинамики следует, что уравнение движения, учитыватощее потери энергии заряда на излучение, должно иметь вид [7) е 2аа тч = еЕ+ — )чН)+ — ч, с Зса Это уравнение может быть использовано в качестве уравнения движения только в том случае, если сила торможения за счет излучения мала по сравнению с силой, действующей на заряд со стороны внешнего поля, Предполагая, что заряд движется в поле Е=Еосозот/; Н=1пЕ1, найти условие применимости уравнения (и — постоянный орт). 2.30.

Заряд е движется в поле волны Е=Ео сов ат1; Н= гпЕ1 1п — постоянный орт). Учитывая торможение заряда излучением, найти среднюю по времени мощность сил, действующих на заряд, а также среднюю по времени от производной импульса заряда. 5 2. Движение в центрально-симметричном поле 2.31. Найти зависимость от координат потенциала центрального поля, в котором материальная точка может двигаться по гиперболической спирали г=сопз1/гр. 2.32. Точке массы пт, находящейся на расстоянии г от центра поля Г/=хга/3, сообщена скорость чо, составляющая угол ~-и/2 с направлением на центр поля. При каком значении оо материальная точка будет двигаться по окружности? 2.33. Полная энергия материальной точки, движущейся в поле г !ив 1/= — а га равна нулю. Найти траекторию точки.

2.34. Материальная точка движется в центральном поле 1/= — а/га. Полная энергия равна нулю. Найти траекторию точки и построить график траектории. 2.35. Найти траекторию материальной точки н смещение ее а перигелня в поле г/ = — — + —. г га 2.36. Исследовать движение материальной точки в центральном поле в Ђ”с/о при г(а; (/(и) = 0 при г>а.

Движение ппд действием силы тяготения 4 з) 2.37. Точка массы т движется по круговой орбите радиуса гп под действием центральной силы. Сформулировать критерий устойчивости кругового движения точки. 2.38. Точка движется в центрально-симметричном поле. Показать, что законы сохранения момента импульса и энергии приводят к соотношению, аналогичному закону преломления света для сред„ коэффициент преломления которых есть ~функция величины радиуса-вектора.

5 3. Движение под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния до центра силы 2.39. Тело движется в поле тяжести Земли в области высот а«)с; И вЂ” радиус Земли. Найти приближенные выражения для интегралов движения, учитывающие кривизну Земли и справедливые при г«Я. 2.40. Тело брошено с поверхности Земли под углом а к горизонту с начальной скоростью св « )/гдК Найти приближенное уравнение траектории, из которого в случае «плоской» Земли ф-~со) следует известное уравнение параболы.

2.41. Показать, что для материальной точки, движущейся в центрально-симметричном поле с/= — а/ц сохраняется вектор С = [тМ] — —. Определить расположение вектора С относитель- Г но орбиты точки и связь его величины с эксцеитриситетом орбиты. 2.42. Тело брошено с начальной скоростью оп< )/2аЯ под углом 3 к горизонту (рис. 2.42), Найти дальность полета з (з — отсчитывается по дуге большого круга). 2.43. Тело брошено с поверхности Земли с начальной скоростью ое<)г'дК При гя каком значении угла р между скоростью и касательной к Земле дальность полета .е максимальна? 2.44.

С какой минимальной скоростью 4 гл х х ое и под каким углом к горизонту надо бро- ~ и се / сить тело, чтобы оно упало на расстоянии ~ У зе, отсчитываемом по дуге большого круга? 2.43. Тело брошено с поверхности Земли под углом Р к горизонту с начальной ско- л ростью ов < )/3гс. Найти'время полета тела.

Рис. 2.42 [Гл. 2 18 Законы иамененкн импульса момента и энергии 2.46. Известны параметр р и эксцентрпситет е орбиты тела, движущегося в поле тяжести Земли. Найти его скорость как функцию расстояния и от центра Земли. 2.47. В поле тяготения Земли движется тело. Найти угол между его радиусом-вектором и скоростью как функцию положения тела. 2.48 В поле тяготения Солнца движется комета с периодом обращения Т. В перигелии расстояние от Солнца до кометы равно и„. Найти расстояние от Солнца до афелия орбиты кометы, зная период обращения Земли вокруг Солнца и значение большой полуоси орбиты Земли.

2.49. Тело выводится на орбиту в точке, находящейся на расстоянии га от центра Земли, При каких условиях орбитой тела будет эллипс, парабола, гипербола или окружность? При каком условии орбита спутника не пересечет поверхность Земли? 2.50. Спутник выводят на орбиту в точке, находящейся на расстоянии го от центра Земли. Чтобы траектория спутника не касалась Земли, вектор начальной скорости должен лежать вне «запретного конуса», т. е. а) вне конической поверхности, касающейся земного шара, с вершиной в точке выведения; б) абсолютная величина начальной скорости должна превосходить некоторое критическое значение. Показать это. 2.51. При выведении спутника на круговую орбиту (на высоте 6=300 км) его расстояние от Земли отклонилось от расчетного на ЛГ=З км.

Найти параметр и эксцентриситет орбиты. 2.52. В момент выведения спутника на круговую орбиту 1на высоте 6=300 км) направление скорости спутника отклонилось от расчетного на 5= 1' в сторону Земли. Найти параметр и эксцентриснтет орбиты, а Также отклонения в апогее н перигее от круговой орбиты. 2.53. В момент выведения спутника на круговую орбиту 1на высоте й =300 км) величина скорости отклонилась от расчетной иа Ло. Найти эксцентриситет, параметр орбиты, а также отклонения в перигее и апогее от круговой орбиты. 2.54. Спутник движется вокруг Земли по эллиптической орбите. Расстояния от поверхности Земли до перигея и апогея соответственно равны йи= 170 км и 6,=400 км.