Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (Фихтенгольц - Курс дифференциального и интегрального исчисления)

Г.М. Фихтенгольц КУРС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ТОМ 3 Содержание ГЛАВА ПЯТНАДЦАТАЯ. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА 8 1. Криволинейные интегралы первого типа 543. Определение криволинейного интеграла первого типа 544. Сведение к обыкновенному определенному интегралу 545. Примеры 8 2. Криволинейные интегралы второго типа 546. Определение криволинейных интегралов второго типа 547. Существование и вычисление криволинейного интеграла второго типа 548.

Случай замкнутого контура. Ориентация плоскости 549. Примеры 550. Приближение с помощью интеграла, взятого по ломаной 551. Вычисление площадей с помощью криволинейных интегралов 552. Примеры 553. Связь между криволинейными интегралами обоих типов 554. Физические задачи з 3. Условия независимости криволинейного интеграла от пути 555. Постановка задачи, связь с вопросом о точном дифференциале 556.

Дифференцирование интеграла, не зависящего от пути 557. Вычисление криволинейного интеграла через первообразную 558. Признак точного дифференциала и нахождение первообразной случае прямоугольной области 559. Обобщение на случай произвольной области 560. Окончательные результаты 561. Интегралы по замкнутому контуру 562. Случай неодносвязной области или наличия особых точек 563. Интеграл Гаусса 564.

Трехмерный случай 565. Примеры 566. Приложение к физическим задачам 11 11 13 15 20 20 25 27 30 32 35 38 40 45 45 46 49 50 52 55 56 57 62 64 67 71 120 122 122 123 125 127 128 130 131 по 134 137 137 ~ 4. Функции с ограниченным изменением 567. Определение функции с ограниченным изменением 568. Классы функций с ограниченным изменением 569. Свойства функций с ограниченным изменением 570. Критериидля функций с ограниченным изменением 571.

Непрерывные функции с ограниченным изменением 572. Спрямляемые кривые 8 5. Интеграл Стилтьеса 573. Определение интеграла Стилтьеса 574. Общие условия существования интеграла Стилтьеса 575. Классы случаев существования интеграла Стилтьеса 576. Свойства интеграла Стилтьеса 577. Интегрирование по частям 578. Приведение инйгоааа Стилтьеса к интегралу Римана 579. Вычисление интегралов Стилтьеса 580. Примеры 581.

Геометрическая иллюстрация интеграла Стилтьеса 582. Теорема о среднем, оценки 583. Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса 584. Примеры и дополнения 585. Сведение криволинейного интеграла второго типа к интегралу Стилтьеса ГЛАВА ШЕСТНАДЦАТАЯ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 9 1. Определение и простейшие свойства двойного интеграла 586. Задача об объеме цилиндрического бруса 587. Сведение двойного интеграла к повторному 588. Определение двойного интеграла 589. Условия существования двойного интеграла 590. Классы интегрируемых функций 591.

Нижний и верхний интегралы как пределы 592. Свойства интегрируемых функций и двойных интегралов 593. Интеграл, как аддитивная функция области; дифференцирование области 9 2. Вычисление двойного интеграла 594. Приведение двойного интеграла к повторному в случае 74 74 76 79 82 84 87 89 89 91 92 95 97 98 100 104 111 112 114 115 прямоугольной области 595. Примеры 596. Приведение двойного интеграла к повторному в случае криволинейной области 597.

Примеры 598. Механические приложения 599. Примеры 8 3. Формула Грина 600. Вывод формулы Грина 601. Приложение формулы Грина к исследованию криволинейных интегралов 602. Примеры и дополнения 8 4. Замена переменных в двойном интеграле 603. Преобразование плоских областей 604. Примеры 605. Выражение площади в криволинейных координатах 606. Дополнительные замечания 607.

Геометрический вывод 608. Примеры 609. Замена переменных в двойных интегралах 610. Аналогия с простым интегралом. Интеграл по ориентированной области 611. Примеры 8 5. Несобственные двойные интегралы 612. Интегралы, распространенные на неограниченную область 613. Теорема об абсолютной сходимости несобственного двойного интеграла 614. Приведение двойного интеграла к повторному 615. Интегралы от неограниченных функций 616. Замена переменных в несобственных интегралах 617. Примеры ГЛАВА СЕМНАДЦАТАЯ.

ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 8 1. Двусторонние поверхности 618. Сторона поверхности 617. Примеры 141 149 152 165 167 174 174 178 179 182 182 184 189 192 194 196 204 206 207 214 214 217 219 221 223 225 241 241 243 620. Ориентация поверхностей и пространства 621. Выбор знака в формулах для направляющих косинусов нормали 622. Случай кусочно-гладкой поверхности 8 2. Площадь кривой поверхности 623. Пример П!варца 624. Определение площади кривой поверхности 625.

Замечание 244 246 247 248 248 251 252 253 258 259 260 274 274 275 277 типа 279 285 285 287 290 292 293 297 299 305 308 308 309 310 8 1. Тройной интеграл и его вычисление 642. Задача о вычислении массы тела 643. Тройной интеграл и условия его существования 644. Свойства интегрируемых функций и тройных интегралов 645. Вычисление тройного интеграла, распространенного на параллелепипед 646.

Вычисление тройного интеграла по любой области 312 314 626. Существование площади поверхности и ее вычисление 627. Подход через вписанные многогранные поверхности 628. Особые случаи определения площади 629. Примеры з 3. Поверхностные интегралы первого типа 630. Определение поверхностного интеграла первого типа 631. Сведение к обыкновенному двойному интегралу 632. Механические приложения поверхностных интегралов первого 633. Примеры 8 4. Поверхностные интегралы второго типа 634. Определение поверхностного интеграла второго типа 635. Простейшие частные случаи 636. Общий случай 637. Деталь доказательства 638. Выражение объема тела поверхностным интегралом 639.

Формула Стокса 640. Примеры 641. Приложение формулы Стокса к исследованию криволинейных интегралов в пространстве ГЛАВА ВОСЕМНАДЦАТАЯ. ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 647. Несобственные тройные интегралы 648. Примеры 649. Механические приложения 650. Примеры 8 2. Формула Гаусса — Остроградского 651. Формула Остроградского 652. Приложение формулы Остроградского к исследованию поверхностных интегралов 653.

Интеграл Гаусса 654. Примеры 8 3. Замена переменных в тройных интегралах 655. Преобразование пространств и криволинейные координаты 656. Примеры 657. Выражение объема в криволинейных координатах 658. Дополнительные замечания 659. Геометрический вывод 660. Примеры 661.

Замена переменных в тройных интегралах 662. Примеры 663. Притяжение со стороны тела и потенциал на внутреннюю точку 9 4. Элементы векторного анализа 664. Скаляры и векторы 665. Скалярное и векторное поля 666. Градиент 667. Поток вектора через поверхность 668. Формула Остроградского. Дивергенция 669. Циркуляция вектора. Формула Стокса. Вихрь 670.

Специальные поля 671. Обратная задача векторного анализа 672. Приложения 8 5. Многократные интегралы 673. Задача о притяжении и потенциале двух тел 674. Объем и-мерного тела, и-кратный интеграл 675. Замена переменных в и-кратном интеграле 676. Примеры 315 316 323 325 333 333 335 336 338 342 342 343 345 348 349 350 358 359 364 Збб 366 367 368 370 371 372 374 378 378 384 384 386 388 391 ГЛАВА ДЕВЯТНАДЦАТАЯ. РЯДЫ ФУРЬЕ 8 1.Введение 677.

Периодические величины и гармонический анализ 678. Определение коэффициентов по методу Эйлера — Фурье 679. Ортогональные системы функций 680. Тригонометрическое интерполирование 8 2. Разложение функций в ряд Фурье 681. Постановка вопроса. Интеграл Дирихле 682. Первая основная лемма 683. Принцип локализации 684. Признаки Дини и Липшица сходимости рядов Фурье 685. Вторая основная лемма 686.ПризнакДирихле — Жордана 687. Случай непериодической функции 688.

Случай произвольного промежутка 689. Разложения только по косинусам или только по синусам 690. Примеры 691. Разложение 1п Г(х) з 3. Дополнения 692. Ряды с убывающими коэффициентами 693. Суммирование тригонометрических рядов с помощью аналитических функций комплексной переменной 694.

Примеры 695. Комплексная форма рядов Фурье 696. Сопряженный ряд 697. Кратные ряды Фурье 8 4. Характер сходимости рядов Фурье 698. Некоторые дополнения к основным леммам 699. Признаки равномерной сходимости рядов Фурье 700. Поведение ряда Фурье вблизи точки разрыва; частный случай 701. Случай произвольной функции 702. Особенности рядов Фурье; предварительные замечания 703. Построение особенностей 9 5.

Оценка остатка в зависимости от дифференциальных свойств функции 704. Связь между коэффициентами Фурье функции и ее производных 414 414 417 419 424 427 427 429 432 433 436 438 440 441 442 446 461 463 463 469 472 477 480 483 484 484 487 490 495 497 500 502 502 705. Оценка частичной суммы в случае ограниченной функции 706. Оценка остатка в случае функции с ограниченной 1с-й производной 707. Случай функции, имеющей 1с-ю производную с ограниченным изменением 708. Влияние разрывов функции и ее производных на порядок малости коэффициентов Фурье 709. Случай функции, заданной в промежутке [О, к1 710.

Метод выделения особенностей 8 6. Интеграл Фурье 711. Интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье 712. Предварительные замечания 713. Достаточные признаки 714. Видоизменение основного предположения 715. Различные виды формулы Фурье 716. Преобразование Фурье 717. Некоторые свойства преобразований Фурье 718.

Примеры и дополнения 719. Случай функции двух переменных з 7. Приложения 720. Выражение эксцентрической аномалии планеты через ее среднюю аномалию 721. Задача о колебании струны 722. Задача о распространении тепла в конечном стержне 723. Случай бесконечного стержня 724. Видоизменение предельных условий 725.

Распространение тепла в круглой пластине 726. Практический гармонический анализ. Схема для двенадцати ординат 727. Примеры 728. Схема для двадцати четырех ординат 729. Примеры 730. Сопоставление приближенных и точных значений коэффициентов Фурье ГЛАВА ДВАДЦАТАЯ. РЯДЫ ФУРЬЕ (продолжение) з 1. Операции над рядами Фурье. Полнота и замкнутость 731. Почленное интегрирование ряда Фурье 503 505 507 509 514 516 524 524 526 527 529 532 534 537 538 545 547 547 549 553 557 559 561 563 565 569 570 571 574 574 732. Почленное дифференцирование ряда Фурье 733.