А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 14

DJVU-файл А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 14 Теория вероятностей и математическая статистика (2654): Книга - 3 семестрА.Н. Ширяев - Вероятность-1: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница 14 (2654) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Н. Ширяев - Вероятность-1", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 14 - страница

-тка<ькт (15) Ясно также, что анр (ггп)(а,Ь)~< анр 1е(1ьпК. ') — "е "Гз< внр )е((ьп)(х -тка<ь<т " ' 1(,Цт 1(,1<т к~2л 1))1<т — р (а,'ч(, ))(1 О, ()6) 1)(йл лт -т<а<ь<т где сходимость правой части к нулю следует из (15) и того известного из математического анализа факта, что т аа -«~/з (.< 1 ~ -к'/з ( "йл л-т (17) Обозначим к Ф(х)= — ~ е ')'г(й )/2л Тогда из (14) — (16) вытекает, что зир ~Р„(а, Ь] — (Ф(Ь)-Ф(а))~- О, и- со. (18) -тк кь<т Покажем сейчас, что этот результат справедлив не только для конечных Т, но и для Т = оо.

В силу (17) для заданного е > О можно найти такое ГЛ. Е ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 84 конечное Т = Т(е), что т -к~ '2 — е "Таах>1 — —. (19) Согласно (!8), можно найти также такое )т', что для всех и > АГ и Т = Т(е) зир ]Р„(а, Ь] — (Ф(Ь) — (Ф(а))] < 4 (20) -т<а<ь<т Отсюда и из (19) следует, что Р„( — Т, Т]>1 — —, и, значит Р„(-~, -Т]+ Р„(Т, ) < 2, где Р„( — ос, Т] = йгп Р„(5, Т] и Р„(Т, оо) = 1пп Р„(Т, 5].

Зь-оо 3!оо Таким образом, для любых -со< — Т<а<Ь< Т < со ь т Р„(а, Ь] — — ~'е 'тгдх < Р„( — Т, Т] — — ') е 'т-'г(х + ~/2~, ~/2~ -т ь + Р„(а, — Т] — — ~ е "тгь(х + Р„(Т, Ь] — — ~ е "тздх < ~/юг ~~~ т -т оо < — +Ра( — оо, — Т]+ — ~ е к ~зс(х+Ра(Т, оо)+ — ~ е к кздх< г г г г 4 2 8 8 <-+ †+ †+. С учетом (18) отсюда легко выводится, что Р„(а, Ь] стремится к Ф(Ь) — Ф(а) равномерно по всем -со <а<Ь <со. Итак, доказана Интегральная теорема Муавра — Лапласа. Пусть 0 < р < 1, Р„(й)=СьРьд™, Р„(а, Ь]= ~~~ Р„(пР+хт/йРг)).

а<к<6 Тогда ь зцр ~Ра(а, Ь] — — Г~е "теь(х О, п- оо. (21) -оо<а<ь<оо ] " ' Л~~ С точностью до тех же самых замечаний, которые были сделаны по поводу соотношения (8) $ б, результат (21) можно на вероятностном языке $6. СХЕМА БЕРНУЛЛИ. П. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ сформулировать следующим образом; ь ацр Р(а « у~ — — 1)е " дх — О, л со. 5« — Ез«3 ! -««/2 -ьо<а<Ь<ьо Из этой формулы сразу следует, что для любых — оо < А < В < со Р(А <5«<В) — [Ф( Р) — Ф( — ~)~ -+О, л- оо.

(22) Пример. Правильная кость подбрасывается 12000 раз. Спрашивается, какова вероятность Р того, что число шестерок будет лежать в интервале (1800, 2100). Искомая вероятность равна '-(-.')'И)" !зев< »< 2! 00 Понятно, что точное вычисление этой суммы «на руках» представляет весьма трудоемкую задачу. Если же воспользоваться интегральной теоремой, то найдем, что интересующая нас вероятность Р примерно равна (л=12000, р=-, А=1800, В=2100) 1 6' 12000 — — 12000 = Ф(~Г6) — Ф( — 2~Г6) Ф(2,449) — Ф(-4,898) яз 0,992, где значения Ф(2,449) и Ф(-4,898) взяты из таблиц для функции Ф(х) (так называемой нормальной функции распределения; см.

далее п. 6). 3. Нанесем биномиальные вероятности Р„(ар+ х~/лра) (х предполагается таким, что лр+х~/арф — целое число) на график (рис. 9). Тогда локальная теорема говорит о том, что для х = о(про)ча вероятности Р„(лр+х~/ярд) хорошо «ложатся» на кривую е "Рз. «/2кл ре Рис. 9. 86 ГЛ. !. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Интегральная же теорема говорит о том, что вероятность Р„(а, Ь] = = Р(а,/прд < 5„-пр < Ьк/йрдд) = Р(пр+ак/прд < 5„< пр+Ь,/прд) а хорошо аппроксимируется интегралом (1/~/2я) ) е " !' дх. а Обозначим Е„(х)=Р„(-со,х] (=Р( " ! <х)).

Тогда из (2!) следует, что зцр ]Е„(х) — Ф(х)]- О, п-+со. (23) -ооцк<оо знр ]Е„(х) — Ф(х)] < — <.< " ./ Рд ' (24) Важно подчеркнуть, что порядок оценки 1/,/п рд не может быть улучшен, а это означает, что аппроксимация Е„(х) с помощью функции Ф(х) может быть плохой при значениях р, близких к нулю или единице, даже при больших и. Возникает поэтому вопрос о том, а нельзя ли при малых значениях р или д найти для интересующих нас вероятностей лучшую аппроксимацию, нежели так называемая нормальная, даваемая локальной и интегральной теоремами. С этой целью заметим, что, скажем, при р = 1/2 биномиальное распределение (Р„(й)) имеет симметричную форму Рк (а) 0,3 0,2 Рк(а! 0,3 =!0 0,2 О,! О,! 0 2 4 6 8 !О 0 2 4 6 8 $0 Рнс.

!О. (рис. 10, слева). Однако при малых значениях р биномиальное распределение приобретает асимметричную форму (см. рис. 10, справа), и поэтому не приходится ожидать, что нормальная аппроксимация будет хорошей. Интересно было бы понять, насколько быспкро с ростом и происходит стремление к нулю в (2! ) и (23). Приведем результат, относящийся сюда и являющийся частным случаем так называемой теоремы Берри — Эссеена ($11 гл.

111): 87 й 6. СХЕМА БЕРНУЛЛИ. И. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ 4. Оказывается, что прн малых значениях р хорошую аппроксимацию для (Р„(й)) дает так называемое пуассоновское распределение вероятностей. Пусть Р ,(й) = Сьрьд" ", й=О, 1, ..., а, О, у=а+1, а+2, ... и предположим сейчас, что р является функцией от а, р = р(п).

Теорема Пуассона. Пусть р(а)- О, а оо, причем так, что пр(п) Л, где Л > О. Тогда для любого й = О, 1, ... Р„(й)- 7гы а-+ос, (25) где Лье-л яь= —, й=0,1, ... 7г! (26) Доказательство весьма просто. Поскольку по предположению р(п) = л = — +о (-), то для любою фиксированного у =О, 1, ... и достаточно боль- а ~л)' шнх а Р„(й)=Сьрьд" ~= ( [ — +о(-)~ [1 — — +о( — )~ Но а(а — 1)...(а — у+1)[ — +о( — )~ Л 1 ь.+ !) (Л+о(1)] Л' и пь [1 — -+о(-)1 -+е л, а-+со, что н доказывает (25).

П Набор чисел (яы й=О, 1, ...) образует так называемое пуассоновское распределение вероятностей (яь>0, 2 яь=!). Отметим, что все а=о Рассматриваемые выше (днскретные) распределения были сосредоточены лишь в конечном числе точек. Пуассоновское распределение — это первый встретившийся нам пример (днскретного) распределения, сосредоточенного в счетном числе точек. Приведем слелующнй результат (Ю.

В. Прохоров), показывающий, с какой скоростью величины Р„(й) сходятся к яь прн и- оо: если 46. схемА БеРнулли. н, пРедельные теОРемы 89 Определим число л(а) из соотношения ь(а) — е ' зс(х=! — а. )г2я /л Поскольку е!) — >2е)/й, то, определяя (наименьшее целое) и из неравенства 2е~/й > й(а), (30) получим, что (31) 6. Введенная выше функция Ф(х) = — ) е ~)'г(1, )Г2я (32) участвующая в интегральной теореме Муавра — Лапласа, играет исключительно важную роль в теории вероятностей. Эта функция называется нормальным или гауссовским распределением вероятностей на числовой прямой с (нормильной или гауссовской) плотностью ч)(х) = — е ' ге, х е !г ). ~/2л Мы уже встречались с (дискретными) распределениями, сосредоточенными в конечном и счетном множестве точек.

Нормальное распределение принадлежит другому важному типу (непрерывных) распределений, возникающих в теории вероятностей. Отмеченная выше его исключительная роль объясняется прежде всего тем, что при достаточно общих предположениях распределение суммы больШого числа независимых случайных Из (30) находим, что н= из(а) с пз(а)= ~ — ], гарантирует выполнение (31), где точность аппроксимации легко может быть установлена из (24). Беря с=0,02, а=0,05, находим, что на самом деле достаточно лишь 2500 наблюдений, а не 12 500, как это следовало из неравенства Чебышева. Значения й(а) находятся по таблицам.

Приведем ряд значений й(а) для некоторых значений а: а 0,50 0,3173 0,10 0,05 0,0454 0,01 0,0027 й(а) 0,675 1,000 1,645 1,960 2,000 2,576 3,000 ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ величин (не обязательно бернуллиевских1) хорошо аппроксимируется нормальным распределением ($4 гл.!11). Остановимся сейчас на некоторых простейших свойствах функций 1л(х) н Ф(х), графики которых приведены рис. 11 и 12. -3 -2 -1 0 0,67 1,96 2,68 Рнс. 11.

График плотности 1л(х) нормального распределения Функция у(х) является симметричной колоколообразной кривой, убывающей с ростом (х! очень быстро: <р(1)=024!97, Р(2)=0,053991, 1о(3) = 0,004432, 1л(4) =0,000134, 1л(5) = 0,000016. Максимум этой кривой достигается в точке х = 0 н равен (2я) 1г2 ю0,399. 1 Кривая Ф(х)= — ~ е ' г2Ж быстро приближается с ростом х ~/2з. к единице: Ф(1) = 0,841345, Ф(2) = 0,977250, Ф(3) = 0,998650, Ф(4) = = 0,999968, Ф(5) = 0,999997.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее