А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей, страница 49

)0 В » о (а)о=спал (а, 0), 3,22!. —" с = (1+ о (Ц) — !пи, и-ьос, и Лсее й и »-1 3 12 12 3.222й 2 0 47?4... Мр — 3 8!97 ... М 2п ' ''" и сз — 1 = 0,2158... 3.223. а) — +~ — — а )! — а + [а — а [) 6) / ( 2 г! З с з ' 60 с-с- е е и — < 1, и-с-оо. 6) 1 — ~1 — — ~ -ь1, и-ь оо. ь/ 3.225. Р[[Ь[ с~ 0,7) =0,5160...

> Р([5[) 0,7) 0,4839..., 3.226. Р( — 0,5 «<5л~ — О,Ц = О,!618... Р (1 ~ $ < 2) = 0,1359... 3.227, М5з» с = О, М5г» = 1 3 5 ....(2/с — Ц оз" = = (24 — ЦЦ ог", Ь = 1, 2, ... и Оох-а) 3.229. а) — е зо, х~ О; б) .— е зо, х~ О. о [сзпх ' ох [ 2п 29! аспределекие с Мс 2) = Мс 2) =0 и когог 212 7 с с 2 2 3.248. Нормальиое р с вариациоввой матрицев ] 3,250.

Величавы 2) и ц распределены так же,как 3 и $, 1 2 2' 3 251 2 1. 3 252. а) 4Ф2(Ц = О 4660...; б) 2Ф (1)Ф2 (2) =О 3258...; в) Фа (2) = 0,2277 ...; г) 2Ф2 (1) = 0,2330...; д) 1 — е =0,3934 ...; е) 1 — 2 2 =0,6321 ... 3'253'а) 4Фо(2,5)Фе(1) 0'6742"" б) 2Ф (2,5) Ф (2)=0,4713...; в) (Ф, (1,5) + Фо (0,5)) (Фе (3)+ Ф, (2)) = 0,6095 ...

3,254 ~ е( 2 ) Фо( 2 /] ] Фа( 2 /+Фе( 2 )~=0,0849.„ 3.255. а) Фт ( $/2)/2 = 0,08876 ...; 6) 192 (2) — 612 ф'2) 0,05023 ...; в) (Ф~~ (2) — Фт ()г2)/2 = 0,02511 ... 3.256. ге " 2/(2л) (2~0, 0(~р<2л), 0 в остальных случаях, 3,257. а) 2 Фе (3) = 0,9946 ...; 5) 1 — е 212 = 0,9888 „., в) 1 — в 2=0,9998... 3.258.

а) е 2 — е 2/2 0,1242...; 6) 4 (Фт (3)- Фг(2)) =* ° =0,0835 ...; в) 4(Ф22()гЗ/2) Фас()гг2/2)) =Оэ(054 °" 3. 259, Р ( ] А А ] ~ 2) = 1 — в 3.230. 1 — ехр ( — х/(2о )) (л 3' 0). 3.231, Гамма-распределение в 21 с Х= а=, 3232, в; 2я. 3,233, Мт = ее+о/2 рт ь =' ~222+о (ео 1). 3,234. еа-о, еао /2 3.235. а) 2Фо (5/3)=0,9044... в любом случае; б) Ф(1,6268...)- Ф ( — 1,716. ° .)=0,9050... при т=60, Ф(1,527...) — Ф( — 2,214...) 0,9233... при я1 = 10. 3.236. Мцаг = 1 3.5 „. (24 — 1), М1)ь = ехр ай+ о242~. 3.237. О. 3.238. М (соа5)=е 1~2=06065..., 0(сов 5)= — (1 — е 1)2 = = О 1097...

3 239. 0 (ага 2) = —. (1 — е ') = О 4323... ) 0 (соя Ц вЂ” (1 — е 1) = 0,1997... 3.240. М сов $ = — ]Г )/2 -)-1 = 2 2 1 =0,77688..., Ма(п$ = 2 Р )~2 — 1=0,32179... 3.241. Являются. 3.242. а) СтандаРтное нормальное; б) иот, 3.2223. Ф(1/)г2) Ф ( — 1/)/2) =0,5204... 3.244. а) 1/2; б) 0,7928~ в) 0,24126. 8.245. Распределения (4, ьт) и (3., Ц ) одинаковы. 3,247.двумсрноенормальиоераспределение си левымс е им ковариациовиой матрицей 3.260.

Р(]А М.](е) = 1 — е х 2 о 3.262. 3/4. 3.263. З(4. 3.265. — агсгй — ', 3.266. р оп 1 1 1 1 р — + — агс21в р, р р =- — — —,агс.-!в р, ы 4 2л ' 21 12 4 2л От где р = — кооффицвент корреляции 5 и 5, 1 2' )/о,о 1 о — ха 3. 267, 2 а гога „3. 268. а) 1/2; б) х о — а Ф(Ь/)/о — 2ао +а о22 ). 3.270. а) Нормальное распре- 11 12 долевая о нулевым вектором средвих и матрвцей коеариаций ( / 2 1) (ГЗ -(етех" — х х )Га 2/ б) — 2 1 2 1 2 при 0(а (х и 0 в оогРЗ чалькых случаях; в) Р (Ь ~ х) — агс16 (О (я~~ 1].

2 — с 3.271. а) Нормальное распределение с нулевым вектором 2 — 11 средиих и ковариациокной матрицей ( 1 2); б) — 2 ' 1 2 1 2" при л,, * )0 и О в остальных случаях1 в )/3 в) Р (Ь 2~ х) аго13 †, ,(О И; в ( оо). /10 О) 3.272.а) (0,0,0)',]О 1 0~. 6) 5, $21 3 попарно независимы 0 0 1 и имеют ставднртиое нормальное распраделениа.

в) Р(л еа ва) ° ° 2 ° (2яе) 1/аехр ]- (х(+ в~+се)/3], если лгвав2~0е (2я) 2/2 ехр ]-вае/2], если «1ла = О, 0 в остальных случаях. 3.273. Положить если 5 ... 5я О, ) ь (аив (5 ... ье 1), если а ... 5„ 1 ~ О, ГДЕ 5, ..., Зе 1, Ь" НЕааВИСИМЫ И ИМЕЮТ СтаНДаРтНОЕ ИОРМаЛЬНОЕ аспределение. 3.274. Нормальное раопределеиие с параметрами (О, ..., О), А'А). 3.275. мч5 (О, О... 0), сот(052, 2)$)) аг.. 3.276. Нормальное распределение с параметрами ((О... „О), )51 ~, где Ь2 =1 при 2=/ в Ь/ — — аеа при гчь/. 3.277. Нормальное 293 расс ! одоленно с параметрами ((О... „0), и ссм131 ог, 3.278. 15.

3.279. 1пМ) 6 А 1 распределенно с М(4 )$ = х) — ~. х и сга 12 (С вЂ” ) .,В» .В С р, 11 22 1Ь1! !!), гДе В ° 8.280. Нормальное 1'(В )Ве *) лвл нется. Глава 4 4.2. Р ~ ~ — — 3,5 ~ > с) ы: — '-1-. ,)а~вы~-и 4.4, Выссолннетсв. 4.5. Удовлетворяют, 4,6. О н; с» < 1, 4.7. и ) О, и» 1. 4.8.

Удовлетворяют. 1 /\ 4.11. б) 2Ф( — е/С), С ) /2(х) с)х — ) /(х) с/х е о 1 2 4.12. а) Ма, ) / (х) с/х, Г»9, = ) /2 (х) с)х — 1 ( / (х) с/х о е о 4Л8. Всегда. 4.25. б) (1 — р) р ° и-1 4.26. Р(с (Л'))п) = П(1 — ~ /, ы (х) 1 — е ", !-1 Р~т (Л)>и)=)1+ Л' 2п+1 )П ~1 Лс, / ~, где 6(/У) 1 »=О прв нечетном Лс и 6(Л») = 0 при четном Лс, С (х) 1 е 4 27. !1»п Р (»1и(~ *) = х, О (» х < 1. и ы 4.29. Распределение Коши с параметром 1. 4.30. Распределе.

ние Коши с параметром 1. 431. !!ш Р (($ — х) х( у) $ > х) = 1 — г "/и, у) О, 432. а) Иш Р)х„п 1/~~х) =е " (х)О); и б) Йш Р)кис»'/" »(х) =- В !»! ( <0); в) !!ш Р(х„— )и и( х) = а и- 4.34. Ф(х). 4.37. !!ш Р(!и ( (х) = 1 — е ", 0 ( х ( ~, 4.38. а) Мт, = Аа, Оте — — /сч . '.39. Мт = аМч, Р— (х)-В Р (х), (Мг ~р+'ч я о ~и'тч 1 — е х, О(х( 4.42. !сш Р(чт т) = Вш Р (дт (х) = ! — е х'а х)ы О е е ч о ! дт 4.43.

Р ) — Н;х)-и1 — е ", О~,х(ВВ. 4.»11. 0,265. 4.47. а), б) Сходится. 4.48. Равенство ворса. 4,49. 6) М$ = 1,'2, 0$ =- 7/44. 4, 50. 6) Мф = 1/3, 0$ = 1/18. 4.53. а) 7, — распределение с 1 степенью свободы. 6)»!и (г) 2 и (г — р), Вп (г) = 2 (р — г) )с и !с (1 — р). 1 — р !-1- ° / 4.54. а) 2Ф ()ссх) б) В„(р) = !п — ~ — ! У „(, ,) 4.55. Условия в). 4.56. а) Любое соотношение может выпал ннтьсн.

5) т = т . 4.57. а) М» (М; б) о" » (ог . 4,58. а) ех!' 1!! б) р/(1 — дг); В)(рг-)-Е)". 4.59и Ср(г)=(рг+Ч)" М$П = Пр, МВВ!2!=и!А!РА об„про, где д = 1 — р. 4.60. В) м5= ф'(Ц, 0$ =- сра(1) — ср' (1) (сР' (1) — 1), М (1 — МЕ) =- фи (1) -с- ЗсРВ (1) (1 — ср' (1)) -!- + Ч'(1!(2ф'(!) — 1) (ф'(1) — 1); б) ф ( ) =. Р('),сг), Р 00 = сР(,2), ср (г) = ср(1/г), ф (г) ф(г) ср(1/г), 1 О» Рг /с 4.61. Мт = —, От —, Мг 1- —. 4.62. 1) —, — —, о ' 1 рг 1 — дг !с р 4.64. Р(»)=!)=-С~ тр Ч с т=ис +те+те, ! Вт. 165. а) гхр!» 1! 6) ),р )р 4.66.

а) 2 и Е распределены по закону Пуассона с парамет- рами 3(1 — р ) и Х (1 — р ) соответственно; б) М$ = ОВ 1 Ч1 р ), М$ = Оа 1,(1 — р ), сот (гр г )= О; случайные ве- личины а и Е аависимы. 1 4.68 а) (р г + ... + р 2 )и; б) п(А!р',с, п!А+ПРАР1 (1 ФП р, (р, -с- р,) (Оид' и2) !В/ (1 р) (1 р р) Р,— (Р, +Р.)(РВ+Р) Р(аи,с Ьи,г)— У" (! + у 2) (1 — р — р,) (р, ! р,) (1 — р,— «,) 295 4.70. а) ехр ()» (р с, + ... + рявы — 1))! ы / (! /».)ь 6) П ~! — 4) в (1 з)), 4.71> «/7 = и> 6/7 ) г ~ 1 — а»», 6/7 — 4/, где О~~а(~1, 04»» и.

1. 4Л2» 7 (в'4), 4.73. а) ехр (ь(вп — !))) 6) (рв»»+ д)и; в) 4.74. (и+ 4 — 1)! .! «Ь. 4.75. Мв»»! г (! (»)), Мв! г (»р(в)), 1 4.76. а) Р($4) = М- (4+1) Р($ />+Ц, /4~0, 1, „, 1 б) Р ($ /4) = -Щ- Р ($ ~ 4), 4 О, 1, ... в) $ $ + ... + $„, где $Я $..., неаависимм н распределены так же, кан $, а т не зависит от $., $,.„и Р (т 4) (1 «) «ь, 4.= О, 1, ...; г) »р(з) — проивводящая функция тогда и только тогда, когда $ ц»+... + Ч„где П», »)> ° .. независимы и одинаково распреде вены, а т не зависит от»)», в) з, * .. и имеет распределение Пуассона! д) то же, что в п.

в), но Р(т 4) )/Т вЂ” ««а2 з~С"а, 4~ О, 1, ... 4.77. и + ... + и и, р. ~ ... > р р. А-1 4.78. б) 4 ! ~чЗ~ /(2п//4) в зи»~//а. 4.79 17/27, 1/9, 4.82. Р(Ри> би)<~(1, ()) ( ~-) ) > Р~йв Р (ри аи/2))((2УР(1-р))"> РО 1/2.' 4.84. Р/ (») + (1 — р) /, (»). в»»в — 1 4,87. а) — '...

«, О), 1 «-О)! 6) 1 — сов (2 чь О), 1 (» 0)! и) с »4/з», 1 а(2) ((»(в а г), 0 ((2()«!). 4.88. Мт! 0 прв 2йо <1, Мц не определено при 2йоз) 1! 45 з 1 — 4ьо~)в/з 4.89. Явлвется. 4.90, Является. 4.91. а),'б) Является. 4.92. Не саедует. 4.93. Изменится. 495. Равенство верво, если М»$( ( во. 4.98> а), в), е), з) Явлвютгя; б), г), д), ж) не являются, 4.99. а) О, аз/3; б) О, 7/6; в) 1, 1/6; г) О, а (1 + 2 ')/»и)/4! 6 0 4.100, а) 1-в " (а)0)» 1 — 24»! 1 (»и и П»», »»443~7Г * !»»4»), !Х') = г(в+ 2) ... (г+ 24 — 2).

4.»»». „- —,»В;- "'"' ', » 4»»'„.» 4» — »». (1 — »/)" П+»! 4,!02. Нормальное распределение, М$ (а, с), О$ (с, /)4). 4ЛОЗ. Многомерное нормальное распределение в В с век»оран математических ожиданий Са и матрнцей коварнаций СВСт, где ч — ввак транспоннровапня. /у!ь! (С»)" Сч <ы — л)в 4.!!4. М(Р»(, М, в))(ь)- . Функция /,(и)— С", мр» (и, У, в) прн любом» = О, 1, ..., в имеет единственный ыакснмум в точке и = /)/» и монотонна слева и справа от и ° о е При $)иксировавных» и в , »'(.-»)'-' Ню — гпах !» (и) С» я-»> /! и в' С 4 1154 и ) ( 1) Сй ) (Св) и» а 4Л17„Мр„(л, /У) - С,", (/У - 1)"-" /У-"+' Р') 4.119. Распределений произведения $»$„где сяучайные велнчн- ны $) и $> невависимы и имеют распределение Пуассона с парамет- ром Х, 4ЛЗ). и~ 790. 4.121.