А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей, страница 51

= 2 к+)1 ° 2 а' с =01(1 — 0), если 0> 1, то к* =(0 — 1)/01» 1, /=0,1, ... Глава В 6Л. Ме = а; е — состоятельная оценка а . 6.2. М)п, = а„, 2 2. 2 2 а 2 и и 0»п — = °, 6.3. а = г саха, где еа— - ас, /(о +.„ и п и 1 А 21 ... +а 2).

6.4, Является. 6.5. 6)(х), 6.7. р» =Ри/и. В.в. ~р - ' Р ), с + ~/ Р Н ) ~ и п р» = р /и, 1 Ф(иа) = а, 6.12» Х» — р х, оцевка состоательи А 1 кан И НЕСМЕЩЕННая! М)Ь» )» 0)ь» А/и и )-1 6Л3» )ь — Г ха ° М = О 1 1 1 ) л А 1 Г» Ь пХ 6.14. и) а» а, Ь» Ь, с» = с, где а, Ь, с — средние араб)мет)»- ВЕСКИЕ ПО СООтВЕтетВУЮЩИМ ВЫбОРКаМ; Ма» = а, МЬ» = Ь Мс» 1 1 Оа»= — оа ОЬ»= — ае Ое» вЂ” ое п а» и ь) и е) б) а»» а+ (с — а — $) /»2, Ь»» = Ь+(е-а — Ь) /»2, с»» е + (е а Р) /с2») где Ье с а% Аь оь%2 /се ое/)оа) „2 — о~~+ ать+ ~ф ма»» = а, мь»» = ь, мс*» е, Оа»» о' 2 ае 6.15» а)е б) ໠— — ໠— — ( ~~~ У»»~) и; в) Ма,". = а», Оа» о1/)л, и ВЛ6. а) а = — т 72 ~(ГŠ— РАГ ) у~~О + (à — РАГЕ) р»2А»1, ° 1 %2 Ае»1 где 7А — — 1/с(1 — Рта), Ге — — ~~р ~71, Г ~ РА72, /2 Га — Ге) 2-1 ' А 1 и 2-1 ) )) ) =(х фх'— и /и )-1 1 р„ 6.18.

а) а, ) ... ) / (х) )Сх ... »»х — а и (" а б) А*1= )' (/($») — Ч )2 ,,е' Ь* 7 и о 6.19. с =, С = 1, 2; ОА* = 72ае + $ — 2 2 ' ' 2 — 2 2' О1 ) 2 и аа 303 6.20. а) а = (х + а + (1 + р) еа)((3+ р). 0с = Л + р)/(3 + р)1 '. б) а=(а +в,)(2, Ос =О; в) а= т с, +с,с + 2 ха, с, +с 7 1 - — > 0с 1/2. 2 / и 6.21. а) А„= ~~ уст< Хт;. 6)МА" — А РА" от/ти.

т-1 6.22. а) А„" = У Утт, ~ЧР~ хт -"=(-'И ') -- -=-" и т т т 1 /и ~-т >< ( ~Р хт ' где л=п +п +...'+л„, у = (у,. +...-(-у. )/ 1 ..., >т). 6.24, См. ответ к эалаче 6,23. 6.25. р, р(1 — р)!и. 1 >у — п 6.26. р, — р (1 — р) ~— 1 . 6.27, а) 1 — 7; б) 1. 628. Мт>и = 1(>7, Рт>и 2~(о~//~)+ 0(1>>7 )т лl>7-»итм(О, се), К-» ее, 6.29.

Ма» а+ (Ь вЂ” а)7(п+ 1), МЬ*=Ь вЂ” (Ь вЂ” а)>(п+1)т Ра»»» (Ь вЂ” а)тл 1 ОЬ» = сот(а*, Ь") = — Оа". (п -Р 1)т (л ~- 2) ' и 6.30. Мх< >' 1/(ип), Рх< > — — 1((ил)», Ма<и> — — ~, 0х > 1чит 1 й 1 .1%т 1 1 — — сот(х< >, х<и>) ала >а и т а 6.31. а) МО = МОт —— (а+ Ь)>2, 00 (Ь вЂ” а) /(12п), 00» ,( +,)( +,)1 б) МО,'=„—, 00,*= —,, МО,*= — 2„~1+-2+... ... + — + — 1>, 00' - — Р+ — + — + ... + — ) ., л — 1 л/' а 4и~ ( 2а 3 (л — 1) 4) 1 6.32. Является; Мс» = с, 0с» = — т.

6,33. Ма 1 м, Ма» =т л 1,0833 м, у' М (а — а)т = 1 м, у' М (໠— а)а =О 8706 м 6.34. 6) М(1д — 1)т ~ ~чр~ с~о<а+~ ~>т с,О<~; М(1, — 1)т( т-т < Ь'+1 < М (1 1)т, если о„ ) О„. / и >т 6,37. т>и — — ~ ~~ хе)~л, 6.38т т>и~ ~ 4а()в (Р), /р>, )), йт и-т тде Π— число велвчвв хр равнык Ь. 6.39. а) С=па +и„о (/л> б) иао +и о =(а а ) )/тт в) О, 1 6.40. ат» е тт а =)е т т>х, 1 -та<и> е 6.41. а) )т» т„/л; б) Х, )„т/„, а3 ОЛЗ, а) —, 0 б) является„ а+ 3' ТАБЛИЦЫ Нормальное распределение Tаблица 1. Значенвя фувкцив Ф 1а) Сотыт лали а ~ е Сотые воля З,О ?аелица 2.

Значении фуккцвя и, Фуокцяя и овределяется равенством ц = = а " ) За а — УЗя ~ 0,035 а ~ 0,030 0,040 0,045 0,050 о 0,001 0,005 0,0!С 0,0! 0,020 0,025 и ~ 1,8808 1,8119 1,7507 1,6954 1,6449 иа ~ 3,0902 2,5758 2,3263 2,170! 2,0537 1,9600 20а 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 З,О 0,0000 398 793 О,Н79 554 915 0,2257 580 881 0,3159 413 643 849 0,4032 192 332 452 554 641 713 0,4772 821 861 893 918 938 953 965 974 981 987 0,0040 438 832 0,1217 591 950 0,2291 611 910 0,3186 437 665 869 0,4049 207 345 463 564 649 719 0,4778 826 864 896 920 940 955 966 975 982 987 0,0080 478 871 0,1255 628 985 0,2324 642 939 0,3212 461 686 888 0,4066 222 357 474 573 656 ?26 0,4783 830 868 898 922 941 956 967 976 982 987 0,0120 517 910 0,1293 664 0,2019 357 673 967 0,3238 485 708 907 0,4082 236 370 484 582 664 732 0,478'8 834 871 901 925 943 957 968 977 983 988 0,0160 557 948 0,1331 700 0,2054 389 703 995 0,3264 508 729 925 0,4099 251 382 405 591 671 738 0,4?93 838 875 904 927 945 959 969 977 984 988 0,0200 596 987 0,1368 736 0,2088 422 734 0,3023 289 531 749 944 О 4!15 265 394 505 т99 678 744 0,4798 842 878 906 929 940 960 9?0 978 984 989 0,0239 636 0,1026 406 772 0,2123 451 764 0,3051 315 554 7?О 962 0,4131 279 406 515 698 686 750 0,4803 846 881 909 931 948 961 971 979 985 989 0,0279 675 0,1064 443 808 0,2)57 486 794 0,3078 340 577 790 980 0,4147 292 4!8 525 616 693 756 0,4808 850 884 9Н 932 949 962 972 979 985 989 0,0319 714 0,1103 480 844 0,2100 517 823 0,3106 365 599 810 997 0,4162 306 429 535 625 699 761 0,4812 854 887 913 934 951 963 973 980 985 990 О,О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 13) 1,7 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 -2',?.

2,8 2,9 Распределение Стьюдента Распределение Пуассона Таблица 3. Знвчеиия функции рв12 )= — е И 0,2 од о,з О,Ь 0,8 0,74082 0,22225 0,03334 0,00333 0,00025 0,00002 0,90484 0,81873 0,16375 0,01638 0,00109 0,00006 0,67032 0,26813 0,05363 0,00715 0,00072 0,00006 0,60653 0,30327 0,07582 0,01264 0,00158 0,00016 0,00001 0,09048 0,00452 0,00015 0,01 0,02 о,оь Одо 0,0 0,7 0,8 0,9 0,54881 0,32929 0,09879 0,0!976 0,00296 0,00036 0,00004 0,49659 0,34761 0,12166 0,02839 0,00497 0,00070 0,00008 0,00001 0,44933 0,35946 0,14379 0,03834 0,00767 0,00123 0,00016 0,00002 0,40657 0,36591 0,16466 0,04940 0,01112 0,00200 0,00030 0,00004 4,032 3,365 2,571 2,015 3,707 3,143 1,943 2,447 2,998 1,895 2,365 2,896 12860 Ь,О цо 2,0 Ь,О 3,250 2,821 1,833 0,36788 0,36788 0,18394 0,06131 0,01533 0,00307 0,00051 0,00007 О,ОООО1 2,764 10 1,812 8,055 2,179 2,681 1,782 12 14 8,977 2,145 2,624 1,761 2,921 2,120 2 583 1,746 16 2,878 2,101 1,734 2 845 2,086 2,528 1,725 20 22 2,819 2,508 1,717 2,457 2,042 1,607 30 1,960 2,326 1,645 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 0,13534 0,27067 0,27067 0,18045 0,09022 0,03609 0,01203 0,00344 0,00086 0,00019 0,00004 0,00001 0,04979 0,14936 0,22404 0,22404 0,16803 0,10082 0,05041 0,02160 0,00810 0,00270 0,00081 0,00022 0,00006 О,ОООО1 0,01832 0,07326 0,14653 0,19537 0,19537 0,15629 0,10419 0,05954 0,02977 0,01323 0,00529 0,00193 0,00064 0,00020 0,00006 0,00002 0,00674 0,03369 0,08422 0,14037 0,17547 0,17547 0,14622 0,10445 0,06528 0,03627 0,01813 0,00824 0,00343 0,00132 0,00047 0,00016 0,00005 0,00001 Таблица 4.

Зивчения функциа то„ СРункцпя т„„определяется рввенствои Р(т„~ Ьп л ) = а, тле СЛУЧайНаЯ ВЕЛНЧННВ тв ППЕЕт РВСПРЕДЕЛЕППЕ СтЬЮДЕНто С и Столвьппш свободы. Плотность рвспределеппя т„ревев ?!'-распределение Случайные числа Табанил $. Влечения функции Кое !руиицин й~~ определяется равенством Р~Х '~Х ) а, гдв ваучайная величина Хт имеет та-распределение в ми свободы, Плотность распределения ?!вам равпа ш степеия 09 37 54 99 ~0 12 80 52 $~~ 73 20 26 79 25 48 25 99 33 05 53 29 70 67 80 20 31 03 76 64 19 09 80 35 42 93 07 61 86 96 03 15 47 34 24 23 38 64 35 52 90 13 23 48 40 25 И 66 76 37 00 65 53 64 50 37 67 15 73 т в 1 — 1 ;, ?в?=,„, ' ° ', >а хм Г ~-™~-) Зы?а 45 65 06 59 ЗЗ 80 95 20 63 15 95 88 67 98 95 90 61 33 67 17 02 64 97 77 06 06 26 57 79 47 08 ?В 91 04 47 43 68 39 00 35 04 12 29 27 82 29 08 03 43 62 17 17 49 16 36 76 68 66 31 85 63 73 17 05 02 ЗЗ 64 35 53 е,вв е,оа е,о! 70 14 18 48 82 65 86 73 28 60 09 73 ЗО 34 66 57 55 35 80 83 50 06 92 48 78 98 74 52 87 03 85 39 47 09 44 8! 79 05 46 93 34 07 45 57 02 05 05 32 ОЗ 52 27 18 16 54 96 68 24 56 70 47 36 35 68 90 35 61 26 48 75 42 33 90 38 82 52 70 32 79 24 35 98 И 83 88 99 52 01 ЗО 50 45 29 68 54 59 46 92 30 38 12 38 И 19 23 40 18 62 83 49 35 27 91 07 85 56 84 67 31 34 00 48 14 39 06 86 87.

90 ЗО 28 50 51 56 82 89 76 86 77 80 84 49 77 54 06 02 73 07 32 83 О! 69 58 48 78 51 28 97 Щ) 40 52 47 54 36 47 78 56 50 77 71 60 47 05 82 00 79 89 94 56 6? 66 60 60 29 18 90 93 50 52 68 29 23 22 10 50 72 13 74 36 76 91 82 34 42 06 64 13 ЗЗ 01 10 оз 68 07 56 17 91 83 98 51 17 62 13 39 78 78 !О 41 74 35 17 ОЗ 05 65 48 80 12 74 35 69 91 ОО 89 46 85 72 70 40 27 25 22 22 56 04 31 23 93 42 И 43 09 02 32 76 56 98 68 05 17 17 77 66 14 09 80 72 91 85 50 15 14 48 14 58 45 43 36 46 69 23 02 72 67 77 82 60 68 75 74 74 10 03 88 95 57 16 И 77 86 53 37 90 22 40 14 94 21 81 38 55 28 60 40 05 38 21 44 63 55 18 98 49 33 10 55 60 45 45 19 37 ОЗ 73 ОЗ 21 И 45 52 76 62 96 29 71 82 42 39 88 65 37 26 64 45 9! 80 44 12 ВЗ 91 69 48 07 64 23 98 49 42 29 92 ОЗ 74 00 53 86 58 54 40 84 48 70 32 12 40 54 35 75 14 60 64 65 68 47 26 94 85 15 И 10 16 50 76 68 79 20 44 16 28 29 73 97 92 86 07 21 95 35 41 94 .

53 57 96 43 08 ОЗ 04 48 17 99 33 08 94 70 23 40 81 39 82 65 75 46 97 25 . 63 310 ЗИ 1 2 В 4 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15 16 !7 !8 !9 20 21 22 23 24 25 2,7 4,6 7,8 9,2 10,6 12,0 13,4 14,7 16,0 17,3 18,5 19,8 21,1 22,3 23,5 24,8 26,0 27,2 28,4 29,6 30,8 32,0 33,2 34,4 3,8 6,0 7,8 9,5 И,1 12,6 14,1 15,5 16,9 18,3 19,7 21,0 22,4 23,7 25,0 26,3 27,6 28,9 30,1 31,4 32,7 33,9 35,2 36,4 37,7 5,4 7,8 9,8 И,7 13,4 15,0 16,6 18,2 19,7 21,2 22,6 24,1 25,5 26,9 28,3 29,6 31,0 32,3 33,7. 35,0 36,3 37,7 39,0 40,3 41,6 6,6 9,2 И,З 13,3 15,1 16,8 18,5 20,1 21,7 23,2 24,7 26,2 27,7 29,1 ЗО,В 82,0 83,4 34,8 36,2 37,6 38,9 40,3 41,6 43,0 44,3 $ 12,8 14,9 16,3 18,6 20,3 21,9 23,6 25,2 '~й!х 26 ,8 .''й* 7! 28,3 29,8 31 32,5 34 35,5 37 38,5 41,5 42,5 44,0 45,5 47 Таблоча 6. Равномерно распределенные случайные числа Приведенные в таблнцо цифры можно рассматривать нан роаливапин яевависимых случайных величин, принимающих аначення 0,1...,, 9 с одной л той же вероятностью, равной 0,1.