А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей, страница 48

1/ (/7 (/63'» 3.17. а) ~ ~ф б) О. 3.18. 1 — †(14 агссб — — †11,7114... 3 4./ 3.19. 1 — 2х (0(х(7,). 1 е 3.20..а) С= 1; б) »4 (х) = рд (х) = х + 2 (О ( х ( 1); в) Зх 1 41 (О < х < 1). 321. 4х с (а~в(). 322. р„(х) = /(х), ре(х) = д(х). 3.2е3. (в, )=, ° 0(»и»~о, 3 24; д(г, ср) = тр(тсое ср) р(та1в с»), т>0, Оя, ср(2я. 3.25. 1 — е 1 = 0,6321 ... 3.26.

а) — ~1-~ — — 1~) (О~ля;2а), 0 (хФ(0,2а!)С аа й б) — ~1 — ~ — ~)(1х)Я;а), 0((х(>а); в) — с»п — (0(х (а )с О (хф(0, а )), г) 1/2 (0(х(1), 1/(2х ) (а~1), 0 (х(0). 1 3.27. а) ха " (х>0)' б) 2 е схс ( — оо(х(оо), в) е (х,я 0); г) — (х > О), 1+х 3.28. 2 пяв ~1, 2 — )х — 2 ~) (О.~а~(З); 0 (х ф (О, 3)). 3.29.

1 — а " (0(а~1); е сх 1» — а " (1(х). 3.30. а) 1 — (1 — х( при 0(х(2, 0 в остальных точвалс (3 — х) б) 2 при 0(х~(1, 4 (я 2! при 1я хс 2, 2 яри 2~хи;3, 0 в остальных елучаяя. Вероятность Р(0,5ь,$ +$е+ 23 + с < 2,5» = д = 0,95833 ... 3.32. а) рд +4 (х) = я~хе са' (х > 0); б) Р ($ + 3 гп» =0 8.33. а) осло авх (х~е) б) лп -о (! -ах)сс-г Ло+6 отВ- «6+1,(') ! ( Р (х~О). 3.35, Гамма-рвсн«одоление с параметрамв (йо я + . ° . + а ). 3.36.

[) ( е рх (х> О). 3.37 ° л — 1)! (1+ (1 — 2х О(. !О, Ц). [) 3.38. (л — 1) (1 — х)" з (0<в~(), 3.39. Рй + (х) = 1/2 (х ав [О, 2)). Рйг+Ф,' = ЗА1. Р($ =/с) =0,1 (Оч,й~~е), Р($ ~0) 0„55, Р($ =1) = 0,45. Случайпыо величины $ и $ завпслмы.

.з 3.42, Заввспмы. 3.43. рй 1 (х, «) 1/[2л )/1 — х — « / ~(' с (х +«'~1)! р (х) = 1/2 ((х!. 1). 3.44. Рй(х) = 2 созх (. -) л[ 1 1 )х[~ — /ь 3.45. — + — — ~. ЗА6. а) 1/2; б) 2йо '~'(1)0) /' ' 2(2л+1) ' в) 1/2. 3.47. Р(А() л(/и, с = 1, 2, 3. ( = г (т =/)=Е р, !~1.

Случайвые велнчипы веза- впслмы. 3.50. а) зависимы; б), в), г) пезависамы. /1 сл-с 1 35[с Р(Е=(, т=л) ~З~ ° 6(!=1,2,3,4; л=1,2...,). Случайные велпчппы т в Е пезависвмы. б) Р(тз =(з, ..., тас =!л) =ПР(тй=!й)! Р(тьоо!й)ох =( — ! '~-=! )( -г/ ь-3 й-1) й '/ й — 1[ — — — !. Велпчсспы независимы. в) Р (Е = ( г = (, ..., Е, = с с) = 1/сгс[, если (, ..., (и разлпчпы. (е' сз злз.

Р(е,= „е,=(„..., е„= „)=р — '' — ' зооа" П вЂ” П= с,[ р,'1 — р.-р с( (и р(п т 1 — Р( — ° ° ° — р( с~ч-с 3.54. а) М(Л( — М)(ь)//У(й+г); б) й/(з! ((7 — И)(й+"/Д'(й+'+з)! '4'- ~ в) 31(()у — М)!/р/(, если й (-й -(- ... (-й + — — дс — М, и 0 в противном случае. 855 Р(х~ «.)-Р(х, «,) — Р(х, «,)+Р(х, «,) 3.56. 1 — [/2/2оо0,29289... 3.66. а) Рй (х) = 1 — (1 — Р(х))"(:,",6 1(0 б) Рй (х) =Р" (х); в) Рй 1 (х, х ) =Р" (х ) — (Р(х ) — Р(х ))в, ~ хв, л! З.61, а) [ л Р"-' (х) [1-Р[в))м-™ Р( )! (й — 1)((вс — й — 1)((л — сл)! ( сс [ ' з) Рь-!с ), Рс Р(х)! -ь-гх Х(1 — Р(х,))в Р(,) Р(*,) (х ~хз). 362.

1/(й+ 1) во всех случаях. 3 63. л! р[хс)р(хх) ...р(хо), ос- ли х, вЗ хс ~... ~ х„, а 0 в остальных случавх. 3.67. 1 — П (( — ь ). о з 3.72. 4( ~ Рф — 2~~ Г)(~4!(1 — Ф), 0~1~1/2. 3.73. Р с(1 — 1/72) ~ всг <Р с(1/г~), где Р с[«) = зпр(х: Р(х) ( «), 3.75. 0; 6/5. 376. 2. 3 77. М$ 3/2; Мс! 3/4,' 0$ = 3/4; 0сг .== 3/80. Ч 78. а) М$0$ )(, М$(с! = йь; б) М$ лр, 0$ лр«о М$(ьг л(о(рй 7 11 3.79. М$(= 12, 0$( — — 1(4((=1, 2), сот(с,, о$ ) = — 14(, 3.80.

М$с О, 0$с = 1/2 (! ~ 1, 2), сот($с, $с) = О. 381. Мг)с Мдс= сот(г)с, г(с) = 0; случайные величины зависимы. 3.82. а) М з!и $ М сов $0, 0 з(в $ = 0 соз $1/2; б) М з!пзь+т $ = М созз"+' $ = О, М з!пзй $ = М соз'" $ (2/с)! — — прп й-о оо. (2ьй!) [/лй 2 1 4 3.83. а) М в1п$ — = 0,6366 ..., 0 з(п$= 2 — — з — 0,0947...! М соз $ = О, 0 соз $ = 1/2; (2йй!) 2 1 б) Мз!пай+'$оо — ' — »= при /с- о, остальпыв (2й+1)! я 1/„й моменты те лсе, что в задаче 3.82.

3.84. 4/3. 3.85. 1 — (1+ и) "с прв сс ) — 1; — оо при и ~ — 1. 3.86. М$2В/3, 0$ Лс/18. 1 3.87, а) 1; б) — 1; в) 4 [/15 = 0,9082...; г) 0; д) 8 — л о 0,91827 ... 9л — 32 3.88. а) 2 = — 0,300137 ...; 5) — 1/2. 3.89. р((х) Опз — 64 ((+/с — 1)00 ((л — (+ () ! С со х ( 1 х ) с $ ( с ! / ) ( й ) $ ( 0 ( + 1 ) 3 ( + с ) ! (л — ! + 1) 3.90.

Если 1 ~ ! с / о~ л, то сот ($(0, $(0) )з з/ с (л — /+1) Р($(0 $(/>)= )с 1) и Р($(0 $(В) и — !+ 1) '"17"- + 1"' 287 3.93. Равенство неверно, 8,94. ге)яМзтД -оо, н>ахмзя» /100( ° + ее. 8.95. О 1 0 во всех случаях, 3.96. а), г), а) могут, 0 0 1 встахы>ые-не могут. 3.97. а) лен ( — 1/2, 1]; б) лен (-1> $/2] ° 8.$00.

а) М» а т + т + „, + т„, 04 ~~Д~ ог»$ б) МЧ °,> 1 (т, а), О>! аоа", в) т -(- те, т — те, ат+ Ьте! о+ ое, 'г+ с'е> аао+ Ьсое. ЗЛО2. Мол ~ О, ОЯл — — и/2, 3.103. М/»нна о, О/гл = 1, п е2. 3.!04. и/3.3105. 0>»л (Ип — !»И80, н0]ф — 4 ]=л/18. ЗЛ06. МЕ па, М»„лра> ОГ пов> О~ яр(ос+ а~с), сот (»т>»„) пров, 3.$07. М» 1/л. ЗЛ08. М»О» 0 (! = 1, 2, 3, 4), Оф» = 2лое 0»п$е» 2о, 0»$>»=п(л+1) ', О»'„е» =О. З.Ы9> Мфл(>» ло, 0»л$1»= лое (С 1,2,3,4). З.ИО> М»>0 я/4 (!~$>2>3>4)> Оф»м 7я/144, 0»$п> (13и- 6)/144> 0»т(е» л (Зле+ 4п)/144, Ог(е» 13п/$44.

Зли. Мф» ' (! 1,2,3,4), о»(„'» ох(ох+за'), о»'„" ов(и(ов+4а~) 2а ], 0»~<» ~по (пав+о +а), 0~~ = ос( в+4 '). ЗЛ$2. МУ„МТ„=О, Оу„иов, 01п оси(1+ Ь ) З.ИЗ. МО, 1/г> с~!; 00 =1 1 З.И4, ~ (М вЂ” М>)(п»/М(п»> где М=Мг+ ° ° ° +Ми, й 1 З.И5. Мз = л — > 02 = л — 1 З.И6. Мр (л, >у) К($ — ) д>е а($+ е(1)),Оде(и,М у(е»(1 2 )я+д>~1 1 ) (1 д> ~1 1 )") д> -а (! (1 + а) е а) (1+ о (1)), л/Д> -> а, Д» - оо.

ЗЛ17 Мр (, д>) ~11 ) )уа (1 + о (1)) )у> г! в чг/- ->-а, >>/-» оо, 8 1 18 Мр 1 3629 />ф л 8 0975 ° Мр 3 3791 > Мр 0,0336... л > > Ф 1 З.И9, МР> />/Си+и->-в/СН+н „!.»Зде» (>>'+ л — 1) !".+>! >+1' (а+1)" 3,$20. а) ир ! 6) нр»($ — Р>); я) пр>РР я '3 $2!. >,) '~'(1 — р!)"> 6)~~~~Сдр!(1 — Р/)" "! ) ~ =М) > >-> в-> й-> 3.122, мт = /у у =7, Оса Д>,~е — Р> ~Б 1 чач 1 ~~ (д г) (1 + , (!)) $7 ! Д', Д> ч а1 г 1'"а 3.123. у ,'«~ (Ь вЂ” )С" ~($--у) й >+1 3 124 155 3,125. МР =(и — 1) С > Ор с РС (п — 1+ 1 Х ЬС (З~ 5)»; Мр =( — !) о~, Орс = ( — 1) Рт ($+ О) 3.126.

Мр (л — 2) ре, Ор 11= Р С(л — 2+ (Зи 8) Р+ 2 („зл 16) р ) Мр ( — 2) р, Ор (и — 2) р $(1+ Р+ Р ). ЗЛ27. а) >»н! 6) У ( Ь+ $) р О = (ис (9 Р) (7 — р)' р(п,л)) н р ю,о,рЭ 2 "нри р=ц=1/2; в) яру+Р! г) рд (1 — Зрд). 2р ЗЛ28. МЗ = я.

3.129. !+в ( 3 1"+1~ 1 в> ЗЛ43. а) М>»а 1/п; б) р(>»в» »») = — 1/(п — 1) (й чь Е)! и) р (>»1 + " + Ч т >» $ + ° ° ° + >»») = с> —, 1 < Ь < ! « Г»( — !) ЗЛ44. ()У+ И/(М+ 1) (!=$, ..., М), (У вЂ” М)/(М+1) К=М ] 1). 3.146; (о — о,)с. 0(е+>») ~(о +о )с. ЗЛ60. х"/л!. 3,161. е ° 2,71828... 3.162. еа 1/()>о~а), где»> (1/ое) + „.

+ (1/ое); $>1„=1/».. 3.163. а) 099780.„6) 098168... в) 1; г) 8/9 0 8888..., д) О,91ЗОЗ... 3.164. МЛ О, Ол =Мбе ! о>". ЗЛ66. ММ ~ О М сов 3 ) О. 3. !67. п>ах (Р, 1 — р). 3.168. 6) $/(рд). 3. $69. 6) $/(ро). 3.170. п(р[(1 — (1,)(1 — рс)а — (1 — (1 — 8.)(1 — 3 ))е]- — д]а а Ь+ (1 — с> а ) е]). 3.171. Координата Ь точки  — медиана раснредеяенля т. е. Р (4 .:; Ь) = Р (3 > Ь) = 1/2.

3.!72. х — медиана 4, у — медиана гв т. е. Р(З «х) = Р(З > х) Р(я «у) - Р(>» л- у) — $/2 19 а, и. агсвов в лр. 3.!73. ш!пм Я вЂ” х) =От; минимум достигается при х= Ме. г х 3.!?4. А=мй. 3.175. а) г =Р,(! — ) Р (0,99); б) г=р ((1 — а))/~) = Р, (0,9999), где Р (и) = зор (х: Р (х) < и) — функция, обрат- ная к Р (х). 3176. Мтт= оо, Р(сс «<и) = и/(и+ 7), Р(т оос~ 10) 1/!! 3 183. а), 6) Любое число вз (О, Ц; в) лсобое число из [О, а[ ори а<1; любое число нз ((а — Ц/а, 1[ прп а«1. 3.!85.

1/3~ «< М[ «<2/3. Е с!а) 3.!86. ар (а) — ) Р (х) с/х ~ М$Х ~ ар (1 — а) + (1 — Р(х)) ссх, где Р (у) = зкр (х: Р(х) <«у); микп- à — )!)-о) мальное аначсние МЦХ достигается при (Х = Ц = (ч<«Р (е)/, а максимальное — прн (Х = Ц = (ел>Р ) (1 — о)/. 3 187. — — Р [ ! — —. [с 2Р) < м( < — + Р ~ 1 — — УЗР ) ! 2 экстремальные значения достигаются при (Х = Ц Я вЂ” с) < — 1-[ + [с2р) и (Х = Ц = ($ — с) ) 1 — [сс2Р)с 3.188. а), 6) Да.

3.!89. а) р/(1+9); б), в) у/2 (1+ 1); г) 2(1+ д) рд» з (1— — О~ )) (Ь)~ 2); д) 2(1+ у) ранг(» !) (Ь)~ Ц; е) (1+1) руд» (Ус) Ц; ж) 1/(! — Ц (Ь= 1, ..., ! — Ц; з) !/2. 3.!90. а) РЯ=/с)=р(1 — р)» з! 6)РЯ=Ь)=~! — — 1Х 1 — с/ Хс/ е 1; в) РЯ=/с)= г е" (1=0,1, ...). 1 3.19!. а) — (х ез [О, г[), 0 (х сй [О, г[); 6) 1/г [0~ х~ г), если 0 < з <«1, 1/(2 — г) (г — 1 <х с~ Ц, если 1<«г<2; в) ох(л — х)/г [О~х~л).

3.192, а) гз/12; 6) гг/12 при Ос~г~[', (2 — г) /12 при 1 ~ г~ < 2; в) гз/20, 3.!93. МЯ)$+)) =г) =г/2, если Р(5+с) г))0 или нлот- ность РЬ+ (г) >О. 3.!94. (1 — (г/2)) )(О~и<1 — (г/2)) и 0(хФ [О, 1 — (г/2)[), если 0 < г < 2. 3.197.

а) Сир»™(1 — р») —, 6) ирм где р»вЂ” (л,+ ... рл„) (л,+ ... +лн) 3.!98. Р Я =, ) СммСяс ДС"Д. 3.!99. Стандартное нормальное распределение. З.ЗОО. Р(5,< л 5, =.,[5 =г<~)п(ею ЬЦ= Р(,) Р( г), где Р[х) = 0 при х«<г, Р(х) =- ш!и ((х — г)/(а — л), Ц при х) г. 3.20!. 1+1/2+ ...

+1/и. З.М2. Мт = аЬ, От без+о 6 . 32ОЗ, 6) М~»=0%»/ Ь) в) Р(Л»- [Ч» с= )=х(! — )" ', 1 (5»[с)» д — х)= —, 0(б»[Ч» !=и~=(1 х)/х'. г) Мт =1, Мт =оо, »~2. 3.208. Мт = (1+ д)/д, Мтоо 6 при Р = 1/2. ое 3.209. Мт .. = (1 + Р + Р )/Р, Мт д — — 14 при Р = Ц2. 3.210. Мтм — — 1/(Ру), Мче, = 4 пуи Р = 1/2. 3.211. их" !. 3.212. 1 — и2! ". 3.2!3. Мт = 5, От = 4. 3.2!4.

1 — из "+т. 3.2!э. Р($ ) х) =(1 — хД2пг))" ) (О <х<2пг), М$= 2пг/и, 0$ = 4п г (и — Ц/и (и+ Ц. 3.2!6. Р(ф ~х, $ ) у)=[! — ((х+ у)/(2пг))[" ', О~х, у, х+ + у< 2иг; р= — 1Ди — Ц. ... +ей )и — т 1и-! 2иг/ ~0, х. +... +х < 2пг. 3.219. Мт=- и ~! — ' 5 ')и — ! = ие»с (1 + о (Ц), )тт = с"о ~1 — — ! ) мт (м,)г пг = - " [! — И+ Лзбз) е-'о[ Я+ о (!и. Ь 3.220. Р(П <х~-У ( — Ц»С»(! — "*[ ', .д.