Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы)

А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы), страница 69

DJVU-файл А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы), страница 69 Теория вероятностей и математическая статистика (2652): Книга - 3 семестрА.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы): Теория вероятност2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков - Задачи по теории вероятностей (основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 69 - страница

Следователь)й по, Т пе эргоднчно. 10А88, Необходимость. Пусть А — любое множество из С. Положим В = (а: $(ы) щ А). Тогда Т-'В = (нн Ты а В» = (ок $(Та) щА» = В () !у, где Р(В) = О. Следовательно, Р(В Л Т-'В) = О. Отсюда В щ С. Достаточность. Пусть А яС. Тогда В = (он й(ы) я А) е С. Таь как Т 'В = (сн Е(Ты) аА), то Р((ь(ю) щА) гх (ь(Ты) щА)) =О. Следовательно, Р(Е(ю) яА, ь(Ты) Ей А) = Р(ь(ы) Ф Л, в(Тю) щ А) = О. Получпте отсюда утверждение задачи, 10 187. Пусть Р(А Л Т-'А) = О.

Танкан А Л Т 'А = (А тТ 'А) () (Т-'АХА), 'го Р( 1!Т-'А) = Р(Т-'А тА) = О. Пусть теперь Р(АХТ 'А) = О. Тогда, так как Р(1) =Р(Т-~А), Р(7-~А)А) =Р(Т-~А) — Р(А()Т-'А) =Р(А) — Р(А()Т-~А) = = Р(А'тТ-'А) =0 Значит Р(А 5 У' 'А) =О. 10А88. Нет. 10189. Для доказательства достаточности возьтпме в качестве з) и Е индикаторы собьпий А и В. П е о б х од и и ос т ь. Докажите сначала справедливость утверждения для ступенчатых случайных величин. 10А90. Вообще говоря, нет. Пусть, например, Ес, со "„— попарно независимые одинаково распределенные случайные величины, заоиспмые в совокупности (постройте пример таких случайных величин!), 4п йо .. — независимые в совокупности, одинаково распределенные с Ьс случапньн зелнчнны, ке зависящие от йс, йь йь Тогда последовательность йм Ьь...

удовлщооряет усющто задачи, но пе является стационарной, так как трехмерггые рзгпределекия ($я Ць $з) к (ьь ьь "ь), очевидно, не совпадагот. 10Л91. Вообще гглюря, нет. 10.192. Пусть ((хч...,, х ) и у(зе, ..., х ) — щраниченные функции, ил~егоюис абсолютно внтегрируемые преобразования Фурье. Покажите, что если !пп л !а) =О, тонн! еУ(й„, хогг, ..., 4оч,„) х(ьо, Йг, . ° . К„,) = = Е(($о, ., ь,„) Еу(ье, ..., Е,о).

10.193. Воспользуйтесь законом 0 или 1 Колмогором. 10А95. Однородная цепь Маркова $и $ь ... с фазовым пространством (Х, 6) будет стационарной последовательностью, если распределение случайно!1 величины $м Рс(А) = Р(йсщ А), А щ 6, свнзано с переходной функцией Р(0 х, Г) соотношением Ро (Г) = ~ Р (1, х, Г) Ро (ох) длн любых ! и Г щ 6. Х 10.190. Пусть Аь ..., А — любые борелевскпе л~ножества. Тогда РЯмы щ А„,. „з)ьы щ А ) = Р(((ты+к ..., $ +ь+П щ Аь ..., ((й,„....., Е„„+.) А.) =Р((й,..ь ..., Е „,„) В), гдеВ=(зь..чз ы!(зь...," >~)яАо...,((з„...,зии)щА).Таикакпоследоватсльность (й,) — стацяонарная, то Р((й~~ь ..., й еь ) щр((йь, Ь ) ~пВ) =Р(т)~щАь ..., г)»щАч) ° 10.197.

Д о с т а т о ч и о с т ~. Пусть ~1, х щ Л,...., х „гщ Ам лг ""лмчг ' г' ''' и+т) (О в противном случае. Тогда (Ь щ Ат ' ' Ьо-~-ещ Аоег) = ТАГ,,Ам+т( о' '"' Со+т) = Н е о б х о д им о с т ь. Пусть Г(Аь ..., Л з~) — распределение й„..., С +„. Н силу стацнонарности последовательности зь йь ... оно не зависит от а. Но тогда и Е(($„.....

$„чю) =) ... ) 7(. „... „,)Г( „...,» пе зависит от п. 10А98. Пусть А — произвольное инвариантное множество относительно последовательности це, цо ... Тогда существует В си 6(В 319 такое, что А (ак (ц», ц +с, ...) щ В)) для любого я. Отсюда А (юс (1($», ° ° о $»о»), 1(2»»с, . °, »»»о»»с)~ ° ) он В) = (со: Д, 2»»ь ...) ~ С), тле С (го, гь °... (1(го, ..., г ), 1(гь ° ° ., г о~), ...) щВ), н, так как В щ М(В"), а функция 1(з„.. » з ) измерима, то С щ Я(сс"). Таким образом, А — инвариантное множество относительно последовательности йо, 0» ... и в силу зргодичности последней Р(А) = О или 1, Отсюда следует зргоди шость последовательности ць Оь ...

10.199. Стационарность (Оо) следует нз того, что совместное распределение (1 [Од»ь "., $»+ды), °" 1»(здо ° ° й оьо )) не зависит от Со. Для доказательства зргодичвости воспользуйтесь предыдущей задачей. 10.200. Воспользуйтесь результатом задачи 10.194. 10.202„Напишите конечпомерные распределеннл и покажите, что в условиях задачи онп не зависят от сдвига времени. 10.ЮЗ.

Воспользуйтесь тем, что для однородного процесса с независимыми приращениями йе д(йсч-д-4с) одели где ф(й) не вависит ст й. 10.20сс. Пусть Ас, ..., Л» — произвольные борелезские множества. Тогда для любых сь . „с», с Р($с „сои А1, „., $с он л„) = Р(Р(с + с+ 2) ом л, ..., су(с„+с+2) щл ) = =Р(йщ В), где Вс (лс ю(гс+ С+ в) СНАс, ..., р(с»+ с+в) он А ) С) [О, Т[. Так как функция ф(п) — периодическая с периодом Т, то множество Вг получается вз Во сдвигом на с и приведением по модулю Т. Но $ имеет равномерное распределение па [О, Т[, следовательно, Р(вщ В,) = Р(» щ Во) = =Ргйс ом А, ..., вс он Л 1. 10.205. Пусть ьг = $с+ Ос, где $г и г[,— нева» зиснмые стационарные процессы Выразите конечномерные распределения ьг через конечномерные распределения $с и цс, 10200' (вс +с щ Лы ''' Ос»г~-с ги Лг») » » Р~~~~ $дсов[й(О,+с +с))ыА,..., ~чр~ $ сов[й(Од+с»,+с))щА )= д=г д=с / » '» Р ~ ~С ад СОВ [й (Од+ С + С))ЩАХ, ..., ~~Р~ заесз[й (Ого+вы+С)[ д=с д-1 А„)АР(Рс< 1" в < )= -) ...) Р((0„..., О,) В,)А~(2,< „...,2.<»), Ю о,-[ъ" ": 2»" во,о' о'в д=-1 » „„~~~~ ад сов [й(г„+ вы+ с)[ щ л ) [[ [О, 2я[", [О, 2п[» = [0,2я)х...х[0,2п!.

Но множество Вг получается нз Во сдвигом на (с, 2с, ..., лс) и приведением но модулю 2л по каждой координате, Так как Оь ..., О» независимы и тщют 320 — ) Цлг — гл 1 г г с 3 1, фунггцпя процесса Еь Тогда равномерное распределеяие на (О, 2п), Р((бь ..., Ол) си Вс) Р((Оь ... 0») еи жВ ). следовательно,р(з, + спА, ..., ь + сяА )=в ее а А, ..., $ ~а А 10.207. См.

указание к задаче 10.202. 10.208. Пусть К(и) — корреляционная тз з Е = 2(г — г ) еде ~ [(1 — 1 ) — и) К(о) Ни-ьО при гт — 11-ьсо, если К(г)л-0 о при г-л со. 10.209. Воспочьауйтесь тем, что если существует производная стационарного процесса, то она имеет нулевое математическое ожидание. 10.210.

Вообще говоря, нет. Пусть, например Ее, зь ... — независимые невырожденные одинаково распределенные случайные величины и т) — Ел. Тогда последовательность Ее, Еь ...— стационарная, а (ба+ го $~+тЬ ° ° -) = (О $~ — $а ° ) ое является стационарной.

10.211. Процесс 2(Х) постояпея на интервалах ( —, — г)), ( — т1, пА) и (гь оо), а в точках — г) и г) (при т1 - 0) делает скачки, А равные —., е ги и 2 его. При ц = 0 процесс делает один скачок А сов бь 10.2!2. Пусть Ц = ~ еп"о2 (Х). Тогда г), =. ) еп"АХ (Х), где Я (Х) = с'т2 (Х вЂ” Л)+е жг, (Х+ Л) 10213. При т ~ я Е(Ял)о($е ° ° ° ьт)) = Е(Я + От 1+ .., + "- (О(Ь ° . Ь )) — 5 +Е(утл.,+...+~,~оДь ..., $ )) =Хт+Е(5 ы+ ° ° ° +В ) л Ет 10 200 Е (Хл ( о (Ь ° ~л)) = Е (Хт$т+г ... фл ( (фе, ... ~ Зт)) = — Х Е(,, „л)о(~, ...,Цт))=-Х Ц ЕЕЕ=Х . 10.2ПЕ Е(В (а ) Е=~л<-1 Е(Е(З,'У-,)(У- ) = Е(в(Ут) =„', 10210.

Е((„)О(~ы ..., ( ))=" =е ( ~~р ~9~2~( (цг ° ° т)~ 2~ ° ° злг) 1а=г гл л — Е (11Д, ( О (ц Ы ..., т), С, ..., Чт)) =- ! --.1 ь=.т~-г л = -'.т+ ~', Е(г)з(ЕД (о(чг ..., Оь, $г... $л1))] (о(г)1 ..., т)„$т. ь=н-~.! ". Зт))="-т-' ~г Ебаб(цл(о('1, " От, б ", бт))=бт. ь=т+г 10.217. Е($;, / о(сг ..., ел))~ )(Е("„(о(2, ..., 2,)))~ = $";. 10218, Е(Х,(а(ьл..... О )) = Х + Е(б ы+... + Ц,(о(ба, ..., $ )) ) Я . 10219. В селу перавепстза 11елсена Е(,(Х ) ~У т) ) 9(Е(Х.~У,)) = д(Х ). 10220.

Пусть Ул = а(йь ..., ьл) — о алгеора, порождеппая случапными величинами $к ..., 2л. Пспользул то, что Е„(сь ..., л„) - плотность распределения Еь .. „фт з д„(гь ..., лл) — плотность распределения, покажите, что для л~обого В жУ», (2 (се) ° °, ь (е1)) уз (ег (е1),, за (ы)) " - '.) Е„(2, ( В ..., 9„( )) "' =,) Е, (В, ( ), ..., б, (» ' ""' 10.221. См. решение задачи 10.219. 10.22о2. (тлел) = П (Ха ля В) жУ„.

ь=-о 10.229. Пусть (У'Д вЂ” неубывающее семейство о-алгебр, относительно которого 321 т и о являются марковскими моментами. Тогда (т+1 <1) = (т < с — 1) ~ жУ'т-и сбгс, (и!п(ъ, а) < с) = (т < с) П (о< с) жУ'с, (щах(т, о) = с) = =(т < с)(](о "с)жЯ с. 1022се Вообще говоря, вет. 10220. Покажите, чы т„— марковский момент. Далее, так как то<те «... т <..., то прн т ".

и и А си У'т ттл л ~Х Р(йе) = ~ ~ЧР„~ Х, Р(с(ы)= ~ ~ ~ Х, Р(йе)— А 1= з='1 АО(ттл — — сс,тл — — ст) 1,=-1 ~А" (т ='1) — Х Р(йо)+ ~ Х, „Р(йо)— АО(ты=с! та~!с) А с](т„,=сс,та~с!) Л", „Р(йе)+ ... + ~ Хл Р (йо)— АО(т сс,т )1 +1) А О ( тю — — 11, т л)л - т] — Хл Р(с(ю) + ~ Х Р(йе) ~. Ас](т,„=сс,тл) -1] АГ1(тщ — — 1с,тл)л — 1) далее, так нак (тл > !1+1) сн Ус ес то ~ хс +сьср(йе] =.

АС](т„,=с,,та~с!+С] () для субмартингалов) Л'1 е,р (Асс). Следовасслььо, АС] (т =сс,тл)11+1) л Хс Р (йо) = (~ )для субмартннгалов) 'в=11 АС](т~=-сс,тл-ст) Хс Р(с(ю). Отсюда ) Хт Р(йо) =- () для субпартгпгалов) АО(тт=сг] А Хс Р(с)ю) = ~ Хт Р(с(ю), т.е. !Х ) — мартингал (субмартингал), '1='А(](т =1,) А 10227. Пусть Я", = а(е„, и < т). Имеем Е(ьс]У',) = Е(ехр (Е.

— аз — Е, — Е,— — а(1 — а)))У',) = ехр Д, — ы)Е ехр (Ес — Э, — а(1 — т)). Но <1 при а~~Л(е — 1), Е ехр (т — $, — а (С вЂ” т)) ) 1 прн а < Л(е — 1]. Отсюда следует утверждение задачи. 10.228. Покажите сначала, что !пп Е(э]У'л) почта наверное существует. Пусть л 1 )!щ Е ($(У'л), если предел существует п конечен, т]=" ' О в противном случае Тогда т] измерима относительно т и интегрируема.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее