Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » М.В. Козлов, А.В. Прохоров - Введение в математическую статистику

М.В. Козлов, А.В. Прохоров - Введение в математическую статистику, страница 14

DJVU-файл М.В. Козлов, А.В. Прохоров - Введение в математическую статистику, страница 14 Теория вероятностей и математическая статистика (2651): Книга - 3 семестрМ.В. Козлов, А.В. Прохоров - Введение в математическую статистику: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница 14 (2651) - СтудИ2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "М.В. Козлов, А.В. Прохоров - Введение в математическую статистику", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 14 - страница

Легко проверить, что этим условиям удовлетворяет вектор 7. Наилучшие оценки как оценки наименьших квадратов. К изложению теории несмещенного линейного оценпвания имеется другой подход, основанный на следующем соображении двойственности. Пусть Ьу' — произвольная несмещенная оценка своего математического ожидания (см. (14) ): ййЬТ'= ЬХО' = ай'. Тогда наилучшая оценка, как мы знаем, имеет внд пргЬТ'. Обозначая через Р"9 У ортогональное дополнение У в )г", имеем (прг Ь) Т' = (пр„Ь) (прг 7 -~- пр„т У)' = при Ь (прг т) ' = =(прр Ь+ прл „Ь) (прт Т)' = Ь(пргу)'. Таким образом, чтобы перейтн от оценки Ьт" к соответствующей наилучшей, надо найти вектор пргу.

Условия проектирования выражаются соотношением (т'-прЛ) Х О. (22) Записывая разложение пру т'=8~к г+... +О,х„=ОХ' (23) и подставляя его в (22), получаем так называемую нормальную систему уравнений относительно О: ОХ'Х = ТХ. (24) Если матрица Х полного ранга, то от уравнения (24) приходим к ранее полученным формулам (20) для вектора наилучших оценок О.

В общем случае любое решение О системы (24) определяет по формулам (23) вектор пргу и, следовательно, наилучшую оценку Ь(пргт)' с математическим ожиданием ЬХО' аО'. Полезно перенестп этот подход иа модель в форме (13): Т т)+ое, т1яУ. Положим т)=прЛ. Тогда Ч несмещенно оценивает т) и является наилучшей оценкой т) в том смысле, что для любого вектора Ь дисперсия статистики Ьт)', несмещенно оценивающей Ьп', минимальна в классе линейных иесмещениых оценок.

Так как л 1)(ЬЧ') = Я Б,Ьгсот (т1, пг) = Ы-Ь', с/ ! го, используя частичную упорядоченность матриц А~В (А)В), если А —  — неотрицательно (положительно) определенная, занлючаем, что в классе линейных несмещенных оценок вектора т1 имеется оценка (и она единственна) с наименьшей матрицей ковариаций. ° Вектор проекции (23), хах известно, дает решение следующей экстремальной задачи: !!У вЂ” прт!!!! == ппп !1Т вЂ” (8,х +... + 8,х,)йз= в„...,в, л 1У! ~~ бух!' )~, о„....е """ ~с-! г ! Приравнивая и нулю производные от выражения под знаком ппп в (25), легко получить отсюда нормальную систему уравнений (24). Метод отыскания неизвестных 8ь 1=1,...,г, из условия (25) называется методом наименьших квадратов.

Определенные нами выше оценки 6ь /=1,...,г, и ай' могут быть также названы оценками метода наименьших квадратов, нли м.н.к.-оценками. В такой форме этп оценхи были использованы независимо Лежандром (1806) и Гауссом (1809), который впоследствии вывел оптимальные свойства этих оценок. (25) $ !В. КОВАРИАЦИИ, КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА ЛИНЕННОИ МОДЕЛИ, ОБОБШЕНИЯ 1. Матрицы нз случайных элементов. Пусть (МЕ) '= МЕ', математическое ожидание суммы матриц равно сумме математи- ческих ожиданий; М (Е!!!+ Е!т!) = МЕ! !!+ МЕП>, а постоянные матричные множители выносятся за знак матема- тического ожидания: М(АЕ) АМЕ, М(ЕВ) (МЕ)В.

80 Е=(Е!ь !=1,...„т,) 1,...,л] — тХл-матрица из сл. в. Ен (при т=1 получаем вектор-строку, при л 1 — вектор-столбец; ! Х 1-матрицу не будем отличать от ее элемента). Математическим ожиданием Е назовем матрицу МЕ= 1МЕа, 1= 1,..., т, /= 1,..., л), составленную из математических ожиданий ее хомпонент (в предположении, что они существуют). Оператор математического ожидания, очевидно, перестановочен с операцией транспоннрова- ния: Проверим последнее свойство: М(ЛЕ) =- ~М~~,амХьг]= Д,ацМ2м~ =А[МЕы] =АМЯ. 2. Матрица ковариаций. Пусть 0=(У»Ум...,У ) — случайный вектор. Используя представление ((У~ МУД (Уу МУД 1 1 1 ° ° л] (() М0) (О МЩ и приведенные выше правила вы и;слепня математического ожида- ния, получаем для матрицы ковариаций вектора 0 формулу Я,-М((() — МЦ) (и — Ми))-М() и — Ми'Ми.

Отметим некоторые свойства матрицы ковариаций. Очевидно, что если а — постоянный вектор, то Ко+а = )ги При умножении случайного вектора на постоянную матрицу матрица ковариаций преобразуется по формуле Вол =А'ЯоА. (1) Действительно, Яцл = М (А'$3'1)А) — М (А'0') М (1)А) = А' (М$3'1)) А— — А'(М0') (М(3) А = А' (М0'() — М(3'МЩ А = А'ЯоА, У Взяв в (1) в качестве А матрицу-столбец а', запишем для дис- персии сл. в. ()а' 01)а'=Яиа =айса'. [2) Так как дисперсия неотрицательна, то из (2) вытекает, чтоЯс— пеотрнцательно определенная матрица.

Как известно из линейной алгебры, симметричную неотрнцагельно определенную матрицу можно привести к диагональной форме: прн помощи подходящей ортогональной лХл-матрицы С: СС'= С'С 1. При этом матрица Л имеет на главной диагонали неотрицательные числа )» 1 1,...,л, а если матрица Йо положительно опре- 81 делена, то все А;.з О. Домножнм (3) слева н справа на матрицу С н С' соответственно: В~ = СЛС' = (СЛ3/2)(слна)', где Лне — диагональная матрица с элементами Ц~ на главной диагонали. Полагая СЛиа В', имеем Яо =В'В, (4) причем ранг матрицы В совпадает с рангом Яи Представление (4) будет неоднократно нсвользоваться в последующем.

3. Ковариации наилучших оценок. Воспользуемся формулой (1), чтобы найти матрицу коварнацнй вектора наилучших несмещенных оценок 9 в модели с матрицей Х полного ранга. Учитывая, что йт=7т =пЧ, получим 9=УХ(Х'Х) 1, Ви=(Х'Х) 1Х'АХ(Х'Х) 1=па(Х'Х) 1 (б) Отметим, что если матрица Х ~х~',..., х,'1 состоит нз ортогональных векторов хь 1 1,...,г, то матрицы Х'Х. н (Х'Х)-' диагональны н оценки йь 1=1,...,г, некоррелнрованы. Случай ортогональной матрицы Х оказйвается интересным и в некоторых других отношениях. Во-первых, нахождение 9~ ие требует обращения матрицы.

Затем поскольку 9~ находится в результате проектирования вектора наблюдений на направление х„то в случае, когда в процессе анализа модели решаем отбросить некоторые х,, полагая, что истинные значения коэффициентов при них равны нулю, нет необходимости заново проводить вычисления оценок оставшихся коэффициентов, так как при этой процедуре они ие изменяются.

4. Пример оптимального выбора матрицы модели. Рассмотрим пример, когда экспериментатор ие привязан жестко к данной линейной модели, а имеет некоторую свободу в проведении эксперимента и, следовательно, в выборе матрицы Х. Допустим, что требуется найти веса Оь 1=1,..., г, предметов 171. Если каждый из предметов взвешивается й раз, то наилучшей несмещенной оиенкой слу:кпг выборочное среднее.

Дисперсия кажл:й пз оценок равна о9й, где о' — дисперсия отдельного гзвешчваипя, л всего производится и=-гй взвешиваний. По другому мс1оду при кгохдоы взвешивании выбирают две группы пред' метов и размешагот па двух чашечках весов, а затем уравиовешн- вают гирями.

Эксперимент может быть описан линейной моделью: У2=6~хц+...+6,'хо+пап 1 1,...а, где хи= — 1, +1 или О в зависимости от того, положен ли )чй предмет на левую, правую чашку весов или ие участвует в Ьм взвешивании; У~ — величина уравновешивающих гирь со знаком, указывающим, на какую из двух чашек добавлен разновес. Предположим, что Х имеет полный ранг, и найдем дисперсию оценки Оь для чего разобьем матрицу Х'Х иа блоки, выделив угловой элемент: Х.Х !!х1!!2 Ь1 Ь' Р! где Ь=(х1 х2',...,х, х,'), Р— квадратная(п — !) Х(п — 1)-матрица, так что ввиду (5) 061 =о' бе1 Р/де1 Х'Х. (6) Выразим определитель матрицы Х'Х через компоненты разбиения.

Составим линейную комбинацию последних г — 1 столбцов гХгматрицы Х'Х с коэффициентами — компонентами вектора Р-'Ь'. В результате получаем матрицу-столбец: Ь,, ЬР-2Ь' ' ЬР-2Ь Вычитаем ее из первого столбца Х'Х. Так как определитель при таких преобразоваииях ие изменяется, то, разлагая преобра.

зованный определитель по первой строке, получим де1 Х'Х = де1 ' ~ = (!!х2!!2 — ЬР-'Ь') бе1 Р. !!хт!!2 — ьР- ь ь1 О Р1 Подставляя полученное выражение в (6), находим 06, о2(!!х,!!2 — ЬР-1Ь')-'. Минимальное значение 06~ приобретает, когда вектор х~ имеет наибольшую возможную длину, а вектор Ь=О, так кан квадратичиая форма ЬР-'Ь' положительна, если только ЬМО. (Проверим, что матрица Р-' положительно определена. Квадратичная форма аХ'Ха' аХ'(аХ') ' !!аХ'!!2 положительна, если только ачьб, так как Х имеет полный ранг. Для вектора вида а=(О, ам...,а,) аХ'Ха'= (ат,..., а,) Р(ат,..., а,) ', откуда следует, что матрица Р— положительно определена.

83 Пусть С вЂ” ортогональная (и-1) Х (и-1)-матрица (СС'=С'Счь =!), ".акая, что С'гС=Л, !де Л вЂ” диагональная (л — 1) Х(п — 1)-матрица с положительны- ми элементами на главной диагонали. Домножая это соотношение на С слева и иа С' справа, получим Р= СЛС'. Е-! СЛ-'С', Очевидно, откуда получаем Ь/с 'Ь' ЬСЛ-'С'Ь'= ЬСЛ !мЛ-!"С'Ь' 1!ЬСЛ "Ч!т, что и требовалось.) Те же рассуждения применимы и к дисперсии любой другой оценки 8„!=2,...,г.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4990
Авторов
на СтудИзбе
468
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее