М.В. Козлов, А.В. Прохоров - Введение в математическую статистику (1115302), страница 10
Текст из файла (страница 10)
откуда для центрального момента порядка 2е получаем (2й — 1) (2й — 3) ... 3 !. ° (О) Пусть сл.в. Х имеет распределение У(0, 1). Тогда в соответ- "твнп со сказанным МХ=О, 1)Х=-1. Сл. в. оХ+р, о)0, имеет среднее Р„дисперсию о', а ее плотность равна а-'ф((х — Н)/о), т. е. сл.в. оХ+и имеет распределение У(р, от). Таким образом, р и от являются соответственно средннн и дисперсией распределения У(р, от). ° 53 Нормальное распределение с плотностью ! <м-3й' ф( 1) е 3 а' обозначим через У(р, о').
Плотность стандартного нормального распределения, как правило, будет обозначаться ф (х), а соответствуюшая ф.р. — Ф(х). Центральные моменты распределения У(0, 1) нечетного порядка, очевидно, равны нулю, а четиого— а» Хт+Х,==о (У, + — ')' ) +р,+р,. а! Легко видеть, что достаточно установить, что сл.в. У,+и)'., а= =от/о1, имеет распределение й/(О, !+из). По формуле свертки Ю а 1! а» 1 а 1 ы /г,:»ат,(у)-- ( =е ' =е дх. ,1 !»2л ! 2ла (! 0) Проведем преобразования показателя экспоненты в интеграле (10]: ат л 1! 1 х' — (у —.т)'/а- =- х' !! 1 -.'- — „ /! — 2ху — з.
а а» 1 !' х,г — у 1 'а ц~ 1 а», и а К!+а»/ а»(а»+ 1) а~ (11). Подставляя (!1) в (!0), получаем, что у» (12) где Ь= )г -'' " аг=-!'дх 2ла очевидно, не зависит от у, т. е. является постоянной. Сравнивая (12) с (8), получаем требуемое утверждение. 4. Распределение 2' с п степенямн свободы. Это распределение определим как распределение суммы п квадратов независимых сл.в. с общим распределением !!/(О, !). Пусть сл.в. Х имеет распределение !т" (О, !), тогда ф.р.
Х' равна прп х)О гх» (х) == дт (Х' е" х) == бз ( — рх < Х < р "х ) — — Ф (Ух ) — Ф ( — )т х ) . а ее плотность равна 1,—, 1 / ()=- —.-ф9 )-'- —,-ф( — У )= 2 н'к 2 !'х ! а ! ! Лем м а 2. Л1/гть Х; — независимые сл. в. с распределением /1/(р„о!т), !'=1, 2, ..., и. Тогда сл.в, Х,+...+Х„имеет распределение У(р!+...+р»», о!з+озз+...+о»»т). Докизательство проведем для п=2. Положим У,=(Х; — р)/сь и запишем Сравнивая полученное выражение для /х (х) с формулой (2), заключаем, что квадрат стандартной нормальной сл.в. имеет распределение 6(1/2, 1/2).
Отсюда и пз леммы 1 получаем, что хн-квадрат распределение с п степенями свободы совпадает с распределением 6(1/2, н/2). Для хн-квадрат распределения принято независимое обозначение т'«. Отметим, что зкспоненцнальное распределение 6(1,2, 1) совпадает у'и а сумма н независимых 6(1/2, 1)-распределенных сл.в. имеет распределение т'з„с чем мы уже встречались в $ 6. Функция распределения у'«табулнрована, при больших и можно пользоваться нормальным пр>,ближением. Если сл. в. У имеет распределение у'„то (см.
(5)) МУ и, 0У=4п/2 2п, и ввиду центральной предельной теоремы У ((У вЂ” п)1~2п ~ у) =Ф(р). (13) б. Бета-распределение. Это распределение задается плотностью р(а, Ь) 'х' — '(1 — х)~', 0<х<1. О, х)1, х<0, тде р(а, Ь) =- х'-'(1 — х)~>дх — бета-функция Эйлера, а)0, Ь>0 — параметры. Функция рас. пределення, которая называется также неполной бета-функцией, обозначается 1,(а, Ь). Учитывая формулу свнзп бета- н гаммафун кц и й (ем.
7) ) В(ц, Ь) =Г(и)Г(Ь)/Г(и+Ь), за»пшеч 1«(ц, Ь)= "' 1 Г1' '(1 — О)'>/г, 0< т< 1. (14) Г !а)Г!61 ~ Отметим очевидное тождество 1«(ц, Ь) — ! — 1и „(Ь, и), ()о) которое учитывается прп составлешгп таблиц ф р. и квз>гнилей.
Обозначив через хе(1,(и, Ь)) р-кван>иль распределения 1,(а, Ь), имеем пз (15! 1 — 1> «,„и>«л|(Ь, а) = 1' (16) нлп (1(Ь ц)) 1 — х (1(и, Ь)). ° 55 Между сл.в. с гамма- н бета- распределениями имеется интерес ная связь, используемая в статистике и устанавливаемая в следующей лемме. Л е и и а 3. Пусть сл. в. Х и У неэависимы и имеют распределения 6()„а) и б(Х, Ь) соответственно. Тогда сл.в. Е=Х/(Х+У) имеет ф. р. /,(а, Ь).
Доказательство. Рассмотрим отношение У=Х/У и, не ограничивая общности, положим 1=1. Для ф.р. У получаем прн и)О Ро(и)=Р(Х< иУ) ='Д /,(х)/т(у)балду гав ау =~ьм4ьма-)'ьыьюа. а Дифференцируя, находим плотность /и(и) =.~/т(у)/х(иу) уйу=* 1 у~ 'е е(иу) 'е 'гуану= Г(а) г (ь! .) ь ь Рг (е) = У ( — с е) = У (У < — ') = Ро ( — *), (18) х (1 — е) = — г'-' (1 — е) г(а+ ь! ь Г (а! Г (Ь! (19) 6. Равномерное распределение. Равномерное распределение на (О, !) является частным случаем бета-распределения с параметрамм а=Ь=1; зто распределе. ние подробно рассматривалось в $2. У.
Распределение Фишера, нли Р-распределение. Это распределение определяется как распределение сл,в, )т= — ' хла ах (20) т /л ыт' где Х и У независимы и имеют распределения т' и тт„соответственно. Для Р-распределения принято обозначение Р,а, парамет- уа+Ь-~Е-1+аиду аа — ~ ~Р1 1 Г (а+ Ь). (!7) г(а! г (ь! Г(а) Г(Ь) (1+ а ь Так как ры ль и л называются степенями свободы. Так как 7'р~ лвб(1/2, й/2), то плотность сл.в. (/=Х/У получается из формулы (17) прп а=т/2, Ь=л/2, откуда получаем, что прп п)0 е / / е ) Г((в т л)/2! „глгт, лут„в з-ь (и лю)-с~+"ня л ( л / Г(в/2)Г(л'2! ~пф,(п)сЬ=( — ) ~ и'/и(и)йь=( — ) — — ~х о о +! ь — рь ь ! / л !ь Г(е+ОГ(л — !! ( в ) Г(в)Г(л) о х "-льл — Гр+'-пиь >~~~ 'л= Г(е+Ю! Г(л — Ю),! л '!Ь Г(в+ОГ(л — 0 =( — )' в / Г(е)Г(л! Из (18), (19) имеем и ге л! ри (и) = гг —,) вл/и(и+ь ( — ° — /.
(л+ ! '(2' 2/' откуда устанавливаем связь распределения Фншера с бета-рас- пределением !оь (о) Рлиув(о) / юрсьл+врь(ль/2, и/2). ° Из формулы (20) имеем ( — "-". ')=-'- (+ -') Обозначив через хр(Р„,,л) р-квантпль распределения Р ,„, полу- чаем из (22) следующее тождество: хр (Р'вв) 1/хь-р (~лил), (23) которое учитывается при составлении таблиц квантилей Р-рас- пределения. ° В книге (!) приведены таблицы квантнлей хр(Евл) для ряда значений р и он=1(1)10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120, оо, п=! (1), 30, 40, 60, 120, оо.
Интерполяцию рекомендуется проводить по аргументаль 1/ль, 1/л, (22) (21) Из (21) н (17) легко получаем значения для центральных моментов /:ь „.„распределения: дая чего значения аргументов и;.:10, я)30 выбраны пз у.л. пня постоянства шага по переменным 1/п1, 1,'и, что упрошает нычпсле. иия. Пример. Найдем тр(Гтлр) для значений р, -0025 и р"=0975 По табл. 3.5 11) находим .тр,(Рт,зр) =- 4,1821; «р,(Р',ы) = 4.0510 тра("зат)=. 39,46о; кр,(Р~нт).— 39,473. Линейной интерполяцией по 1/а накодпм ! 1 '-1 (Ет,м) =«р (гита)+ (тр (гела) тр (гны)) ( х 1 — — — ) =. 4, 1821 -,'- ( — О, 1311) ( — 0,00833) ~ ( — 0,007017)-- (За 30/ =- 4,071; кр,(Рыл) =-39,465, ( — 0,00833) ( — 0,007017) 0,008 = 39,4717; кр.
(г лз) =-' (тр. (гыл)) = (39.4717) ~ = 0,025. 8. Распределение Стьюдента, нлн 1-распределеяие. Это распределение определяется как распределение сл.в. Т Х7)'у(и, (24) где сл.в. Х н У независимы н имеют распределения А'(О, 1) и Дтр соответственно; паРаметР и называют числом степеней саобооы 1-распределения. Плотность сл.в. Т, очевидно, симметричная: 1г(1) =7г( — ~). Замечая, что Т' имеет Ргррраспределение и что прп 1>0 Рг(Г) — Рт( — 1) = ~г(Р) 2)гй =Юг:(Р) получаем пз (21) прн п1=1, 1>0: л-1 ггЯ=- = (1+1 ~п) 1 на Г(а 21 С ростом н распределение сл.
в. Т приближается к Ф(0, 1). й а. НОРМАЛЬНОБ РАСПРБДБЛБНИГя ОЦБНИВАНИИ НАРАчетРОВ, сРАВнение двух ВыБОРОк 1. Доверительные оценки для и и о', когда одни из параметров известен. Рассмотрим выборку Х:, 1 1, ..., н, пз нормального распределения Л'(И. оз) со средним И и дисперсией о"-. Точечпымн оценками и и от служат выборочные среднее и дисперсия Х: —.— '~>',Хо а З.=- — ч (Х! — Х) = — у(Х; — Х. И и Предав!!ол!иы вначале, что один из параметров р плп и' известен.
В случае известного и величина )'л(Х вЂ” р)/а (() имеет нормальное распределение М(0, () (см. $ 7, п. 3). н а-доверительный интервал для и получаем из соотношения Р (х<,, ' С 1~!! (Х вЂ” р)дт < х! „. ) =. а, илп У(Х вЂ” ах! Яп (р ч Х вЂ” ах,„~))гп) =а, где х„— а-квант!!ль распределения г!(О, (). Ввиду симметрии й!(О, 1) имеем х,= — х! ., следовательно, а-доверительный интервал можно представить в виде Х вЂ” ах! ~, т(~/и < р < Х + ох! — а! (Ул.
В Допустим, что р известно, а требуется оценить от. Для точечного оценивания а' естественно вместо выборочной дисперсии взять статистику л — '~~у',(х, — р)', (2) имеющую распределение д'„(см. $7, п, 4). Отсюда получаем а-доверительный интервал для о~ в виде 1=! где х, — а-кваптнль распределения д'„. 2. Несмещенная оценка дисперсии. В случае независимой выборки нз произвольного распределения выборочное среднее является несмещенной оценкой теоретического среднего ййХ= МХ!. 59 которая отличается от 5'а заменой выборочного среднего на теоретическое.
Для построения интервальной оценки образуем ве- личину Однако выборочная дисперсия имеет смещенне » л М51=-М( У„Х, з Х,Х,) =-МХ,— л л» Ь тт' ! ! ьу-! ! — — Мхе — (ййХ,)ь = ~1 — — ~ ОХ, (л Ц 2 ! ! 1 и л л Позтоыу обычно вместо 5т» рассматривают несмещенную опенку 5ь= — "5е= — ''Р(Х, Х)». л — 1 л — ! йей 3. Доверительные интервалы для !л и и', когда оба параметра неизвестны. Допустим, что оба параметра и и а' распределения 1т'(!и оз) неизвестны. Для построения иитерва.чьных оценок вместо величин (1), (2) образуем следующие: Ут! (Х' — р)/5, — чвч (Х! — Х)'.
ьь лд$ с-! Введем нормиронанные сл. в. У;= (Х; — р)(о, 1=1, ..., и, (3) которые независимы и У(0, 1)-распределены. Так как ! — (х „)=у, а то величины (3) можно переписать в виде ~~у/ ' ~~т, тт, ~(т, тт. (4) 2!=~ си1;, т:=1, ..., п. ! (б) 60 Таким образом, распределения вероятностей величии (3) не зависят от неизвестных параметров И и ач, н для построения доверительных интервалов остается лишь найти зтн распределения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
