М.В. Козлов, А.В. Прохоров - Введение в математическую статистику (1115302), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Полинам а+ +Ы+с!т+!у!а призван отразить неслучайные изменения переменной х, н называется грекдоа, коэффициенты а, Ь, с, !У подлежат 4УУ 406 4У 47 46 О,у 47 006 407 745 760 766 160 766 770 176 760 760 !70 760 760 глО 7070 76 Р!м. 6. Даииые о потреблении мяса в СШЛ в !919 — 1941 гг..
нанесенные иа нормальную вероятиостиую бу- магу Рис. 4 Ежсгодиое потребление мяса а СШД в 19!9 — 194! Гг. и пол!и!омиальиое приближеиие подбору по наблюдениям (8); е! — случайные колебания в ежегодном потреблении, их полагают независимымн, одинаково нормально распределеннымн сл.в. с нулевым средним и неизвестной дисперсией. Значения (8) н аппроксимирующий их полинам нзоб. ражены на рис. 4. Попробуем с помощью описанного выше графического приема проанализировать данные (8) на предмет того, нельзя лн пх расматривать как выборку из нормального распределения, т. е. считать, что коэффициенты Ь, с, т( в (9) равны нулю, и полагать колебания в ежегодном потреблении часто случайными, не содержащими тренда.
Графическое построение на рис. 5 показывает удовлетворительное согласие с проведенной на глаз прямой х=оу+1т, !т=!88,5, о=733. (1О) С другой стороны, приведенный в книге [3) статистический аналит показывает, что данные (8) следует описывать моделью (9), 2» 35 как зто и представлено на рнс. 4. Противоречие в толковании статистических данных (8) позволяет обратить внимание нг следующий важный вывод. Любой статистический прием направлен на проверку одних сторон вероятностной модели н не улавливает отклонения в других направлениях.
Поэтому при анализе данных надо ясно представлять себе, какие предположения о модели не ставятся под сомнение, а что подлежит проверке по результатам наблюдений. При графическом анализе (см. рнс. 4) предполагалось, что наблюдения незавнсимы н одинаково распределены, н проверялась гипотеза о нормальности их общего распределения. Если исход.
ные предположения нарушены, то и выводы, которые делаются в отношении проверяемой гипотезы, несостоятельны. Отметим, кстати, что э. ф.р. не меняется при перестановке наблюдений х», хь...,х; иначе говоря, она является функцией по. рядковых статистик х»,ь х»»ь...,х»». В частности, наблюдения у» хю, »=1,...,л, имеют ту же э.ф.р., что н х», 1=1, 2,...,п, и если не обратить на это внимание, то по результатам анализа з.ф.р. можно для значений у», »=1,...,и, ошибочно принять тот же вероятностный закон, что н для хь й з. экспоипнцидльиоп пдспрпдплпиип и пудссоиовския ПРойесс 1. Экспоиенциальное распределение.
Стандартное экспоненциальное распределение определяется плотностью и имеет ф. р. Р(х) =1 — е-*, х>0. Обычно в распределение (1) вводится масштабный параметр н рассматривается ф.р. Р(х/а) илн Р(Лх), Л=о-». Параметр о является средним значением распределения. Важность распределения (1) в теории н приложениях связана с его характеристическим свойством, называемым котсутствнем памятны если сл. в.
Х имеет плотность (1), то при х, у>0 У(Х>х+у)Х>х) =Р(Х>х+у, Х>х)/У'(Х>х) = =У(Х>х+у)/У(Х>х) =е к=У(Х>»/). Лопуст»»м, что Х описывает случайное время до наступления некоторого события. Тогда знание того, что зто событие не произошло до момента х, никак ие сказывается на его появленнн после момента х: остающееся время ожидания имеет то же самое зкспонеициальное распределение. Отмеченное свойство распределення (1) становится более прозрачным, если обратнться к схеме Бернулли. Допустим, что в моменты времени, кратные некоторому шагу й>0, совершаютсв вспытания Бернулли с вероятностью успеха р Ай. Пусть т!— номер нспытання, при котором произошел первый успех, иХ!"! =йт! — случайное время до появления первого успеха.
Так как Я ( т ! й ) ц» ! р Я ( 7 ! > й ) 9» 9 1 Ю (Х!"! ) х) = (1 — »й]1м»1, (2) где [а[ означает целую часть а. Устремим тепрь й к нулю. Очевидно, правая часть (2) будет иметь предел е- *, т. е. в рассматриваемом предельном процессе распределение времени ожидания первого успеха сходится к экспоненциальному (с масштабным параметром » '). 2. Пуассоновскнй процесс. С зкспоненциальным распределением тесно связан так называемый пуассоновский процесс. Обратимся к уже нспользовавшейся схеме испытаний Бернулли. Обозначим через т!+тт+ ... ...
+т» номер й-го по порядку успеха, й=1, 2,.... Нетрудно видеть, что сг(т,=п,,т,=л,, ...,т,„=п,„) =Гт1(д ' р), ! ! Ф (т, ) л„т ) и, ..., т л ) = Гт1 д"!. ! ! Для величин Х!!»>-йт< — временных интервалов между последовательнымн успехами — получаем при х!, хь...,х~>0 а»(Х[»!)х»,Х)»!)х,, ...,Хм!)х„,)-~Де ~', й-~О, (3) ! ! т.
е. совместное предельное распределение сл.в. Х!"!,-1= 1,..., и!, соответствует независимым зкспоненцвально распределенным сл, в. с масштабным параметром )!-!. Допустим, что Х!, Хь...— последовательность независимых сл. в. с зкспоненцнальной плотностью )!е-»", х>0. Из (3) вытекает, таким образом, что прн любыт т, х!,...,х н й-эО д'(Х!"! х„..., Х!"! < х„,)-~Р(Х! < х„..., Х,„< х„,). (4) Сходнмость многомерных функций распределения (4) влечет за собой сходнмость вероятностей любых событий, связанных с этими величинами: 37 Р((Х!ч! Х!м)ев В )«Р((Х! Х )я В ) И ! О (5) где „— борелевское множество т-мерного пространства )т"'. В частности, для В, вида В„,=((х„...,х„,): х,+ ...
+х! -.у„) 1,..., т) соотношение (5) превращается в следующее (5(!~! ( у, 5!ь! ~< у„,) -+ Р (5!;. у,..., 5„, ~< у„,), И -+ О, (6) где В!м=Х, + ..+Х!«!, В!.—.Х,—... —,Х!, ! ! ! Отметим на числовой осв точки 5!, Зм...,ВИ,. (8) Утверждение (6) означает, что точечный процесс (7) сходится по распределению к точечному процессу (8), образованному суммами 3!=Х!+ ... +Хь 1 1, 2„, независимых зкспоиеициальных сл. в. с параметром И. Процесс (8) называется иуассоновским.
Обозначим через Л(ф„и !тм„! чвсло точек на временном интервале (О, х) в процессах (7) в (8), соответственно: (9) Л1,ч,,1= В Сх, 5„чь! ) Событие (У1,">„= т) происходит тогда и только тогда, когда в последовательности из н=(х~И) испытаний Бернулли происходит ровно т успехов, а его вероятность равна С„тр,.д.-,. д 1 — р, р=ИИ, л=!х7И).
Устремляя И к пулю, находим ( !«!!)юч В«(Л«!«!, .--а!) ==С,',"(И)!)"'(1 — ИИ)" "'=- (1 — ))!!" 7с х (1 — ) (1 — 1... ( 1 — — ~(1 — ИИ)-м™-~(Их)"'!гл! е-!". (10) 1.. ( л Принимая во внимание (6) н (9), получаем отсюда (! «)1ч а«(Л'!!ч,! =!и) = е ". !ч! (11) 38 я!«! свч я(!» (7) 1 ' 2 ''''' ! Говорят, чго последовательность случайных точек (7) образует случайный точечный процесс иа прямой. Аналогично получаем точечный процесс Это хорошо известное распределение Пуассона с параметром ).х Я уассоновскпй процесс был определен как последовательность (8) моментов появления «точек», илн «событий!», на осн х.
Формула (9) определяет случайный процесс (!((о,,), х>0, т. е. функцию, сопоставляющую каждому х>0 случайную величину ((((о,«). Процесс (т(о, ), х>0, тоже называется пуассоновскнм. В следующей лемме отражены важнейшие свойства процесса й((о,„!. Положим при х<у Доказательство. Как и прн выводе (11), используем предельный переход от схемы Бернулли. Положим л((л! л((л! (у(л! !«,р! (о,у! (0.«!' Тогда Р (й)(л! = и( ! =-1, 2, ..., й) = Р (5(л! < Х» (13) Устремляя Й к нулю, получаем с учетом (5), что правая часть (13) стремится к Р (5«ноь х(, 5т,+! ) х 5а~те>з'~ хо~ 5»(1+и«! ! ) хл, ..., 5„ое...+„, <«ы 5„„+,+,„,+, )хл)=йо()У(.(»«(! =--л(„(:: 1,...
й). (14) С другой стороны, поскольку величины йн,"! «) . как числа ус!«( . «() ' нсхов на непересекающихся отрезках испытаний Бернулли, независимы, то левая часть (13) равна Пб'()У',".',,.,) = .) ( ! Переходя к пределу при й-(-0, найдем, что левая часть (13) стремится к л «(( П ()((«( — «( )) -л(«-«' (! о( ! ( ! Приравнивая (14) и (15), получаем требуемый результат.
(15) 39 )т!«, о) )т(о. о! — )т(о. «). Лемма 1. Пусть хо=О<х(<хо«... хл. Тогда сл. в.И!«.,,«(), ! = 1, 2, ..., й, независимы и Р (У ) 1«(«( — «(-!)) -!.!«(-«, (! (!2) ~~l-!'~(~ ои 3. Условное распределение точек пуассояовского прог!асса, Следующие утверждения о пуассоновском процессе и о независимых экспоиенциалъно распределенных сл. в. имеют важное теоретическое и прикладное значеииеп Л ем ма 2. Пусть Хг, Хв...— неэавггсггмые экспоненцапльно распределенные с параметром Л сл. в., 5„=Хг+... +Х„, и= 1 2, !Угь,ю — построенный по пог.гедоватг*льнпсти 5„нуассоновсхпй процесс.
Тогда (1) илотность распределения сл. в. 5 равна Л ( "1 е-"'. х)0, уз„(х) = (и — 11! 0 х<0; (П) условная совместная плотность сл, в. 5г,...,5„ири условии сл.в. 5„+г равна и! Ь,.",з„ге„,(уг ° У 1У +г) = —. 0<уг« .У <У +о ь+г и равна нулю для остальных значений иеременных; (Н1) совместная плотность сл. в. Ягп 5г/5 +г, г 1, 2, ..., и, райна ухггг,...,ха! (ег, ..., х„) =и!, 0<хг«...
хч<1, и равна нулю для остальных значений иеременных; (Ж) ири условии события гтгь,„! и совместная илотность расиределения сл,в. 5г, 1 1, 2,...,и, (моментов появления точек в иуассоновском процессе) равна пг !з,...,з„!нгь,!(у„...у.(и) = —, 0<у,«...у„<х. и равна нулю пра остальных значениях иеременных. Замечание. Если Уг, Ум...,ӄ— независимые и равномерно распределенные на (О, Ц сл.в., Угп, 1 1,...,п,— порядковые статистики, то, очевидно, все и! перестановок Уг,<Уг,<... <Уг„являются равновероятиыми событиями и поэтому У(У„,чнВь....У„„г-=гВ„) и!У(УгенВь ..., У„енВ„, У~(...(У„), (16) Выбирая Вг= (иг, аг+б) при 0<иг<...
<а и достаточно малом б)0, получаем, что (16) будет равно и!б", т. е. совместная плотность величин Уиг равна хогг!,...,оыг (и,, и„) =- п1, 0<и,«... и„<1. 40 Следовательно, результаты (11) и (1У) означают, что условные плотности язв,....ямзд,~ и Ьз,....зм мы ц совпадают с плотностями порядковых статистнк из равномерного распределения на [О, 5е ы[ н [О, х) соответственно. ° Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
