Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике, страница 9

Воспользоваться теоремой о вириале. 5.21. Материальная точка (см. рисунок) движется без трения по оси Ох под действием силы гг = г'(х), зависящей от положения точки. Доказать, что фазовые траектории точки на плоскости хх могут быть только кривыми трех типов: либо скорость точки не о в К задаче 5.22 К задаче 5.21 изменяет своего направления во все время движения (рис.

а); либо происходит одно изменение направления скорости (рис, б); либо, наконец, движение точки периодическое (рис, в). 5.22. Спиннингист, стоящий в точке О на берегу реки (см. рисунок), наматывает леску так, что ее длина меняется по известному закону I(1). Леска предполагается горизонтальной и соприкасающейся ~) Это уравнение имеет ограниченное применение, так как в отсутствие внешнего ) Зтс' поля 1Е =- О, Н = 9) оно имеет решение с =- ехр ~ 2е приводящее к абсурдному и выходе из поля. Поэтому выводу о неограниченном эсамоускорении» заряда пр выражение для лоренцовои силы торможения применимо лишь в том случае, когда она оказывается малой по сравнению с силами внешнего поля (подробнее см.

139)). 5.20. Излучение электромагнитных волн движущимися зарядами приводит к потере ими энергии. Эту потерю энергии возможно описать, вводя «силы тренияэ, так что в нерелятивистском случае (и (< с) уравнение движения заряда е (с учетом лоренцевых сил 1 2е торможения 1' = —.т) можно представить в виде ) Зс Э 6. Изменение импульса и момента импульса системы с водой только в точке соединения с блесной массы т. Составить дифференциальное уравнение, описывающее изменение угла ~~ между леской и скоростью реки и. При решении считать, что взаимодействие между водой и блесной происходит по одному из законов; а) вязкое трение У = — Дч, б) трение скольжения Р = — рч(и, где ч скорость блесны относительно воды.

6 6. Изменение импульса и момента импульса системы 6.1. Найти траекторию колечка массы т (см, рисунок), которое скользит без трения по обручу массы М и радиуса г, касающемуся гладкой горизонтальной плоскости. В начальный момент система находилась в покое. К задаче 6Л К задаче 6.2 6.2. Два одинаковых однородных стержня АС и ВС (см. рисунок), соединенные шарниром С и сжатой пружиной, лежат на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости.

Вследствие действия сжатой пружины стержни стремятся разойтись, чему препятствует нить АВ. Какую траекторию опишет точка А при обрыве нити АВ, если в начальный момент система находилась в покое? 6.3. Система состоит из двух материальных точек, массы которых т1 и т2. Точки взаимно от~лкиваются силой, пропорциональной расстоянию между ними, коэффициент пропорциональности равен р = т1тэ/(тз + тэ). При движении точки остаются в горизонтальной плоскости ху. В начальный момент 2 = О х1 = д1 = О, хэ = = а(т~+ ш2)/ть уэ = О, х1 = у1 = О, хэ = О, дэ = Ь(т~ + т2)/шь Найти движение точек в поступательно движущейся системе отсчета Сху, начало которой совпадает с центром инерции. 6.4.

Доска массы ЛХ может скользить по горизонтальному шероховатому полу. По доске движется точка массы т. Коэффициент трения между точкой и доской равен г. Какому условию должен удовлетворять коэффициент трения 11 между доской и полом, чтобы доска оставалась в покое, если она покоилась в начальный момент? 50 К Кинематика и динамика 6.6. Зонд, несущий контейнер с приборами, опускается вортикально в атмосфере с ускорением шо; масса зонда вместе с контейнером равна лт. В некоторый момент времени контейнер отделяется, в результате чего зонд начинает подниматься с ускорением 2шо. Найти массу т контейнера.

Сопротивлением воздуха пренебречь. 6.6. Плоская фигура массы т движется поступательно в своей плоскости со скоростью к. В некоторый момент времени точка фигуры, лежащая на прямой, проведенной через центр инерции параллельно вектору скорости, закрепляется. Найти импульс ударных сил. 6.7. 1Парик массы и, находится на гладкой горизонтальной плоскости. В начальный момент времени ему сообщается скорость г под углом а к горизонту, после чего он начинает подпрыгивать пад плоскостью. Коэффициент восстановления при ударе равен Х (О ( Х ( 1). Найти время, по истечении которого шарик перестанет подпрыгивать, а также расстояние, пройденное шариком по горизонтали за это время. 6.8. При движении волчка массы т (см.

рису- нок) точка О неподвижна; плоскость ве„проходя- а щая через вертикальную ось Ог и ось симметрии Оь волчка, вращается вокруг оси Ог с угловой скоростью гв(е); угол 0 между осями О и Оь К задаче 6.8 меняется по заданному закону 0(е). Определить силу реакции в точке О, если расстояние от центра масс С волчка до точки О равно 1. 6.9. Показать, что при определении положения центра инерции системы материальных точек любую подсистему можно заменить одной точкой, масса которой равна массе подсистемы и которая расположена в центре инерции этой подсистемы.

6.10. Используя утверждение предыдущей задачи, методом выделения подсистем показать, что при наличии у твердого тела а) плоскости материальной симметрии; б) оси материальной симметрии; в) центра материальной симметрии центр инерции тела лежит соответственно а) в плоскости симметрии; б) на оси симметрии; в) в центре симметрии.

Могут ли быть у тела непересекающиеся оси симметрии? 6.11. Доказать, что в любой системе материальных точек в каждый момент времени можно выбрать такие точки системы, числом не более четырех, что если этим точкам приписать надлежащим образом подобранные массы, то их центр инерции будет совпадать с центром инерции исходной системы. З О.

Изменение импульса и момента импульса система 6.12. Материальные точки т, (г = 1, Л1) имеют декартовы координаты а;, б„со Показать, что функция 1р(я, у, з,) = ~т, [(л — а;) +(у — б;) +(з — г„) 1 достигает абсолютного минимума в точке, совпадающей с центром инерции системы. Какой вид имеет функция су(л, у, з) для твердого тела, плотность которого распределена по закону р(л,у,з)? 6.13.

Однородный круговой конус поставлен основанием на гладкий горизонтальный стол. Конусу сообщается угловая скорость соо так, что скорости точек его оси симметрии равны нулю. Чему будет равна угловая скорость конуса, если по его образу1ощей от вершины до основания опустится шарик, масса которого в Й раз меньше массы конуса? 6.14. Два одинаковых шарика могут двигаться без трения по сторонам прямого угла, расположенного в горизонтальной плоскости.

Шарики несут заряды разных знаков и начинают движение из состояния покоя. Показать, что они одновременно окажутся в вершине угла. 6.15. По сторонам прямого угла лОу, расположенного в горизонтальной плоскости, могут скользить без трения шарики А и В масс т1 И то СООтВЕтСтВЕННО. ШаРИКИ ВЗаИМОДЕйСтВУЮт ДРУГ С ДРУГОМ по некоторому закону. Силы взаимодействия направлены по прямой, соединяющей шарики. Найти зависимость между координатами лА и уп во время движения, если в начальный момент шарики покоились, лА(0) = = то, ун(0) = уо (ло > О, уо > О). 6.16.

Однородная палочка АВ дли- О ны 2а (см. рисунок) шарнирно закреплена А в точке В. От конца В палочки начинает двигаться материальная точка Р, масса т которой равна массе палочки. В начальный момент палочка находилась в горизонтальном положении; получив толчок, она начинает вращаться в вертикальной плоскости по часовой стрелке. Определить, за какое время точка Р достигнет конца А палочки, если она движется таким образом, что угловая скорость со палочки остается постоянной. 6.17.

Неоднородный диск радиуса Л может свободно вращаться в горизонтальной плоскости вокруг своего центра. Сидящая на краю неподвижного диска лягушка совершает прыжок в направлении хорды, в результате которого она приземляется в ту же точку диска, 52 П Кинематика и динамика а диск поворачивается на угол а. Считая массы диска и лягушки равными, найти радиус инерции диска. 6.18. Однородный диск массы т может катиться без скольжения по горизонтальной прямой. К центру диска прикладывается горизонтальиая сила, в результате чего центр диска начинает колебаться по синусоидальному закону с амплитудой и и частотой еа. Найти зависимость силы трения от времени. 6.19.

При прохождении электроииого пучка через фокусирующее устройство расстояние каждой частицы от оси пучка изменяется в и раз. Скорость частицы в пучке до фокусирующего устройства равна ае1 = г и е,„+ и,е„а после фокусировки тз = и„,еа+ и,е, (е„, ею е,-- орты цилиндрической системы координат, ось Оа которой направлю на по оси пучка). Найти отиошеиие пе,,(ига считая, что в процессе фокусировки иа частицы действуют только радиальные силы.

6.20. Доказать, что момент импульса Ка системы материальиых точек относительно полюса А связан с кинетическим моментом импульса Кп этой системы относительно полюса В равенством Кп = = Кя + Вл х Р, где Р = ~ , 'т;к, = тки — импульс системы. а=1 6.21. Однородный диск вращается вокруг неподвижной оси А В, проходящей через центр диска. Доказать, что кинетический момент диска относительно любой оси, параллельной оси АВ, равен кииетическому моменту диска относительно самой оси АВ. 6.22. Движение системы материальных точек относительно системы отсчета х, у, е представлено как сумма двух движений: движения относительно системы е, ц, ~ с началом в центре инерции С и соответствующего переносного движения.

Показать, что момент импульса абсолютного движения системы отиосительио полюса О выражается равенством К0 = Ко +К., где Кр момент им(е) (е) (е) пульса системы относительно полюса О в ее переносном движении, а К~ " момент импульса системы относительно центра инерции в ее (е) относительном движении. 6.23. Плоская фигура движется в своей плоскости.