Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике, страница 6

Доказать, что если мгновенная ось занимает постоянное положение в теле, то движение является вращением вокруг неподвижной оси. Обратно, если мгновенная ось неподвижна в пространстве, то она неподвижна также и относительно тела. 4.2. При движении твердого тела с неподвижной точкой известна компонента из4(4) угловой скорости на ось О», жестко связанную с телом. Найти проекцию углового ускорения на эту ось. 4.3. Твердое тело вращается вокруг неподвижной точки О. В теле выбраны точки Аы Аз, Аз так, что векторы ОАы ОАз, ОАз взаимно оРтогональны, ~ОА4 ~ = ~ОАз) = (ОАз~ = 1. Найти скоРость точки Аз, если известны скорости т4 и та точек А4 и Аз соответственно. 4.4. Юла (см, рисунок) вращается вокруг своей оси симметрии О» с постоянной угловой скоростью ап Ось О» равномерно вращается относительно вертикали Оз с угловой скоростью изз, так что угол й остается постоянным (регулярная прецессия).

Найти угловую скорость и угловое ускорение юлы относительно Оз. 14. Движение твердого тела с неподвижной точкой 4.6. Диск радиуса г 1см. рисунок), насаженный под прямым углом па стержень ОС длины гз/3, вращается вокруг ОС с постоянной угловой скоростью нь Стержень ОС вращается вокруг оси Ое с постоянной угловой скоростью езз = со1, образуя с этой осью постоянный угол 0 = 60'. Найти скорость и ускорение диаметрально противоположных точек А и В диска в тот момент, когда эти точки лежат в плоскости зОС. К задаче 4.6 К задаче 4.7 4.7. Диск (см.

рисунок), насаженный под прямым углом на стержень ОС, вращается вокруг ОС с постоянной угловой скоростью ез1. Стержень в свою очередь совершает гармонические колебания в вертикальной плоскости лу по закону ср = грв сйп ез01. Найти угловую скорость и угловое ускорение диска в зависимости от времени. 4.8. Плоскость П 1см.

рисунок) вращается с постоянной угловой скоростью со относительно неподвижной оси Оз, перпендикулярной плоскости П. Прямой круговой конус с углом раствора 90' при вершине катится по плоскости П без скольжения так, что его вершина О К задаче 4.8 К задаче 440 неподвижна, а скорость центра С основания относительно плоскости равна т. Найти мгновенную угловую скорость П и угловое ускорение е конуса, если ОА = 1. 2 Е.

С. Пятницкий и др. 1. Кинематика и динамика 4.9. Используя условия предыдущей задачи (см. рис. к»ей), найти скорость и ускорение точек А, В и С конуса. 4.10. Коническое колесо радиуса г (см. рисунок),жестко насажениое иа стержень ОС длины 1 = гт~З, катится по горизонтальной плоскости без скольжеиия. Стержень ОС описывает коническую поверхиость, вращаясь вокруг иеподвижиой точки О (в точке О сферический шарнир) с угловым ускорением е, имея в данный момент угловую скорость ее. Определить угловые скорость и ускорение колеса и ускорения его точек А и В. 4.11. Квадратная рама А ВС Р (А В = АР = а) вращается вокруг оси АВ (см.

рисунок) с постоянной угловой скоростью еь Вокруг оси АС, совпадающей с диагональю рамы, вращается (также с постояиной угловой скоростью) диск радиуса г; центр диска совпадает с центром рамы„а его плоскость перпендикулярна плоскости рамы. Какой должна быть угловая скорость вращения диска вокруг оси АС, чтобы в тот момент, когда точка ЛХ лежит на диагонали ВР, мгновенная ось вращения диска совпадала с прямой АМ? Найти вращательное и осестремительяое ускорения точек ЛХ и М в этот момент. К задаче 4.11 К задаче 4.12 4.12.

Тонкий обруч радиуса Л (см. рисунок) катится без скольжеиия по прямой АВ. Скорость центра обруча постоянна и равна ие. В плоскости обруча укреплена ось С Р, вокруг которой с постоянной угловой скоростью ее вращается перпендикулярный ей диск радиуса г, причем центры диска и обруча совпадают. Найти скорость и ускорение точек 1, 3 диска, расположенных ва концах диаметра, лежащего в плоскости обруча, и точек 2, 4 диаметра, перпендикулярного плоскости обруча, в тот момент, когда ось СР образует угол а с прямой АВ. з 4.

Движение твердого тена с неподвижной точкой 4.13. При движении твердого тела заданы его угловая скорость ю„и угловое ускорение е, относительно некоторой подвижной системы отсчета. Известны также угловая скорость ве и угловое ускорение е, этой подвижной системы отсчета относительно неподвижной. Определить угловую скорость вз и угловое ускорение е тела. 4.14. Твердое тело участвует в и вращениях относительно осей, пересекающихся в одной точке. Угловые скорости каждого вращения вь (к = 1, и ) постоянны по модулю. Выразить угловое ускорение тела через векторы в1, «зз,..., а„, предполагая, что вз1 - .

постоянный вектор. 4.15. Решить предыдущую задачу в предположении, что угловые скорости ю1, взз,..., гв„меняются по модулю. 4.16. Шар радиуса г (см. рисунок) катится по плоскости без скольжения. Задавая ориентацию шара направляющими косинусами э аез, г, 1'=1,3 (х', = ~„п; х, 4 =1,3), выписать условия качения шара без скольжения.

К задаче 4.17 К задаче 4.16 4.17. Два вала (см. рисунок) соединены шарниром КардапаГука. Найти закон изменения коэффициента передачи й = сот/со1, если угол между осями равен ер. 4.18. Существуют двенадцать вариантов начального расположения колец карданова подвеса (который обеспечивает вращение твердого тела вокруг неподвижной точки) относительно неподвижной системы координат: два из них (а и б) представлены на рисунке. Для этих двух вариантов выразить проекции угловой скорости твердого тела на неподвижные оси Охдз и на оси Осць, связанные с телом, через углы поворотов колец карданова подвеса у, О, ер и их производные ~)г, В, гр. 4. 19. При специально подобранных условиях твердое тело, имеющес неподвижную точку, движется таким образом, что проекции угловой скорости тела па оси Ос и Оц системы координат сцг„жестко 1.

Кинематика и динамика связанной с телом, меняются во времени по закону а 6 .=- — =. (пВв( р, „= — = (в(пЕ д, сЫ сЫ где и, 6, с и с( известные постоянные. Задавая положение твердого тела эйлеровыми углами ~)с, О и с(с, найти траекторию следа оси Ос, на сфере единичного радиуса. (ч) ( з К задаче 4.18 4.20. Конус с углом 2а при вершине катится по плоскости без скольжения. Вершина конуса неподвижна. Угловая скорость конуса постоянна и равна еь Найти скорость и ускорение точек плоскости в системе координат, связанной с конусом. 4.21. Биллиардный шар движется по плоскости так, что одно из его центральных сечений Я во все время движения остается вертикальным. Показать, что вектор угловой скорости шара лежит в плоскости, перпендикулярной сечению Я.

4.22. Три ортогональных орта (, 1, к жестко связаны с твердым телом так, что орт 1 перпендикулярен некоторому сечению Я. При движении твердого тела это сечение Я остается вертикальным. Используя формулу со = ( — 1с +3 — '( +)с '1 показать, что св = исе + изз), где е — орт вертикали, а са1 и сот .. скалярные величины. 4.23. При движении прямой (оси Ол) известны ускорения ис1 и исз точек с кооРДипатами л1 и лз соответственно. Найти УскоРение точки этой прямой с произвольным значением координаты л.

14. Движение твердого тела с неподвижной точкой 37 4.24. Конус с углом 2п при вершине движется по неподвижной плоскости, касаясь ее одной из своих образующих. Движение происходит таким образом, что ось кинематического винта во все время движения направлена по линии касания конуса с плоскостью.

Составить дифференциальные уравнения движения вершины конуса, если заданы мгновенная угловая скорость конуса со(с) и скорость его вершины и(е). Для случая, когда ю и и постоянны, найти траекторию вершины конуса. 4.25. Горизонтальная плоскость (см. рисунок) вращается вокруг вертикальной оси Оз с угловой скоростью со(е). Конус, вершина О~ которого неподвижна относительно плоскости, катится по ней без скольжения. Центр основания конуса С ег(Е) движется равномерно относительно О плоскости со скоростью тг. Найти уг- Р О ловую скорость и угловое ускорение конуса. Высота конуса гг, угол при вершине 26. 4.26.

Используя условия преды- С душей задачи, найти скорость и ускорение точки А конуса, в которой , 'А его основание касается плос- кости (007 =1). 4.27. Векторы скоростей всех точек твердого тела отложены от общего начала. Найти геометрическое место концов этих векторов. 4.28. Известны скорости иы тгв, из трех точек твердого тела, не лежащих на одной прямой, 1-1айти угловую скорость ш тела.

4.29. При движении твердого тела известны ускорение точки 0 тела твО, угловая скорость г» и угловое ускорение е, причем в х е ф О. Найти точку, ускорение которой равно заданному вектору иг. 4.30. Твердое тело вращается вокруг неподвижной точки с угловым ускорением е, имея в данный момент угловую скорость вь Показать, что вращательная компонента ускорения какой-либо точки тела совпадает с касательной, а осестремительная компонента с нормальной в том и только в том случае, когда эта точка лежит в плоскости, содержащей векторы е и ш.

4.31. Показать, что вектор угловой скорости сопровождающего трехгранника (т,п, Ь) лежит в спрямляющей плоскости тЬ. 4.32. Точка движется по закону х = т(1), р = у (1), з = е (1). Найти угловую скорость сопровождающего трехгранника (т, и, Ь). 4.33.