Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике

Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике, страница 18

DJVU-файл Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике, страница 18 Теоретическая механика (2645): Книга - 3 семестрЮ.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике: Теоретическая механика - DJVU, страница 18 (2645) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теоретическая механика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 18 - страница

Из (1) получим с~ = —, (гп+ М) (а+ 1 — аз+12). а Если 1 >) а, то В случае 1 « а с~ 4С1(т+ М)/п~. 3.1.3. Получить условия, при которых возможен переход к представлению о движении частицы т1 в поле тяжести, создаваемом частицей тз. Релиение. Пусть рм рьч Км Кз, и — импульсы, кинетические энергии и потенциальная энергия взаимодействия двух частиц в момент времени 1.

Поскольку импульс и полная энергия замкнутой системы сохраняются, то Рг+Рэ =Р|+Рз; к, +к,+и —. к, '+к,'+и'. (2) йкз = — — рзс1+, й(К1 + и) = — йкз. (3) 1 9 тг 2пге ' Если в процессе взаимодействия выполняются условия ~~к.! «!Е !.. 1Е11: Ег —— К|+и, Е' =К'+и', (4) то частица тз играет роль источника внешнего поля, в котором дви- жется другая частица, не влияя на «источник поляь. В такой постанов- ке сохраняется полная энергия, но не импульс частицы гп1.. / Р~ =-Р1+Ч~ Е, .= Е'.

Полученные законы выполняются приближенно. Если не учитывать это обстоятельство, то можно прийти к множеству парадоксов. Например, рассмотрим движение тела по вертикали вблизи поверхности Земли с начальной скоростью с1 = О. Из закона сохранения энергии (5) получим и О+т13Ь = ',"1 +тп|дЬ'., с~~~ = 23ЬЬ, 11Ь = Ь-Ь'.

Штрихом отмечены указанные величины в момент времени 1'. Обозна- чая с1 = Р', — р1 — — рз — р', — импульс, переданный частице гп,, найдем приращение кинетической энергии [Гл. 3 124 Динамика системы частиц Перейдем теперь в систему отсчета, движущуюся с постоянной скоростью и =- Ч'2дЬ6 по направлению к поверхности Земли. Используя (5), получим абсурдный результат г ( + тг41Ь) — (О+ тг4,"гг') = Π— » ЬЬ =- О. (6) Однако все инерциальные системы равноправны в соответствии с принципом относительности Галилея.

Действительно, переходя к новой системе отсчета, движущейся со скоростью п, заменим в (1), (2) ч„— » — » ч„+ п, ч'„— » ч'„+ п. Уравнение (1) не изменится, а соотношение (2) примет вид — тг (и', + п) — — тг (чг+п)а+ г1г7 = — г1Кг — тг (чг — чг) и. (7) После использования закона сохранения импульса (7) приобретает форму (3).

Теперь становится ясна ошибка, допущенная в (6): дополнительное слагаемое в правой части (7) оказывается одного порядка с «основными» членами в левой части. 3.1.4. Энергия взаимодействия двух частиц с1(гг, гг) = (й/2) (гг— — гг)г. Найти гг(8), гг(8). Решение. Введем обозначения, которые будем использовать в этой главе: сумма масс и приведенная масса т = тг + тг, д = тгтг (тг+ + тг), радиус-вектор и вектор, соединяющий частицы тг и тг (рис. 3.1.4), Рис. 3.1.4 1 К = — (тггг + тггг), г = гг — гг. т Лагранжиан задачи г 1 .г ~ 2 1 (г~., гг, г~., гг) =- — тггг + — тггг — — (гг — гг) . Переходя к переменным гп гг — » К, г: тг Шг гг = К вЂ” — ' г, гг =- В+ — г., т т Задача двух твл 125 получим новый лагранжиан 1(гь г, К г) = — тК + — дг — — т ' 2 1 2 й 2 2 2 Уравнения Лагранжа тК = О, дг = — Йг имеют решения К(Х) .— К(0) + Й(0)г, й г(г) = а сов аа1+ Ь япаа1, аа = д (2) Подставляя (2) в (1), получим га(1), га(1).

Пусть га(0) = — — 1, та т га(0) = — '1, г~(0) = — — 'о~, г~(0) = — 'о~, причем 1оа = О, оа = шй В этом случае та Г оа г, (1) =- — — (! сов аа1+ — в!и аа1), га(8) =. — (1 совы!+ — яппи!). та у оа о а 2 д — =- —., и =. ~оа — о,~, а а следовательно, первая космическая скорость о~ = — = яа(1+ — ), о = тра . да (, М!' Используя закон сохранения полной энергии доа/2 — о/а = О, найдем вторую космическую скорость оп = тУ2 оь Частицы движутся по окружностям радиусов (та/т) ! и (та,1т) ! со скоростями (тг,1т) оа и (та/т) оа вокруг центра масс, оставаясь на расстоянии Ь 3.1.5. Система двух тел состоит из однородного шара и точечной частицы. Найти первую и вторую космическую скорости.

Решение. Обе скорости являются относительными скоростями одного тела относительно другого. Поэтому, переходя в с. ц. м., получим уравнение дг = — аг/г~. При относительном движении с наименьшей скоростью центр шара массой М, радиусом а и частица массой т движутся по окружностям радиусов (т/т + М) а и (М~т + М) а вокруг центра масс. Из уравнения движения находим [Гл. 3 126 Динамика системы частиц 3.1.6. Найти лагранжиан двух тел во вращающейся системе отсчета.

Решение. Б системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью й(1), лагранжиан 1 2 1 2 О 1 =- —, 7И1 (Г1 + [ЙГ1]) + гн2 (12 + [ЙГ2]) + 2 2 [Г2 — 1'1] Производя замену переменных г1., г2 — 1 В... г, получим А = — т (К+ [ЙК]) + — д (г+ [йг]) Уравнения Лагранжа Й = — 2 [ЙК] — [й [йВ]], дг = — 2д [йг] — д [й [йг]] — —. с 3.1.7. Два заряда движутся в однородных постоянных электрическом и магнитном полях. Найти функцию Лагранжа.

Решение. Произведем в лагранжиане ° 2 1 ° 2 е1е2 А =. — тп1г, + — тгг2— + е1Ег1 + е2Ег2+ 2 2 ]га — г1] + — ' [Вг1] г1 + — ' [Вгз), г2 2с 2с замену г1, г2 — ~ К, г. В результате получим — В +(е +е )ЕВ+ ~ [ВН]В+ 2с + — дг — + (е1т2+ езт1) [гг] В+ 1 .2 е1е2 1 2 2 2т с 1 / 1 .. 1 + — (езт1 — е1т2) [ Ег + — [Вг] В + — [гК] В) . т 2с ' 2с Для позитрония (е1 = — е2 = е., т1 = т2 .— М) лагранжиан упроща- ется: 1 = МК + — Мг + — — еЕг — — [Кг]  — — [гК] В.

'2 1 2 е . е 4 1" 2с ' 2с 3.1.8. Два разноименных заряда движутся в постоянном однородном магнитном поле. Потенциальная энергия взаимодействия зарядов П(г1, г2) = к (г2 — г1) /2. Найти решение уравнений движения. Задача двух тел 127 Ь = —, тК + — дг — — йг — (тл — та) [гг] В— '2 1 2 1 2 2 2 2 2тс — — ([Вх] В+ [гВ4]В). Уравнения Лагранжа имеют вид тЁ = — — [гВ], е с е е дг = — йг — — (тл — та) [гВ] — — [КВ]. тс с (2) Из (1) следует первый интеграл тК+ — [гВ] = Р. (3) Исключая К из (2), получим уравнение рг' — — йг — — (тл — тв) [гВ] — [В[гВЦ вЂ” — [РВ].

(4) тс тс тс Из (4) находим еще один интеграл ° 2 2 2 — + —,+ г [гВ] + — [РВ]г= Е. дг йг е а е 2 2 2тс тс Выберем систему координат с осью с, параллельной вектору В. Пред- варительно исключим последнее слагаемое в (4) с помощью замены г — ~ г: е [РВ] 1 г=(— 2 дтс (ало -ь Йлйг) г 1л еВ ыо =-, Йа =- и т„с Подставляя (5) в (4), находим ~, + (ало + Йлйо) ~л + (Йо — йл) ~а = О., са + (ыо + Йлйа) с2 — (Й2 — Йл) сл = О., Б+ыов = О.

(6) (7) (8) Решеяие. Пусть ел — — е, ез = — е. Используя результаты задачи 3.1.7, получим [Гл. 3 Динамика системы частиц 128 Ищем решение системы (6), (7) в виде С„= Вен„'211 ( — Л + ы11+ йгйг) иг — г (йг — й1) Лиг = О, г (йг — йг) Лиг + ( — Лг+ огог + йгйг) иг — — О. Корни характеристического уравнения Лг, = — 2о1о + й, + йг + (йг — йг) 4о1о + (й1 + йг) 2 Извлекая корень, получим '12,1 — [ 41'1о + (й1 + й2) с (йг й1)1 ° 1 (9) Общее решение системы (6), (7) ~1 = А1 соз (Л11+ с«1) — Аг ' гйп (Л21+ сгг), (10) 110 + й1й2 '12 Лг (йг — Йг) 2 г 42 —. — А1 ' вгп(Л11+ ог) + Аг сов(Л21+ ог), (11) о1о .с йгйг — Л1 1( 2 1) 2 = Аз соз (ого1+ сгз).

(12) Ео Е(п) = — — — '., + йгао(п, — по); по 2Ео Пего = з по Второе слагаемое характерно для спектра изотропного осциллятора. Поскольку размеры атома — 5,3 10 о см, то при п = 500 радиус атома достигает сотой доли миллиметра. Последние эксперименты с «магнитными атомами» обнаружили новые интересные явления [47]. Однако в настоящее время теоретическое описание поведения атомов в магнитных погшх остается далеко не полным. Основная причина в том, что из-за различия симметрий взаимодействия зарядов между собой и с магнитным полем переменные не разделяются.

При ого » йг, йг » й1 влияние магнитного поля проявляется в смещении частоты колебаний электрона. Из (9) находим Лг 1 = о1о 1+ — [ — ) ~ + — (йг — йг). 8 [,»1о) ~ 2 Заметим, что система (6), (7) сводится к одному уравнению для функции С1 — гбг. Если тг >) гпг, то рассмотренная выше модель соответствует взаимодействию ридберговских атомов с магнитным полем и образует так называемый «магнитный атом» [46[. Как известно, энергетический спектр атома водорода описывается формулой Е(п) = — Ео(п', где Ео = 13,6 эВ. В ридберговских атомах и = по )> 1. Разлагая Е(п) в ряд, получим Задача двух тел 129 В обратном случае аге « Йг влияние магнитного поля становигся определяющим; г г ыо его Лг - Йг + †., Лг - Йг +— Йг Йг Решение (10), (11) Аг сов(йг1+ ог) + Аг гйп (Йг1+ ог), 4г — Аг ейп (Йг1+ ог) + Аг сов (Йг1+ ог) отражает существование новой симметрии в поведении атома.

3.1.9. Два разноименных заряда, энергия взаимодействия которых У(гы гг) .= 1с (гг — г~)г/2, движутся в электромагнитном поле, задаваемом 4-потенциалом Ао = — г (х + у — 2е ), А = — ( — у, .х, О). Г г г г В 2а 2 Найти лагранжиан системы. Решение. Пусть ег —— е, ег = — е. Перейдем к переменным г = гг — гг и радиусу-вектору центра масс. В этих переменных т г 1 .г 1 г еВ В = — В + — мг — — Ы вЂ” — (Я у+хй — Л х — уй )+ 2 2 2 2с еВ еВ тг — тг ~- —, (В х + В ау — 2Яг е) —— (ху - ху)+ а в' 2с т ей тг тг г+ г + —, (х +у — 2е ). 2а т 3.1.10. Движение системы заряд-монополь Дирака. Заряд е массы тг взаимодействует с чмагнитным» зарядом д массы тг.

Найти решение уравнений движения. Решение. Пусть гг -- радиус-вектор монополя, гг -- радиус-вектор заряда. Нап)гяженноеть магнитного поля, создаваемого монополем, В(г) = дг(г', г = гг — гь В с. ц. м. уравнение движения дг = — — (гВ(г)), где д — приведенная масса. Отметим, что сохраняется вектор (см. задачу 1.4.21) Д .= д (гг,~ — — —. еа г (2) с г Образуя скалярное произведение с вектром г, получим уравнение тра- ектории Дг~г — — ед,1с. [Гль 3 Динамика системы частиц 1,=-тр(т +т д +т яп Оаг )+ — (1 — соэд)р. 2 с Отметим, что слагаемое, равное полной производной, может быть опущено. Тогда обобщенную потенциальную энергию взаимодействия Ц„л = — (ед/с) чА можно пРедставить в виде Ц„, = (еп/с) йг/т, где Й вЂ” угловая скорость сферического репера, й =- ~р совВе, — р япВ ее+ Ве, . Поскольку р циклическая координата, то сохраняется проекция момента обобщенного импульса дЛ/др, или l, = М, — (ей сов О/с), ,7, = дт вп Ор — — совд.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее