А.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике (А.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике.djvu)

МОСКОВСКИЙ ГОС аДАРСТВЕННЫЙ а'НИВЕРСИТЕТ имени М.В.Ломоносова физический факультет А. Б. ПИМЕНОВ МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАс1 ПО ТЕОРЕТИсаЕСКОЙ МЕХАНИКЕ учебное пособие Москва 2016 Пименов А. В. Методика решения задач по теоретической механике.

— Мл Физический факультет МГУ, 2016.— 192 с. Методическое пособие представляет собой учебное руководство по решению задач по основным разделам курса теоретической механики и знакомит читатели с методами исследования механических систем. В нем представлены наиподробнейшие решения около полусотни задач, позволяющих читателю, по мнению автора, освоить основные понятия и методы классической механики чс нуля». Перед каждой темой даются общие методические рекомендации, способные сориентировать читателя при самостоятельном изучении материала и решении задач.

Учебное пособие предназначено для студентов 2-го и 3-го курсов физического факультета МГУ, изучающих курс теоретической механики. Александр Борисович Пименов МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ Рецензент: профессор В. И. Денисов Редактор: О. С. Павлова Оригинал-макет: А. Б. Пименов Подписано в печать 07.12.2015 Объем 12 и.

л. Тираж 100 чкз. Заказ 112 Отпечатано в отделе оперативной печати физического факультета МГУ ® А. Б. Пименов, 2016 Содержание Предисловие 1 Кинематика материальной точки 54 61 76 88 111 3 Метод Гамильтона 3.1 Функция и уравнения Гамильтона........ 3,2 Скобки Пуассона 3.3 Интегралы движения в методе Гамильтона . 3.4 Канонические преобразования.......... 3.5 Метод Гамильтона-Якоби 3.6 Переменные ядействие-уголь Адиабатические 134 .

134 140 146 ....... 155 162 инварианты 175 Список рекомендованной литературы 191 2 Метод Лагранжа 15 2.1 Функция и уравнения Лагранжа................ 15 2.2 Интегралы движения н методе Лагранжа .......... 25 2.3 Движение заряженных частиц в электромагнитном поле .. 40 2.4 Одномерное движение. Качественное исследование движения 2.5 Движение в центральном поле.................

2.6 Задача рассеяния 2.7 Малые колебания 2.8 Динамика твердого тела Предисловие Данное учебное пособие написано автором на основе многолетнего опыта преподавания общего курса теоретической механики иа физическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова студентам-физикам 2-го и 3-га нурсов. Сборник содержит максимально подробно разобранные решения свыше 50 задач по осиовпым разделам курса, которые позволяют па достаточно глубоком уровие познакомить читателя с основными понятиями и методами классической механики. Основу пособия составляют наиболее типичные классические задачи по теоретической механике, позволяющие ярко продемоистрировать их примеиеиие. Пособие создавалось, прежде всего, как методическое руководство для самостоятельной работы студентов в процессе подготовки к семинарским занятиям, коллоквиумам., зачетам и экзамеиам.

Перед каждой темой кратко приведены общие методические рекомендации для решения задач, которые в дальнейшем иа конкретных примерах максимально летально поясняются. Все вычгюления и выкладки проведены детальиейшим образом, чтобы показать красоту используемого математического аппарата и теоретических конструкций. с одной стороны, и простоту излагаемых методов.

с другой стороны. Пособие составлено с расчетом того. что читатель уже ознакомлен с основными фактами из теоретического материала по изучаемой теме (иа осиове лекпиоииого курса, учебников и пр.), детали которого и прорабатываются в данном руководстве иа конкретных примерах. Автор ве ставил цели написания всеобъемливающего издания. Книга ориентирована прежде всего иа студентов 2-го и 3-го курса физического факультета МГУ.

Автор иадеется, что данная книга окажется полезным дополнением к существующим учебным пособиям по теоретической механике не только для учащихся, цо и лля аспирантов. проходящих педагогическую практику, .а также преподавателей, велу- щих семинарские занятия по теоретической механике. Автор выражает огромную признательность своему коллеге доценту Ольге Серафимовне Павловой, взявшей на себя нелегкий труд внимательного чтения рукописи и ее коррекгуру. за обстоятельный разбор работы и ряд интересных предложений. касающихся методических особенностей сборника, ценных советов и полезных замечаний, во многом способствовавшим улучшения данного пособия.

Автор будет признателен внимательному читателю, обнаружившему опечатки. ншочности в тексте книги. Просьба все замечания н предложения по содержанию данного учебного пособия присылать иа электронный адрес: аЬ.р1шепочйрйуз1свлпэн.гп. Глава 1 Кинематика материальной точки Общие рекомендации. Большинство кинематических задач посвящены нахождению закона движения механических систем и решаются путем составления снстел1ы дифференциальных уравнений.

Для этого, сначала необходимо определиться с выбором координат, в которых удобно будет решать задачу. Общих и универсальных рецептов выбора координат, наверное, не существует. Зачастую приходится действовать методом проб н ошибок: выбрать, к примеру, декартовы координаты, попытаться составить систему уравнений:, если система оказывается сложной для дальнейшего решения, можно попробовать выбрать какие-либо криволинейные координаты.

Тел1 не менее очень часто соображения симметрии, детали и данные в условии задачи интуитивно наводят на рациональный выбор системы координат. Когда координаты выбраны. необходимо позаботиться о выражениях для кинематических векторных величин (радиус-вектор, скорость, ускорение и тд.) в виде разложения по локальному базису соответствующей системы координат. Система дифференциальных уравнений получается путем прнравнивания коэффициентов разложения заданных в условии задачи векторных величин при соответствующих ортах выбранной системы хоордииат.

Задача 1.1. Точка движется в плоскости так, что угол между ее вектором скорости н радиус-вектором все времи остается постоянным н равным а. Найти уравнение траектории точки. Решение. Будем решать задачу в полярных координатах. Изобразим иа рисунке радиус-вектор г, вектор скорости ю, орты е . е„локального базиса. Вспомним известное выражение для вектора скорости в виде разложения по базису полярной системы координат: "' = Рее т Рфее 11.1) Из рисунка находим, что проекция вектора скорости ю на орт ее локаль- ного базиса (радиальная составляющая вектора скорости) ю = юсова. а пРоекЦиЯ на оРт ее 1тРансвеРсальнан составлЯющаЯ) и = -теша. У р = юсова. рф = — юегаа.

11.2) Поделим одно уравнение на другое с целью избавления от времени, ко- торое фигурирует в дифференциале Н1 в производных р. ки р йр/ )1 1р — = — = — = — ссйа. Рф Рйр1')1 Р4 (1.3) Приравнивая их коэффициентам при ею е, в разложении 11.1), получаем систему дифференциальных уравнений: Разделяя переменные (помня, что а = сопят), имеем — = -4го сгйа. 4р Р Элементарное интегрирование приводит к (п р = — ю сгйа -'; С. (1.4) Аддитивная константа С интегрирования может быть найдена мз начальных условий (заметим, в условии задачи они явно не заданы, но всегда подразумеваются)): Р(го) = Ро: го(го) = Ого. Полагая г = го в (1.4), маходим С = 1и ро 4 ого сгйа.

В итоге, после подстановки найденной аддитивной константы интегри- рованна в (1.4) уравнение траектории примет вид: р(Р) Рос-(Ф вЂ” Ро)сгйа Задача 1.2. Заяц бежит по прямой со скоростью иь Его начинает преследовать со скоростью оз собака, которая в ходе погони всегда бежит в направлении строго на зайца. В начальный момент времени расстояние между ними равно о и направления нх движения ортогональны. Найти уравнение траектории собаки в системе отсчета, связанной с зайцем. Решение. В системе отсчета, связанной с зайцем, введем оси декартовой системы координат так, чтобы заяц находился в начале координат.

Задачу будем решать в полярных коордиматах. Вектор скорости бз собаки в системе отсчета, связанной с зайцем, согласно классическому принципу сложения скоростей, может быть записана как (1.5) бл = бо — ог. ЕР Е,Р (1.6) (1.7) изр = — ге+ ог з!па, озр = -о, сова. С другой стороны, радиальная и трансверсзльная составляющие вектора в полярных координатах, как известно, могут быть записаны соотвест- венно как (1.8) (1.9) гзз„= Р. о ар = зхР Зх Учитывая, что а = — — зз, имеем систему дифференциальных уравне- 2 ний: Р = оз Юз соз гз.

( = РР = юг з111 Р. (1.10) Поделив одно уравнение на другое, получим дифференциальное уравне- ние с двумя переменными: г)Р /оз 1 — — — — + сгйР зла (гюз 51п зз Разделяя переменные и интегрируя. получим ~-"=-~" (-" — ' "-) (1.11) (1.12) Интегралы в полученном равенстве вычисляются стандартным образом.

Интеграл слева: — = !п р ч- Сг., ор Р (1.13) Последовательно проецируя равенство (1.5) на орты локального базиса е и с, найдем составляющие вектора оз.. Первый интеграл справа берется домножеиием числителя и знаменате- ля подыитегральиой функции на з1па и введением новой переменной интегрирования у = соз у Жр г ыпрНд Ну (1+ уП1- у) )1+ у) = — — 1п ~ — ! + Сз 2 )1 — р' 1 1ч-совр -~- С„ 2 1 — совр (1.14) Второй интеграл справа: Г СМР Г ИЗ1П1Р ссй1эНф = / — г(ф = / — = 1п)мпм)+ Се. (1.1о) з1пф з!пф Собирая элдитивные константы С,, Сж Сз в одну С, запишем результат интегрирования уравнения (1.11) в виде: 1п р = — 1п — ! п ~з1п р ~ + С. из 1+ сову 2о1 1 — соз р (1.16) Зт Ф(со) = 2 и расстояиие между ними равно а, что эквивалентно р(гэ) = а.