В. Прагер - Введение в механику сплошных сред, страница 10

Покажем, что это сооте, ветствие выражается линейхе иой и одиородиой зависимостью напряжений от иаправляющих косинусов. При этом будем исходить из следующего ариниипа равновесия теории упругости: если часть сплошной среды, ограниченная замкнутой поверхностью 8, покоится или движется, то массовые силы, действующие в данный момент иа эту часть, находятся в равновесии с поверхиостиыми силами, действующими в данный момент иа поверхность 8, причем при движении среды силы инерции должны включаться в массовые силы.

Примеиим этот приицип к бесконечно малому тетраэдру, три ребра РЯ>, Щя. РЦ, которого имеют направления коордииатиых осей (рис. 6). Пусть грань Яффе имеет площадь «8 и вмешиюю нормаль ч. Тогда площади граней Р<ез<ез, Р<ез<е>, Щ><ет можно ваписать в виде «8>=«8соз(ч, х,), «8 = =«8 сов(ч, хз), «Й =«8соз(ч, хз); внешние нормали к этим граням иаправлеиы по отрицательным направлениям коордииатиых осей.

Действующее иа элемент «8 напряжение, которому соответствует направление ч, можно, как и выше, 1. Тенеор напряееений обозначить через Т<">. а напряжения. соответствующие положительнйм координатным направлениям, черев То Тг, Тз. Тогда результирующая поверхностных сил, действующих на грани тетраэдра, выразится в виде Т~оиз — Т,Ы8,— Т~дя — Т~д$ = = [Т вЂ” Т,соз(». х,) — Тгсоз(», хг) — Тзсоз(», ха)[а8. (1.

1) Результирующая массовых сил пропорциональна объему ИУ тетраэдра. Если мы уменьшим все линейные размеры тетраэдра в одинаковом отношении, то равнодействующая массовых сил будет стремиться к нулю быстрее, чем равнодействующая поверхностных сил. В предельном случае для равновесия тетраэдра необходимо выполнение следующего соотношения: Т =Тгсоз(» хь)+Тгсоз(» хг)+Тесов(», хз)=Тр. (1.2) Таким обравом, напряженное состояние в точкеР опре'деляется тензором напряжений Т, который любому направле° .нию» пространства ставит в соответствие напряжение Т~ 1, действующее на элемент поверхности.

перпендикулярный к вектору ч, с положительной стороны этого элемента на отрицательную: Компоненты вектора Т, обозначим через Тп, Тгг, Тни в компоненты векторов Тг и Тз — через Хго Тж Тгз и Т'и Т , Т, соответственно. Выясним механическое значение компонент напряжений Тп, Т,г...., Т,ь. Так как вектор Т, с компонентами Тц, Т,г, Тгз представляет 'собой напряжение, которое действует на злемент поверхности. перпендикулярный к оск хо то величина Тп представляет собой составляющую напряжения Тп перпендикулярную к этому элементу поверхности.

Эта составляющая называется нормальным напряжением для рассматриваемого элемента поверхности. Составляющие Т,г и Тгь напряжения Т, направлены по касательным к рассматриваемому элементу поверхности и называются иасашелаиыми напряегеепиями или напряжениями сдвига.

Аналогично. Та и'Тю представляют собой нормальные напряжения для элементов поверхностм, перпендикулярных к осям хя и хз Га П. Нолрлзсенное госголмиз соответственно. а Тзм Тю и Тзп Тю — напРЯжениЯ сдвига (рис. 7). В технической литературе координаты обычно обозначают через х, у. а, нормальное напряжение для элемента поверх« ности.

перпендикулярного к оси х, через а„, а напряжения сдвига для этого элемента через т„„и т„,. Аналогично для Рис. 7 нормальных напряжений элементов поверхности. перпендику- . лярных к осям у и л, употребляются обозначения е„ и е„ а для касательных напряжений т„,.

т„, и тзг, т,„ соответственно. Лля элемента поверхности, перпендикулярного к единичному вектору ч. нормальное напряжение определяется выражением Т ° 'эТтэ, (о (я (1.3) Следовательно. оио представляет собой нормальную компоненту тензора напряжений по направлению т, введенную в п. 7 гл. 1.

2. Условия равновесия. Применим теперь принцип равновесия теории упругости к конечному объему У сплошной среды, ограниченному регулярной поверхностью Ю. Пусть удельные массовые силы. действующие на среду, заданы силовым полем Р,(х), а напряжения, возникающие в среде,— полем напряженяй Т, (и) Тогда сила РРвсЛГ. и УСловия равяоввсия действующая на произвольный элемент объема, радиус-вектор которого равен ху создает относительно начала коорДннат момент, Равный вс1ьхСРРьйУ. Если пРонзвольный элемент поверхности 3, ограничивающей объем У.

обозначить через йЗ, а единичный вектор внешней нормали этого элемента через чс, то сила Т ч,йЗ, действующая на объем У и приложенная к этому элементу поверхности, совдает относительно начала координат момент, равный в, х~Тс ч,йЗ, где х~ означает теперь радиус-вектор рассматриваемого элемента поверхности. Принцип равновесия теории упругости требует выполнения условий ~ Тыч,йЗ+ ~ рРьйУ=О, (2.1) выьхсТыч, йЗ+ ~ вйьх)РРь йУ = О, (2.2) где интегралы по объему следует распространить на объем У, а интегралы по поверхности — на ограничивающую этот объем поверхность 3. Испольвуя формулу Гаусса, интегралы по поверхности можно преобразовать следующим обрааом: ~ Т, ч,йЗ= ~ дТ йУ, вс)ьх Тыч, йЗ= ( д,(врьх Т, )йУ= = ~ всгьТ1ьйУ+~вс ахдсТсьйУ. (2.4) Прн выводе равенства (2.4) мы пользовались тем.

что компоненты в-тенаора не зависят от координат и что дсх, — йс . Подставляя результат (2.3) в уравнение (2.1), а формулу (2.4) в уравнение (2.2), получаем соотношения ~ (дсТсь+ рРь)йУ=О (2 б) / выь(Тс„+ х (дсТы+РРь)1 йУ=О. (2.6) Так как этн интегралы по объему с непрерывными подинтеь гральными выражениями обращаются в нуль при произвольном выборе объема У, то подинтегральные выражения должны Гл П. Напряженное, состояние тождественно равняться нулю.

Таким образом, ив уравнения (2.6) получим следующее условие равновесия: дтТа+р)та=О, (2.7) а из уравнения (2.6), принимая во внимание условие (2.7), получим равенство т „=О. (2.8) Левая часть равенства (2.8) представляет собой вектор, двойственный тензору напряжений. Равенство нулю этого вектора означает, согласно соотношениям (6.7) гл. 1, что тенвор напряжений симметричен, т. е. что т, =т,. (2. 9) Вследствие этой симметрии поле напряжений определяется только шестью 'функциями координат.

После того как указанная симметрия принимается раз и навсегда, остаются только три уравнения (2.7) как единственные условия, которым должно удовлетворять поле напряжений, согласно принципу равновесия. Разумеется, этих трех уравнений недостаточно для определения шести функций координат, задающих поле напряжений. Обычно в таких случаях напряженное состояние сплошной среды мазывается статически неопределимым. Очевидно. для того чтобы определить поле напряжений, нужно дополнить условия равновесия (2.7) некоторыми другими уравнениями нестатнческого происхождения. Прежде чем развивать дальше вти соображения.

выведем некоторые следствия из симметрии тензора напряжений и обсудим вопрос о геометрическом представлении этого тензора. 8. Главные нормальные напряжения и главяые касательные напряжения. Результаты, полученные в п. 7 гл, 1 для симметричного тензора второго ранга, справедливы, в частности, и для симметричного тензора напряжений.

Следовательно, в любой точке Р непрерывной среды существует по меньшей мере одна система трех взаимно ортогональных осей, таких. что на элементах поверхности, перпендикулярных к этим осям, действуют только нормальные напряйения, а касательные напряжения отсутствуют.

Такая система называется системой главных. осей напряженного состояния в точке Р. 3, Глаеньье нормальные и касательные налрлягения 63 1 3 ™ (3.1) которое называется средним нормальным напряжением. Если ив тензора напряжений Т вычесть единичный тензор 3, умноженный на среднее нормальное напряжение, то получим дееиатор напряжений Тц = Т>г — Ю~>1 Легко убедиться, что Та=О и тензор Т>1 соответствует определению девиатора, данному в п. 7 гл. 1. Если соответствующие этим осям нормальные напряжения, так называемые главные напряжения Ть Тц, Тц>, отличны друг от друга по величине, то другой системы главных осей не существует.

Но если, например, Т, чь Тц —— Т>ц, то любой поворот заданной системы вокруг главной оси, соответствующей напряжению Тц приводит к другой системе главных осей. Если, наконец, Т,= Тц —— Т,ц. то любую систему взаимно ортогональных осей в точке Р можно рассматривать как главную.