Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи (М.Э. Эглит - Механика сплошных сред в задачах), страница 7

Глава 1. Основные понятия 44 Тензоры деформаций Обычно считают, что отсчетпое (недеформироеаняое) состояние, в котором по определению деформация равна нулю, реализуется в начальный момент 1 = О, что в дальнейшем подразумевается. Пусть (х„хз, хз) — пространственная система координат (декартова, пока не указано противное) с базисном е;, х;(~, 1) — закон движения и ( = (СП Сз', Сз) — лагранжевы координаты частицы, равные пространственным координатам ее положения в начальный момент, т. е.

~; = х;ф, 0). В качестве мер деформации часто используются тензор деформаций Грина 1(дх; дх; 2'з,д~ д~з / и тензор деформаций Альмаиси 1 / д~ д~ '~ я=е"е е е = —,~б" — — '— з з1 зз 2~ б д д )~ хз хз где (~ (х, 1)) — лагранжевы координаты частицы, находящейся в момент 1 в точке х. (1~ 'д1»1з+Ь(1»1з+ ~1з) (Х, "а'Х,.Хз-ЬИХ»Хз" ИХз) (Х~ Хз Хз) текущий момент ! начальный момент 1= 0 Рис. 4.1. Материальпгям элементом с началом в частице ~ и соответ- ствующим вектору д~ = д~ е называется совокупность частиц, заполняющих бесконечно малый отрезок и имеющих лагранжевы координаты в пределах от ф; 6; сз) до (6+дб; 6+дсз; 4з+д~з) В момент 1 положение материального элемента определяется, см. рис.

4.1, положением хф, 1) его начальной точки и вектором дх; дх = дх;е; = — 'д~ е;, д(„ 45 4 Деформация, скорогп, деформации, вихрь Каждый из тензоров й и е позволяет непосредственно выразить изменение квадрата длины Ил~ материального элемента (один — через И~, другой — через дв) Ь' — Ь, '= 2е„л 4„(8л = 2вб Йх, Ит,.

Здесь Иле — длина материального элемента в момент 1 = О. Тензоры деформаций также позволяют найти относительное удлинение всякого материального элемента, изменение угла между любыми двумя материальными элементами, см. задачи 4.3 и 4.4, а также относительное изменение величины И' бесконечно малого объема пг — ого 1, ~/1 — 21~ + 41з — 81з где 1;, 1;, г = 1, 2, 3 — инварианты соответствующих тензоров, см. задачу 2.15, определяемые как 1~ = ен 1г =, (1~ ебсб) 1з = не~ ~)сбй.

2 Механический смысл компонент тензора деформаций Грина виден из их связи с достигнутыми в текущий момент 1 а) относительными удлинениями 1м 1з, 1з материальных элементов, которые в начальный момент 1 = О были направлены по базисным векторам соответственно ем ея и ез, б) углами ф„д, а ф о, между этими материальными элементами, например, фзз — угол между элементами, которые в начальный момент 1 = О были направлены по ез и ез, 1 еац = — ((1+ ~е)(1+ 1п) сон ф,~п — б~„п], 2 по о и )3 не суммировать.

В частности, для компонент с одинаковыми индексами 2 (( по о не суммировать. Аналогично компоненты тензора Альманси связаны с „обратными" характеристиками деформации — с „достигнутыми" в момент ~ = О относительными удлинениями Глава 1. Основные понятия 46 и(с, () = (х (с, !) — с ) е, или в эйлеровом описании и!(х,() = (х; — Дх,()) е;, где, конечно, и(С,() = и!(х(С, !),(). Справедливы формулы: 1!'ди див ди ди '. Ы,1) =-~ — + — + — ' — '), 2 (, д~в д( д~ дф,~) ' 1 !'дю; д!а, ди!ь д!аь 2(,дх, дх! дх; дх В случае, когда относительные удлинения и повороты всех материальных элементов малы, т. е. когда малы все производные ди /д~в б << 1 или, что то же самое, малы все производные дта;/дх б «1, тенэоры деформаций Грина и Альманси отличаются лишь на величину порядка бз от линеаризованных тензоров де4ормаций й(!) и Е(') Е=е()+0(б ), е =е(!)+0(б ), (!) 1/дю; ди! ( )' 2(,дх) дх;) Е = Е Ввова, (!) (') Е(') = е()е;е,, д $ На величину порядка бз отличаются и сами тензоры Грина и Альманси Е(ф, () = Е(х(ф, (), () + О(б ), и линеаризованные тензоры е(!)К,!) =е(!)( К,(),Е)+О(бз).

по сравнению с длиной в момент ! материальных элементов, направленных в момент ! по базисным векторам е;, и углами между этими элементами, см. задачу 4.16. Компоненты тензоров деформаций просто выражаются через поле перемещения в лагранжевом описании 4 Деформация. скорость деформации, вихрь Поэтому обычно, допуская вольность, говорят об одном (линеаризованном) тензоре деформаций. Его компоненты в зависимости от удобства вычисляют по одной из формул 2 д~д д~ 2 де дх; Этот тензор часто называют также тензором малых деформа- ций. Механический смысл его компонент: сы — относительное удлиненис материального элемента, направленного в момент 1 = О по вектору е~, аналогичный смысл имеют компоненты язз и сзз, с;, при 1 ~ 1, суть половины изменений углов между материальными элементами, направленными в момент времени 1 = О соответственно по векторам е; и е .

Преобразование малого объема сплошной среды Рассмотрим малый объем сплошной среды, который содержит частицу ~ и состоит из всех материальных элементов, соответствующих всевозможным векторам И~ с началом в частице (. Положения этих материальных элементов в момент 1 определяются положением частицы ~ — точкой с координатами хД, 1) и векторами Их, см.

рис. 4.1, которые связаны с И~ линейным преобразованием дх; дх; = — д~ д~ или, короче, Их = ГИ4, дх, = г) ~К~, где использовано обозначение дх,/д~ = Р'; . Линейное преобрз; зование Р называется дистпорсией, его матрица Е = йг; й— матрнцей дисторсии или деформационным градиентом. Компоненты тензоров деформаций очевидно выражаются через компоненты матрицы дисторсии следующим образом 1 1 сап = (РьаРь~з йап)~ ец' = 2(бб Ня'Нту)~ 2 где )(Н,„Д вЂ” матрица, обратная к Г, т. е. Г,:,Н„= 6, .

Глава 1. Основные понятия 48 По теореме о полярном разложении матрица г' представляется в виде главные оси тензоря Альмансн главные оси тензора Грина Рис. 4.2. Скорость деформации, вихрь, дивергенция скорости Тензор скоростей деформаций. Многие среды откликаются не столько на деформацию — относительное удлинение материальных элементов, сколько на ее скорость.

Для количественного описания скорости деформирования используется рьа Ллзца~ где Н = !!ВП() — ортогональная матрица; у = )(ул )( — симметричная положительно определенная матрица. Линейное преобразование 0~ -+ Б Ы». определяемое матрицей У, состоит в выполнении трех растяжений вдоль главных осей тензора деформаций Грина, а линейное преобразование с»-+ К И», определяемое матрицей Й, состоит в повороте, который переводит главные оси тензора, деформацпй Грина в главные оси тензора деформаций Альманси, см.

задачу 4.19. Поэтому преобразование малого объема сплошной среды с центром в частице » можно представить как последовательное выполнение растяжений вдоль трех взаимно ортогональных направлений -- преобразование 11, и поворота — преобразование К, см. рис. 4.2, кроме которых следует совершить параллельный перенос, переводящий точку» в точку т1»,1). Преобразование У имеет смысл чистой деформации. Оно тесно связано с тензором деформаций Грина, см.

задачу 4.19. 49 4. Деформация, скорость деформации, вихрь гпензор скоростей деформаций, компоненты которого выража- ются через поле скорости в по формулам Механический смысл его компонент: еы — скорость относительного удлинения материального элемента, направленного в текущий момент по вектору еы аналогичный смысл имеют компоненты езз и езз, компоненты е;, при 1 ф у суть половины скоростей изменения углов между материальными элементами, направленными в текущий момент по е; и е,. Через компоненты тензора скоростей деформаций выражается также скорость относительного изменения элемента объема сплошной среды, она равна до; еп = — = опии.

дх; Вектор вихря определяется формулой 1 1 доя и = — Гос 6 = — ебь е„', 2 2 о де. где е; ь — компоненты тензора Леви-Чивита, см. задачу 3.30. Распределение скорости в малом объеме сплошной среды выра- жается через тензор скоростей деформаций и вектор вихря. А именно, если ио — скорость частицы, находящейся в точке го, то скорость и частицы, находящейся в точке го+ р, описывается формулой Коши — Гельмгольца дФ 2 и = по+ — е;+ы х Р+01Р ), др1' где Ф = (1/2)е; р,р . Вектор вихря ы имеет смысл угловой скорости вращения рассматриваемого объема, как абсолютно твер. дого тела.

Линейная скорость вращения складывается со скоростью, связанной с деформацией (второе слагаемое в предыдущей формуле) и скоростью переноса по. Глава 1. 0<новные понятия 50 Использование криволинейных систем координат и((, 1) = и ((, 1) е (~), а при зйлеровом — по базису е;(х) и<(х,1) = и<(х,1) е;(х); зде~ь, конечно, и>(х(~,1),1) = и(С,1). При сокращенной записи аргументы функций опускают: во избежание путаницы обозначают е (С) = е и е,(х) = еь например, и = и е, и< = <и'е<.