С.Г. Калашников - Электричество, страница 9

Предел этого отношения получил название дпвергенции или расхожде- ния вектора А и обозначается специальным символом с11ОА. Таким образом, по определению, йуА = 1пп — ) А„ИЯ. т,От.~' Так как поток вектора и объем суть скаляры, то и дивергенция вектора тоже есть скаляр. Пользуясь этим понятием, можно записать уравнение Пуассона в виде ЖуП = р. Если составляющие электрического смещения П заданы в какой-либо системе координат в виде функции этих координат, то всегда можно вычислить и значение йуТ1 в каждой точке. Так, например, мы видели выше, что если пользоваться прямоугольными декартовыми координатами, то Жую = — *+ — "+ дВ.

дВ„дВ. дх ду д» ' эликтгичнсков поли гл. и й 15. Диполь в электрическом поле Ра< смотрим два точечных заряда +д и — <1, жестко связанных между собой и смещенных на расстояние 1 друг от друга. Смещение обоих зарядов будем характеризовать вектором 1, направленным от отрицательного заряда к положительному. Таку<о пару зарядов называют электрическим диполем.

С электрическими диполями нам приходится встречаться весьма часто. Небольшое проводящее тело в электрическом поле можно приближенно рассматривать как диполь, так как на его концах возникают индукционные заряды, равные по модулю и противоположные по знаку. Б гл. У мы увидим, что подобные заряды возникают и на диэлектриках, и поэтому небольшое диэлектрическое тело в электрическом поле также можно рассматривать как диполь. Наконец, многие молекулы построены из положительных и отрицательных ионов, центры которых смещены друг + относительно друга. Такие молекук лы можно считать во многих случаях электрическими диполями.

Г а Найдем силу, действующую иа диполь в электрическом поле, причем будем считать сначала, что поле однородно (рис. 19). На концы диполя действуют равные по модулю силы г' = <1Е, где Е -- напряженность поля. Эти силы направлены в противоположные стороны и образуют пару снл. Момент М этой пары равен М = <ьИэ1па, где а -- угол между вектором 1 и напряженностью поля Е.

Мы видим, что моме<п пары сил зависит от произведения заряда д на длину днполя 1. Это произведение называют электрическим мо<иеп диполя. Момент днполя р есть вектор, равный р=д1. <',15.1) Оп направлен так же, как и 1, т.е. от отрицательного заряда к положительному. Единица электрического момента диполя есть кулон-метр <Кл м). Пользуясь понятием электрического момента диполя, можно написать выражение для момента пары сил, действующей на лип<)л<ч в виде М = рЕ э1п (р, Е). (15 2) Направление момента этой пары совпадает с направлением оси вращения диполя, т.е.

перпендикулярно к р и Е. 1 гэ диполь в 'злвктр1лчвоком полк Модуль и направление момента пары М можно выразить одной формулой, если воспользоваться обозначениями векторной алгебры. Как известно, векторным про- изведением [аЬ] двух векторов а и Ь называют вектор, модуль которого равен абв[п(а,Ь), т.е. равен площади параллелограмма, построенного на векторах а и Ь как на сторонах. Этот вектор перпендикулярен к а и Ь и направлен в сто- [еЬ] ~[аЬ][= аЬ япа Ь рону перемещения буравчика с правой нарезкой, вращаемого от а к Ь (рис. 20). пе' 2п, ептоРпое пРоиз- Поэтому вектор момента пары сил М, действующей на диполь, можно выразить формулой М = [рЕ]. (15.3) Мы видим, что в однородном поле на диполь действует только пара сил, которая стремится повернуть диполь таким образом, чтобы р и Е были параллельны.

Для того чтобы повернуть диполь в электрическом поле па некоторый угол, нужно совершить определенную работу. Так как эта работа равна увеличению потенциальной энергии дипо- ля, то можно найти выражение для энергии диполя в электриче- ском поле. Примем за нуль энергию диполя, перпендикулярного к направлению поля (се = я/2). Тогда энергия диполя, момент которого составляет угол о с направлением поля, равна а И' = ~ рЕв]вайа = — рЕсозге. (15.4) е~2 Рассмотрим теперь диполь в неоднородном поле н положим для простоты, что момент дипыя параллелен направлению поля (а = 0). В этом случае силы, действующие на концы диполя, уже неодинаковы, н по- атому их результирующая не Г, в неоднородном поле действует сила, стремящаяся передвинуть диполь в область поля с большей напряженностью. Найдем эту силу.

Направим рпе. З1 дипел и пепл"орел"ом координатную ось Х вдоль м— поле мента дипыя и будем считать, что длина диполя Ы весьма мала (элементарный диполь). Си- ла, действующая на отрицательный конец диполя, есть — дЕ, где Š— напряженность поля в точке нахождения заряда -д. РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ ГЛ. П1 Сила, действующая на положительный конец диполя, равна +д(Е+ (аЕ1 йх~М~, где Ы вЂ” длина диполя.

Поэтому полная си- ла Р оказывается равной Р = д (Е+ — Ы вЂ” Е) = д Ы вЂ” = р —. (15.5) хЕ ~ 11 Е я'Е хх Ых хх дЕ. дЕ„ дЕ. Е*=р — +рэ +р дх ду ' дх ' (15.5) Составляющие силы Еэ и Е, выражаются аналогичными формулами. Этот результат можно выразить векторной формулой: Р = (рйга11)Е, где введен дифференциальный оператор (15.7) д д д (рКгаб) = р.— +рэ — +р,—. дх ди 'дх' (15.8) ГЛАВА 111 РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ й 16.

Работа в электростатическом поле Для понимания свойств электрического поля большое значение имеет понятие разности потенциалов, или электрического напряжения. К этому понятию мы приходим, рассматривая работу сил электрического поля. Предположим, что электрический заряд перемещается в каком-нибудь электрическом поле из некоторой точки 1 в другую точку 2. Так как на заряд в электрическом поле действует сила, то при таком перемещении будет произведена определенная работа, которую мы обозначим через А1з. Ясно, что если В однородном поле 11Е11(х = 0 и результирующая сила равна нулю. Если диполь находится в неоднородном поле и не параллелен полю, то на него действуют и пара сил, стремящаяся повернуть диполь параллельно полю, и сила, втягивающая диполь в область более сильного поля.

Пусть Е, Е„, Е, — составляющие напряженности электрического поля в прямоугольных осях координат, а рх, рю р,— составлякпцие момента диполя в тех же осях. Тогда, поступая эак же, как и выше, легко получить, что составляющая силы по осн Х равна 1 17 РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ тот же заряд перемещается по прежнему пути в обратном направлении ~от точки 2 к точке 1), то работа будет той же, но изменится ее знак, т.е.

А1г = — А21. Рассмотрим теперь электрическое поле, созданное неподвижными зарядами (электпростпапгическое ноле). Легко видеть, что в электростатическом поле работа при перемещении заряда не зависит от формы пути, по которому движется заряд, и определяется только положением точек 1 и 2 — начала и конца пути заряда. Действительно, допустим, что это не так и что работа Л12 при перемещении заряда (ь) вдоль контура Ь )рис. 22) не равна работе (71) 1. А 2' для контура 11, причем оба они соединяют одни и те же точки 1 и й Тогда, перемещая заряд по замкнутому контуру, составленному из путей б и б1, мы найдем, что электрические силы совершили работу Л~ )+Л~') =А~ ) — Л~ '), гг + гп = 1г гг которая не равна нулю.

но это противоречит Рва гг Рлвата ч" общему закону сохранения энергии. Если за- Ла л электрастатиРяды, создаюп1ие поле, неподвижны, то при перемещении подвижного заряда в окружающих телах не происходит никаких процессов. После возвращения заряда в исходную точку 1 мы не имеем никаких изменений в рассматриваемой системе тел и поэтому не можем получить ни выигрыша работы, ни ее потери.

Это значит,. что наше предположение неверно и что в действительности А1 )=Л1 '). 12 12 Таким образом, в электростатическом поле работа перемещения заряда между двумя точками не зависит от формы пути, соединяющего эти точки. При перемещении заряда по замкнутому контуру работа равна нулю. й 17. Разность потенциалов Положим теперь, что в электростатическом поле из точки 1 в точку 2 перемещается положительный заряд +1. Согласно з 16 работа, совершаемая силами поля при этом перемещении, не зависит от формы пути.

Так как заряд выбран определенным (+1), то эта работа зависит только от существующего электрического поля и поэтому может служить его характеристикой. Она называется раэностпью потпенциалоа точек 1 и 2 в данном электрическом поле или электприческ м напряжением между 12 ГЛ П> РАЗНОСТЬ 1!ОТЕНЦИАЛОВ точками 1 и 2. Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом поле измеряется работой, совершаемой силами поля при перемещении заряда +1 из точки 1 в точку 2.

Зная напряженность поля в каждой точке, можно вычислит» и разность потенциалов любых двух точек. Если гЬ вЂ” - элемент перемещения заряда, Е, — проекция век- Е тора напряженности поля на направление !Ь (рис. 23), то работа при перемещении заряда +1 на отрезок !Ь есть Е, оз. Поэтому разность потенциалов точек 1 и 2 равна г !>12 = ~ Е««Ь~ (17.1) 1 1 где интегрирование производится вдоль рис. ЗЗ. к определению любого контура Ь, соединяющего расразностине апнц юьв сматриваемые точки, в направлении от точки 1 к точке 2. Если в электрическом поле перемещается не единичный заряд, а заряд произвольной величины !7, то в каждой точке сила, действующая на заряд, увеличится в д рзз.

Поэтому работа А>з, совершаемая силами поля прп перемещении заряда д из точки 1 в точку 2, равна А>з = !711>г. (17.2) Из сказанного следует, что физический смысл имеет только разность потенциалов, или напряжение, между двумя точками поля, так как работа определена только тогда, когда заданы две точки — начало 1« конец пути. Несмотря на это, часто говорят просто о потенциале, или напряжении, в данной точке, но всегда имеют в виду разность потенциалов, подразумевая, что одна из точек выбрана заранее. Такую постоянную точку часто выбирают «в бесконечностиз, т.е.

на достаточном удалении от всех заряженных тел. Мы видели, что в электростатическом поле напряжение между двумя точками не зависит от формы пути, соединяющего эти точки. Поэтому, если заряд +1 перемещается по замкнутому контуру', например, сначала из точки 1 к точке 2 по контуру 1 (рис. 22), а затем от 2 к 1 вдоль 11, то работа будет равна У>З+ Уг> = 171З вЂ” У>З = О. В электростатическом поле на>!ряжение вдоль замкнутого контура всегда равно нулю. Последнее утверждение выражает важное свойство электростатического поля. Именно по этой причине для электрос>этического поля можно ввести ращость потенциалов, которая одно- 43 РАзностьпотвнциАлог! 1 !7 значно определяется действующим полем (не зависит от формы пути) и поэтому может служить характеристикой поля.

Пользуясь формулой (17.1), можно выразить это свойство ш!ектростатического поля в следующей форме: ~Е,с!в=О, (17.3) где кружок у интеграла означает, что интегрирование производится по замкнутому контуру. Криволинейный интеграл какого- либо вектора вдоль замкнутого контура называется !!иркуляцией вектора вдоль этого контура. Следовательно, можно также сказать, что циркуляция напряженности электрического поля вдоль любого контура равна нулю. Понятие разности потенциалов широко использу!от по двум основным причинам. Во-первых, описание электрического ноля при помощи потенциала гораздо проще, чем при помощи напряженности поля. Напряженность поля есть вектор, и поэтому для каждой точки поля нужно знать три скалярные величины— составляющие напряженности по координатам.