С.Г. Калашников - Электричество, страница 7

Такая система называется плоским коидемсатпором, Электрическое поле плоского конденсатора показано на рис. 10. Если расстояние между пластинами мало по сравнению с размерами пластин, то практически все линии напряженности, фи-ч с--"уй," Рис. 10. Электрическое поле плоского конденсатора исходящие из одной пластины, заканчиваются на другой. Это значит, что при заряжении одной пластины на другой возникает индукционный заряд, равный ему по модулю. Далее, в средней части конденсатора линии напряженности имеют вид параллельных линий, расположенных с одинаковой густотой.

Следовательно, напряженность поля в плоском конденсаторе одинакова в разных точках поля. Такое поле является простейшим и называется однородным. На рис. 10 также видно, что вблизи краев пластин линии напряженности искривляются, т.е, поле делается неоднородным. Отметим в заключение, что линии напряженности перпендикулярны к поверхности металлических электродов. Это и понятно. Если бы напряженность поля была не перпендикулярна к поверхности проводника, то существовала бы составляющая поля, направленная по касательной к поверхности.

Под действием этой составляющей электроны проводимости проводника при- 29 11З ткогвмл остроградского-гаусса п1ли бы в движение вдоль поверхности, и мы не имели бы равновесия электрических зарядов. 9 13. Теорема Остроградского — Гаусса Вычисление электрического поля во многих случаях сильно упрощается применением важной теоремы, излагаемой ниже.

Она была установлена М.В. Остроградским в виде некоторой общей математической теоремы н Гауссом — применительно к случаю электрического поля. Чтобы сформулировать зту теорему, введем новое понятие электрпческого смещения. Для вакуума электрическое смещение, по определению, равно П = еоЕ.

(13.1) Обобщение этого понятия на случай произвольной среды будет дано в 9 41. Если электрическое поле создается одним точечным зарядом, то электрическое смещение на расстоянии т от заряда равно по модулю 21 (13.2) а направление смещения Г1 совпадает с направлением поля Е. Отметим, что в системе СГСЭ напряженность полн и электрическое смещение в вакууме равны друг другу. й системе же СИ они различны.

По аналогии с линиями напряженности электрического поля Я 12) лля 0 графического изображения распределения электрического смещения в пространстве мы будем пользоваться линиялеи электрического слсещеяия. Направление этих линий в каждой точке пространства совпадает с направлением вектора электрического смещения, а 5 их густота равна электрическому сме- Рис. 11. Поток влеитри- Введем далее понятие потока веского смещения че ез электрического смещения. Рассмотрим данную поверхность в электрическом поле плоскую поверхность Я и выберем определенное направление нормали п к ней (рис. 11).

Будем считать сначала, что поле однородно, но составляет произвольный угол сг с направлением нормали. Величину Л = ЯЭ сое гг = ЯВ„ (13.3) называют потоком электпрического смещения через данную поверхность. Здесь через 1Э обозначена проекция 13 на направление нормали и. Так как густота линий электрического сме- 30 гл. и электгическОе ПОле щения равна Ю„то можно сказать также, что поток вектора электрического смещения через данную поверхность равен полному числу линий электрического смещения, проходящих через эту поверхность. Если поле неоднородно и поверхность, через которую разыскивают поток, не является плоскостью, то эту поверхность можно разбить на бесконечно малые элементы г1Я и каждый элемент считать плоским, а поле возле него — однородным. Поэтому для любого электрического поля поток смещения через элемент поверхности есть дДг = П„сБ.

Полный поток смещения через поверхность Я в любом неоднородном электрическом поле равен (13.4) Отметим, что поток смещения, определяющий число проходящих линий смещения, есть скаляр. Из (13.3) видно, что поток может быть как положительным, так и отрицательным. Если направление линий смещения составляет острый угол с направлением нормали (сов а > О), то поток будет положительным. Если же этот угол тупой (сова < О), поток будет отрицательным. Рассмотрим теперь точечный положительный заряд и и вычислим поток электрического смещения через замкнутую сферическую поверхность Я (рнс'. 12), окружающую этот заряд и имеющую центр в точке нахождения заряда. За положительное направление нормали выберем направление внешней нормали. В этом случае П во всех точках сферы одинаково и, кроме того, + ЯЭ5 1 везде сова = 1.

Поэтому Л = — — 4хгс~ = д. о 4к Гсс Легко видеть, что этот результат справедлив не только ~з для сферической поверхности, но и для любой замкнутой поверхности и для любого произвольною расположения Рвс. 12. К аыаолу теоРемы 0сгРо- заряда внутри этой поверхгрздского-Гаусса Действительно, полученный результат показывает, что поток смещения через сферическую поверхность не зависит от радиуса сферы, он один и тот же для сферы Я и любой другой кон- 31 ткогимл остгогглдского ГАуссА центрической с ней сферы Я~ (рис. 12).

Это значит, что линии смещения в пространстве между Я и Яы где не имеется зарядов, непрерывны. Линии электрического смещения начинаются и заканчиваются только на электрических зарядах. Но из непрерывности линий смещения следует, что полное число линий смещения, проходящих через произвольную поверхность Яг (рис. 12), охватывающую заряд, т.е.

поток смещения Х, имеет такое же зла ~ение, как и для сфер 51 и Я, т.е. (13.5) Напротив, если замкнутая поверхность не охватывает заряда (Яз на рис. 12), то поток смещения через эту поверхность равен нулю, так как число линий смещения, входящих через поверхность, равно числу линий, выходящих из нес. Из (13.5) также следует, что поток через замкнутую поверхность не зависит от расположения заряда внутри поверхности. Это значит, что полученный результат справедлив не только для одного заряда, но и для какого угодно числа произвольно расположенных зарядов, если только подразумевать под у алгебраическую сумму всех зарядов, находящихся внутри поверхности. Формула (13.5) выражает теорему Остроградского — Гаусса: поток электрического смещения через замкндтдю поверхность равен алгебраической сдмме всех зарядов, расположенных вндтри поверхности.

Отметим, что при доказательстве этой теоремы мы исходили из закона Кулона, и потому она есть следствие этого закона. Если бы показатель степени у расстояния в формуле (2.1) был не 2, а каким-либо другим, то и доказанная теорема была бы несправедливой. Из формулы (13.5) видно, что размерность потока смещения такая же, как и электрического заряда. Поэтому единицей потока смещения, как и заряда, служит кулон. Это — поток через замкнутую поверхность, окружающую заряд 1 Кл. Электрическое смещение можно определить как поток смещения через единицу поверхности, нормальной к направлению смещения, или, иначе, как плотность потока смещения.

Поэтому единица электрического смещения есть кулон на квадратный метр (Кл/м~). Рассмотрим некоторые простые примеры вычисления электрического поля с помощью теоремы Остроградского— Гаусса. П р и м е р 1. Равномерно заряженная плоскость. Имеется безграничная плоскость, заряженная равномерно с поверхностной плотностью заряда о. Из симметрии задачи очевидно, что линии смещения могут быть направлены только перпен- 32 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ Гл и дикулярно к плоскости.

В этом случае в качестве замкнутой поверхности в теореме Остроградского-Гаусса удобно выбрать прямой цилиндр, перпендикуляр- Е ный к заряженной плоскости и огра- и ниченный двумя плоскими основа- з пнями перпендикулярными к лини- 1 ям напряженности поля и располо- 1 1 женными по обеим сторонам заря+ ~ + + ~+ + женной плоскости (рис. 13). Так как 1 образующие цилиндра параллельны линиям смещения (сова = 0), то поток смещения через боковую поверхность цилиндра равен нулю и поэтому полный поток сквозь циЭлектРнческое иоле линдр равен сумме потоков через РавномеРно заРЯженной плос его основания: а1 = 2 г1.с. Полкости ный заряд, заключенный внутри цилиндра, равен сгЯ. Поэтому, применяя теорему Остроградского— Гаусса, имеем 2сгЯ = вЯ, откуда П = сг/2.

Напряженность поля равномерно заряженной плоскости в вакууме равна Е = ст/2,е. (13.6) П р и и е р 2. Поверхность зарнженного проводники Посмотрим теперь, чему равна напряженность поля вблизи поверхности произвольного заряженного металлического проводника, если заряды на нем находятся в равновесии. При решении задачи мы учтем, что в отсутствие электрического тока линии напряженности всегда перпендикулярны к поверхности проводника (3 12).

Далее очевидно,что в этом случае на- Е пряженность поля внутри проводника всегда равна нулю. Действительно, если бы это было не так, то электроны проводимости металла пришли е ;+ бы в движение, т.е. в проводнике ~~~ " ф,ф возник бы электрический ток, что 1. противоречит условию. Рис. 14. ЭлектРическое по- Вылелим на повеРхности п1зовод ле поие х о за яженного ника бесконечно малый элемент поверхности сБ (рис.

14) и обозначим поверхностную плотность заряда на нем через сс. В качестве замкнутой поверхности' выберем опять прямой цилиндр с осно- ТКОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА 33 ваниями с(О и бесконечно малой высотой с(Ь. В данном случае нужно рассматривать бесконечно малый элемент поверхности проводника, так как в общем случае и меняется от точки к точке поверхности. Высота цилиндра должна быть также бесконечно малой, потому что в случае проводника произвольной формы линии смещения будут перпендикулярными к поверхности проводника только в непосредственной близости от нее.