С.Г. Калашников - Электричество, страница 8

В этом случае полный поток смещения равен потоку через одно основание, и мы имеем РИЗ = ни'Я. Поэтому Р = сг, Е = сг/60. (13.7) Таким образом, значение Р у поверхности проводника равно непосредственно поверхностной плотности заряда, т.е. заряду, сместившемуся внутри проводника, в расчете па единицу поверхности. Этим объясняется происхождение термина «электрическое смещениеь. Замечательным в этом результате является то обстоятельство, что напряженность поля и электрическое смещение вблизи рассматриваемой точки поверхности не зависят явно от формы проводника, от распределения зарядов на нем, а также от расположения других соседних проводников. При сравнении формул (13 6) н (13.7) возникает кажущееся противоречие; в обоих глучаях мы имеем заряженные поверхностк, однако напряженность поля около них отличается в два раза. На самом же деле никакого противоречия здесь нет.

Формула (13.6) выражает поле, вызванное только зарядами, расположенными на плоскости. В а случае же поверхности проводника исходящие нз нее ео линии нвпряжсщюсти всегда заканчиваются на других телах, на которых возникают индукпионные заряды. Формула (13.7) учитывает действие всех фактически а существующих зарядов как Ез =— на рассматриваемой поверх- 2яо ности, так и на окружающих телах. Сказанное можно пояс- > !знс.

15. Электрическое поле внутри плоско- нить на примере плоского кепд нсатора есть сумма полей, создаваго конденсатора (рис. П повял либо пластине заряда с плотдок ностью +и на второй пластине всегда возникает заряд противоположного знака с плотностью — и. Эти заряды под влиянием взаимного притижения будут сосредоточены на внутренних поверхностях пластин.

Заряженная плоскость каждой пласти- и Е1 =— 2во ЭЛЕКТРИЧЕОКОЕ ПОЛЕ гл. и ны снедает по обе стороны от себя напряженность поля, выражаемую формулоя (13.6) в равную жп/2сэ. Внутри металлических пластин н вне конденгатора этн поля направлены противоположно н поэтому в сумме дают нуль. Внутри конденсатора этн поля, напротив, направлены одннаково н, складываясь, дают у поверхности пластин напряженность и/ее в соответствия с (13.7). В данном частном случае электрическое пале однородна, н поэтому его напряженность у поверхности пластин такая же, как н в других точках поля.

Это мы н видели на опыте, описанном в э 12. П р и лг е р 3. Равномерно заряженный шар. Рассмотрим электрическое поле между двумя шаровыми концентрическими электродами (рис. 1б). Такая система электродов называется шароеым конденспптором.

Если заземлить внешний электрод и сообщить внутреннему шару заряд +1, то на внешнем электро+ де возникает индуцированный заряд — ц. Под действием взаимного притяжения зти заряды расположатся только на поверхности внутреннего шара и на внутренней поверхности внешнего электрода. Из условий симметрии задачи Электрнчес"ае пале очевидно, что заряды на обоих шашаровога конденсатора рах будут распределены равномерно и что липни смещения могут быть только радиальными прямыми.

Поэтому в качестве замкнутой поверхности удобно выбрать сферу с радиусом г, расположенную между электродами и илсеющую общий центр с обоими электродами. Тогда из теорелгы Остроградского — Гаусса следует /лг=В 4пг~=д, откуда Е=— (13.8) Эта формула показывает, что напряженность поля между электродами зависит от расстояния г рассматриваемой точки поля от центра внутреннего шара, но не зависит вовсе от размеров внешнего электрода.

Поэтому мы получим ту же напряженность поля, если радиус внешнего электрода будет как угодно велик. Если внешншй электрод значительно больше внутреннего, то электрическое поле вблизи внутреннего шара не зависит и от формы внешнего электрода. Это происходит по той причине, что при удаленном внешнем электроде изменение его формы не оказывает влияния на распределение зарядов на внутреннем шаре, которое остается по-прежнему равномерным.

Следовательно, и 35 тво~ кмл ост1 оггАдского-глуссл 1 из в том случае., когда роль внешнего электрода играют различные удаленные заземленные предметы, например стопы, пол и потолок комнаты, формула (13.8) будет также применима для участков поля вблизи шара. Поэтому часто говорят просто о поле заряженного шара, не указывая, чтб именно является вторым электродом.

Электрическое поле шара, равномерно заряженного по поверхности, во внешнем пространстве совпадаег с полем точечного заряда, равного полному заряду шара и помещенного в центре шара. Если бы мы рассмотрели шар, заряженный равномерно по объему, то напряженность поля вне шара выражалась бы тоже формулой (13.8). Напряженность же поля внутри шара в обоих случаях различна. В случае шара, равномерно заряженного по поверхности, напряженность поля в любой внутренней точке равна нулю.

Если же шар заряжен равномерно по объему, то напряженность поля равна нулю только в центре шара и с увеличением расстояния г от центра возрастает пропорционально г. В справедливости этого можно убедиться также при помощи теоремы Остроградского — Гаусса. П р и м е р 4. Равномерно варязсенный цилиндр. Вычислим напряженность электрического поля между двумя коаксиальными металлическими цилиндрами. Такая система называется цилиндрическим конденсаторам.

Предположим, что внешний цилиндр соединен с землей, а внутреннему цилиндру сообщен заряд +д1 на каждую единицу длины цилиндра. Тогда на внешнем цилиндре появится заряд — в1 на единицу его длины и этн заряды будут сосредоточены только на обращенных друг к другу поверхностях обоих цилиндров. Длину цилиндров будем считать весьма болыпой по срав- 1Е с нению с их радиусами. ~Г 1 ~'р Из условий симметрии ясно, тзл л+ ~Г 1 Т1, что заряды будут распределены — -г — — г +-— у 1 у равномерно по поверхности цилиндров, а линии смещения будут радиальными прямыми, перпенлярнеями к поверхносаи обо гис 17 к ' исканию "сл" н"- лиидрического конденсатора честве поверхности для вычисления потока электрического смещения удобно выбрать цилиндрическук1 поверхность, показанную на рис.

17. Так как поток электрического смещения через основания цилиндра равен нулю (сов ск = 0), а боковая поверхность перпендикулярна к линиям смещения (сов сх = 1), то формула (13.5) дает 1Э 2кг1 = о1В Зб гл. и эз!ектгическое !юле Отсюда получаем, что напряженность поля между электродами в точке, отстоящей на расстоянии г от осн цилиндров, равна а (13.й) Это выражение справедливо для всех участков конденсатора, не слишком близких к его краям.

Практически его можно применять уже на расстоянии от края порядка одного диаметра внешнего цилиндра. Так же как н в предыдущем примере, напряженность поля между электродами не зависит от радиуса внешнего цилиндра. Если размеры внешнего электрода значительно больше радиуса внутреннего цилиндра, то напряженность поля вблизи него не зависит и от формы внешнего электрода. Поэтому и здесь часто говорят о поле равномерно заряженного цилиндра.

Напряженность поля, выражаемую формулой (13.9), мы имеем возле металлических проволок, удаленных от окружающих предметов на расстояния, значительно превышающие их радиус. $ 14. Ъ'равнение Пуассона Теорема Остроградского-Гаусса в форме (13.5) связывает электрическое смещение в точках некоторой замкнутой поверхности с зарядом, находящимся внутри обьема, ограниченного этой поверхностью, т.е. связывает величины, относящиеся к раз- ным точкам поля. Можно, однако, 2 а(хо:,г) ~ух придать этой теореме такую форму, чтобы в нее входили величины, относящиеся к одной и той же точке !гг ру поля, для этого нужно применить (г теорему к бесконечно малому объ!.!» у ему.

Введем прямоугольную систе- Х му координат Х, У, й и обо- значим электрическое смещение в рис. 18. к выводу теоремы какой-либо точке а(х, у, в) через Остроградского-Гаусса в диф- р(Пв, Ду, О,). Рассмотриа! бескофереициальиой форме печно малый прямоугольный парал- лелепипед с вершиной в точке а и ребрами ох, пд, !Ь, параллельными координатным осям (рис. 18), н вычислим поток смещения через его поверхность. Поток через грань г1удв, проходяшую через а, есть -И, (д 1в, где знак минус означает, что внешняя нормаль к дуг!в и положительное направление 0в составляют угол гт = тг (сов!в = — 1).

Поток через параллельную ей грань, смещенную вдоль Х яа пх уРАвнвпив пуАссонА 1она заштрихована), есть (Р, — ' дх) НусЬ. Поэтому поток че- дВ, х дх рю обе эти грани равен (,: ) Р, + — * Их) Йу й» вЂ” Р, ф сЬ = — * Йт, дВ дВ. где Нт = 0хдусЬ вЂ” объем параллелепипеда.

Вычисляя анало- гичным образом потоки через две другие пары граней и скла- дывая их, получим полный поток через всю поверхность парал- лелепипеда ( — ' ' — ')' дВ. дВ„дВ.'1 „ дх ду д» / Если в рассматриваемом пространстве имеется распределен- ный в объеме заряд с объемной плотностью р = р1х, у, х), то ве- личина заряда, содержащегося в объеме параллелепипеда, равна рот. Приравнивая ее, согласно 113.5), значению полного потока через поверхность параллелепипеда, мы получим — '+ — "+ — ' = р. дВ дВ» дВ, 114.1) дх ду д» Это соотношение, выражающее теорему Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме, носит название уравнения Пуассо- на. В векторном анализе показывают, что предел отношения по- тока какого-либо вектора А через замкнутую поверхность Я к объему т, ограниченному поверхностью Я, при т — + О 1если этот предел существует) не зависит от формы поверхности Я.