kudryavtsev1 (Кудрявцев - Курс математического анализа), страница 7

Раскрывая скобки согласно правилу бинома Ньютона, получим 11» 1 л(л — 1) ! х =!1+ — ) =1+и ° — +, ° — + л~ и 12 лт л(л — 1)(л — 2) 1 л(л — 1) ... (л — >1+1) 1 'лт+ "'+ и' (3.4) Поскольку при переходе от и к и + 1 число слагаемых, которые все положительны, возрастает и, кроме того, каждое слагаемое увеличивается: 1 — — С! — +, з=!,2,...,п — 1 хл» х„+1, п=1, 2... Далее, замечая, что в (3.4) каждая из скобок вида (1 — ') 1 меньше единицы в — „, < —, для всех п=1, 2, 3„..., получим 1 1 ! ! 1 ! .2+ — + — + -+ — <2+ — + — +- +— 2! о! '" л! 2 4 -' 2»-1 З.а Теорема Валькино — Вейерштрасса и критерий Коши 1 1 1 Геометрическая прогрессия — + — + ... + — „, при любом и = 1, 2, ...

имеет сумму (которую легко подсчитать по известной из элементарной математики формуле), меньшую единицы, поэтому окончательно 2(ха(З. (3.5) Таким образом, тюследоватсльность (х„) монотонно возрастает и ограничена сверху, а значит, согласно теореме 3, имеет предел. Этот предел н обозначается буквой е.

Из (3.4) и (3.5) следует (см. 111 в и. 3.1), что 2(е < 3. Более точными оценками можно получить, что е = 2,718... Доказывается также, что число е иррационально и, более того, трансцендентно, т. е. не является корнем никакого злгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Число е в математическом анализе играет особую роль. Оно, в частности, является основанием натуральных логарифмов. 3.3. Теорема Больцано — Вейерштрасса и критерий Коши Определение 10.

Последовательность Ьи, й= 1, 2. называется подпоследовапгельностыо последовательности (а„), если для любого Тт суи(есгпвуе и такое натуральное пто что Ь„= а„ причем пе,(пк,, тогда и только тогда, когда ят(йт. Последовательность ',Ьь) обозначается в этом случае тггагтже (а, ) или а„, я==1, 2, .... "г' Иначе говоря, если дана какая-либо последовательность и из некоторого подмножества ее элементов образована новая последовательность, то опа называется подпоследовательностью исходной последовагпельносгпи, если порядок следования в ней элементов такой же, как и в дашюй последовательности.

Так, последовательность 1, 3, 5, ..., 2п + 1, ... является, а последовательность 2, 1, 3, 4, ..., и, ... не является подпоследовательностью натурального ряда чисел 1, 2, ..., и, .... В обоих случаях элементы последовательностей образуют подмножество*' множества натуральных чисел, но в первом случае члены последовательности расположены в то тже порядке, как в натуральном ряде чисел, а во втором случае этот порядок нарушен. к1 Оамо ивотквство гвявтс считагася своим подмножеством.

8 д Предел последовательности у и р а ж н е и н е 3. Локазать. что ц если последовательность имеет предел, то любая сс подпоследоватсльность имеет тот же предел; 2) отбрасывание или замена конечного числа членов последовательности не влияют на сходимость последовательности, причем в случае сходящейся последовательности не влияют и на величину предела. Теорема 4 (Больцано — Веаерштрасс«'). Из любой ограниченной псследсеательности можно еыделшпь схсдяи!Уюся псдпоследсеап1ельносгпаь До к а з а тел ь ст во. Пусть последовательность (ха) ограничена, т. е. существует такой отрезок (а, Ь], что а ( х„( Ь для всехп=1,2, ....

Разделим отрезок (а, Ь] на два равных отрезка. По крайней мере один из получившихся отрезков содержит бесконечно много элементов данной последовательности. Обозначим его через (а„Ь,]. Пусть ха, — какой-либо из членов данной последовательности, лежащий на отрезке (а„Ь„1. Разделим отрезок (а„Ь,1 на два равных отрезка; снова хоть один из получившихся двух отрезков содержит бесконечно много членов исходной последовательности, обозначим его через !ах, Ьх]. В силу того, что на отрезке ]а„бз] бесконечно л~ного членов последовательности (х„), найдется такой член ха„что х„„~(а„ба1 и и,) пт. Продолжая этот процесс, получим последовательность отрезков 1а„Ь„1 и последовательность точек ха„1-(а, Ь„!, я=1,2, .... В силу построения последовательность (х«а) является подпоследовательностью последовательности (ха).

Покажем, что эта подпоследовательность сходящаяся. Последовательность отрезков ]а, Ьа], )г =1, 2, ..., является последовательностью вложенных отрезков, по длине стремящихся ь — о к нулю, так как Ь„ † —— — — О при )г- оо. Согласно лемме 2а Кантора (см. п. 1,1), существует единственная точка й, принадлежащая всем этим отрезкам. Как мы видели (см. замечание к теореме 3), Иша„=!!п1 ба=5, но аа <х„„(Ьа, /г=-1, 2,..., поэтому в силу свойства ! (см. п.

3.1) сходящихся последова. тельностей последовательность (хч„] также сходится н 1пп х„=- й. й « Таким образом, теорема доказана. Определение ! !. Предел любой сходящейся подпослсдсешпельности данной последоеательностпи назьюастпся ее часгпичнььи пределом. «> К. Бейерштрасс (1815 — 1897) — немецкий математик. Ь. Больцаио (1781 — 18«8) — чешский математик. 87 дд Теорема Валькино — Вейерштрисси и критерий Коши Теорема Больнаио — Вейерштрасса утверждает, что всюсая ограниченная последовательность имеет хотя бы один частичный предел.

У п р а ж н е н и е 4. Для того чтобы последовательность имела предел, необходимо и достаточно. чтобы она была ограничена и имела единственный частичный предел. До сих пор не было дано достаточно общего критерия, с помощью которого можно было бы узнать, сходится ли данная последовательность. Само определение сходящейся последовательности для этого мало удобно, так как в него входит значение предела, которое может быть и неизвестным. Поэтому желательно иметь такой критерий для определения сходимости и расходимости последовательностей, который базировался бы только на свойствах элементов данной последовательности.

Нижеследующая теорема 5 и дает как раз подобный критерий. Определение 12. Будем говорить, что последовательность (х„) удовлетворяет условию Коши ь>, если для любого е ) О существует такой номер и, чапо для всех номеров п и т, удовлетворяющих условию и > и, т ь и, справедливо неравенство ~ х„— х ! <" е *ь>. (3.6) Условие (3.6) можно сформулировать и таким образоль Для любого е ) О существует такой номер п„что для всех номеров п ~ и, и всех целых положшпельных р ~хн+„— х„~ Се. (3Д) Для того чтобы убедиться в равносильности условий (3.6) и (3.7), достаточно положить р = и — т, если и: т, и р =- т — и, если т и. Теорема 5 (критерий Коши).

Для того ччпобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши. Доказательство необходимости условия Коши Пусть последовательность (х„) сходится и Ишх„=а. Зададим е ) О; тогда, согласно определению предела последовательности, е суЩЕСТВуЕТ ТИК ОЕ Пе ЧТО ~ Хн а ~ и 2 ДЛЯ П ь Пе ь) бк Коши 6789 — 1857) — франпузскнй математик. ьь1 Последовательности, удовлетворяющие условию Коши, называются также фундииентальными последовительносгнлми. 38 б Д Предел иоследоеительности Пусть теперь п ' пе и гп )~ п ~ тогда ~ х„— х„! = ! (х„— а)+ (а — х„) ! < ! х — а (+ ! х„— а ! ( — + — '= е, т. е. выполняется условие Коши.

Локазатсльство достаточности условия Коши. Пусть последовательность (ха) удовлетворяет условию Коши, т. е. для всякого е)О существует такое пгэ что если и > пе и т» и„ то ! х„— х,„! < е. Возьмем, например, е == 1, тогда существует такое п„что ~х„— х„,!(1 при и =. пг и гп > п,. В частности, если и > и, н гя = ггп то ! х„— х„, ! ( 1, т. е. хл, — 1 х„( х„, + 1 прн и ~ п,.

Это и значит, что последовательность хв, и = п„п,-(-1, ..., ограничена. Поэтому в силу теоремы 4 существует ее сходящаяся подпоследовательность (х„). Пусть 1(гп хи =.а. Покажем, что яся данная последователь- а О ность (х„) также сходится и имеет пределом число а. Зададим некоторое е О.

Тогда, во-первых, по определению предела последовательности существует такое /ге, что !"..— '!< ~ (3.8) для всех !г )~ гг . Причем, согласно определению подпоследователь- ности, неравенство (3.8) выполняется для всех п > пге. Во-вторых, так как последовательность (хи) удовлетворяет условию Коши, то существует такое п„что )х„— х„(( е для всех п > п и всех пг > и, Положим Для=игах (па, пз ) и зафиксиРУем некотоРое п ) Дг .

Тогда для всех п > Л' получим !х„— а!=/(хв — х„,)+(х„— а)( < ( ~ х„— хаа ! + ~ х„~ — а ! ( — + —,' = е, а это и доказывает, что !!гп х„=а. и Теорема доказана. У и р а гк н е я и я. 5. Сформулировать позитивные (без отрицаний) необходимые и достаточные условия, аналогичные условию Коши, для того чтобы данная последовательность не имела предела. 6.

Доказать, по для того побы последовательность (л„! была сходящейся необходимо и достаточно, чтобы для любого е> О существовало такое и, что ! ха — х„! < в для всех п > л е' в я' Ззй Бесконечно мальге и бесконечно больигие лослвдоваювльносгли 3.4. гзесконечно малые и бесконечно большие последовательности Определение 13, Пусть заданы последовательности (х,) и (ул); сулгмой, разностью и произведением Этих последовательностей называготся соответственно последовательноспги (х„+ ул), (х„— ул) и (х„ул). Еслгг ул+О, и = 1, 2, ..., то частным от делейия последовагпельности (хл) на последовательность (ул) называетсн последовительность 1'ь). Наконегг, произведением последоУл вательности (х„) на число с называется последовательность (схл).

Определение 14. Последовательноспгь (а„) назьгвается беско нечно малой последовательностью, если 11пг ал = О. л Мы уже встречались в п. 3.1 с бесконечно малыми последо- 1 1 . ч вательностями а = —, а = — яп — 'п, и=1, 2, .... л л ~ л Отметим несколько свойств бесконечно малых последовательностей. 1. Алгебраиггеская сумма конечного числа бесконечно малых ггоследовательностей есть бесконечно малая последовательность. Доказательство. Пусть (ал) и (р„) — бесконечно малые последовательности.

Покажем, что и последовательности (ал+ ()„) и (ал — р„) являются также бесконечно малыми. Зададим е)0, тогда существует (почему?) такой номер и,, что (а„!< — и (1)л! л . л для всех и .л. пе. Поэтому для и ~ пе имеем !а *Р.!(!а.!+!Р,!< у+ ~ =е, что и означает, что 1ггп (ал ~ ))„) = О. л Соответствующее утверждение для любого конечного числа слагаемых следует из доказанного по индукции. Задача 3.

Определив сумму бесконечного числа занумерованных елвгземых (обобпгяюпгуго понятие суммы нонечного числа слегземых), в затем сумму бесконечного числа последовательностей, построить пример бесконечного числа бесконечно малых последовательностей, сумме которых не является бесконечно малой последовательностью, П. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовапгельность являепгся бесконечно милой последовагпельностью, Е 8. Предел последовательности Д о к а з а т е л ь с т в о.