kudryavtsev1 (Кудрявцев - Курс математического анализа), страница 2

12 ТР ! Л фу ц 69 тр и р й Шб тр " р Зж ТР О ФУ 105, 106 У ! Лш — —.ИИФШ УПФ82,84 Ф р р !56 Р Р б й 313 — Лр 314 — к „ , Ф ру т ш р 176,549 тш р !шиш — и ° Фр, тиш р 175 — Ш вЂ” Р« ФЕ У,т.йшр.,у, ФРЗ ррп АЛЛО 161 — — — К !Ш вЂ” К вЂ” Ди р, 540 — Лйб ц 149 — М р !75 — Н вЂ” Лйб ш 408 - т й р ШЗ.!75 — О р рд 355 — Фр ЗЗР Ф Р.О: Ош р 555 ФУЛ цд Зг Фз 1» 60 ФУ ' и 514 — — Л 4 .15 --и--р р 5!В Фу и Шиш ШВ Фу 1 д рд«112 — 1!3,1И Фу ш 60,6! — бр 68 — 543 — б б 79 — — 78 'Р ' ДРУ йф.

ш й 114 — и ш — \ р 191 — — !91 рб !45, 1Ж Фу ! Лр 65383 Л"Фф Р РУ 1Ш, 127. 286 *'Л р р Ш7 — р ру Зао '93 и 62 — У р р ЛОЗ "У ' " РР РФФР ОРУ 4и — рф !04 — р 62 — ш — Р Щ 80,184 — — Зб щ 80, 184 Р Р " 84,85,86,270,335 — — — р 87 — 273 — — 89 — Р Р ЛИФФР Фу Ша, 90 — 66 — ибр Ы,93 Р 63 — — р убЗ УВЗ л ш — 97, ! 00, ! О! Р И 68.96,359 — 67, 88 — Р ц шз — 105 073 3 р 191 — — — 191 — Я "Ц п 93.

184 — — — Уб Щ 93, 184 ???. р ц д 69 — *р «р . !О,!05 — 62 — р 68,273 Ц р р 24! — «р 8441 Ц 431,438,М!,442 Ш д 442 Щ. Р Д 477. 516, 562, 568 — — — цб 855 — — р д. з!о — — 310 — — 310 Ч щ ° щ Ч ПДФФР 0 284 Ч р 8220 Ч д д бдй г!119 'РР 7 11. 13 Ч П,327 — ЭЗ 1,! 1" 4 11,!3 «13 Р цю 11,!5.53 — ц 14 34, 108, 123 — *бр 14 Ч д Ы вЂ” щ зо — фу ц 62 Шр д й260 — р П у 8259 — — р а 259 — фр Фр у 78 р.!б Э р 0214 Эй. Р Д «363,364„365 — фру 555 Э в 4 р-Фй щщ 218 — д . зм — Фу 1 !13.1!6 З фщ ц й!89 3 Р. *у Фо П !84,!85 Э м р рщ 348 Р !ю др б 348 Э Р Фу ц 68, 273 Р ' МО 3 Х Э 4З4 3 р 377,378,434 — — фр П щр ГЛАВА ПЕРВАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 5 К ВЕП(ЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА 1.1.

Свойства вещественных чисел В курсе элементарной математики изучаются ееи(есшеенные (действительные) и комплексные числа. Сначала в процессе счета возникает так называемый нглпуральный рлд чисел 1, 2, 3, ..., п, Над числами натурального ряда можно производить операции сложения и умножения, что же касается операций вычитания и деления, то они уже оказываются не всегда возможными внутри натурального ряда.

Чтобы все четыре арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление) были возможны для любой пары чисел (кроме операции деления на ноль, которой нельзя приписать разумного смысла), приходится расширить класс рассматриваемых чисел. К необходимости такого расширения запаса чисел приводят также потребности измерения тех или иных геометрических и физических величин. Поэтому вводятся целые отрицательные (вида — 1, — 2, ..., — и, ...), а затем и рациональные(вида —, где р, д — любые Р целые числа) числа.

Та же потребность измерения величии и проведение таких операций„ как возведение в дробную степень, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений приводит к дальнейшему расширению запаса рассматриваемых чисел; появляются иррациональные и, наконец, комплексные числа. Напомним кратко известные из элементарной математики свойства вещественных чисел и дополним их описанием некоторых свойств, обычно там пе рассматриваемых.

Множество вещественных чисел образует совокупность, обладающую следующими свойствами. э Ь вен[ее»веяние числа 1.Свойство упорядоченности Для любых двух чисел а и Ь определено соотношение порядка, т. е. два любых ееи(есгпвенных числа а и Ь удовлетеоряюгп одному и только одному из следуюи(их трех соотношений а(6, а=Ь или а)6; при атом, если а ( Ь и Ь с с, то а ( с. Последнее свойство называется свойством транзиошеноспш упорядоченности вещественных чисел. Запись а ( Ь равнозначна записи 6 ) а. Запись а > Ь (Ь < а) означает, что либо а = 6, либо а ) Ь. !!апример, можно написать 2. 2, 5>2. П.

Свойства операции сложения Для любой упорядоченной пары чисел а и 6"' определено и притом единственным образом число, называемое их сулгмой и обозначаемое а+ Ь„так что при этом имеют место следуюшие свойства. 1!т. Для любой пары чисел а и Ь а+6=6+а. Это свойство называется перелгеслгиогельным, или коммутативным, законом сложения. Пз. Для любой тройки чисел а, Ь, с а + (Ь + с) = (а + 6) + с. Это свойство назынается сочетолгельным, или ашог(иатиеным, законолг сложения. П,. Суи(еапеует число, обозначаемое О и натьюаемсенулем, такое, что для любого числа а а+О=а. С л е д с т в и е !.

Число, обладаю»иее своаслжол«нуля, единстаенно. Действительно, допустим, что существует двз нуля 0 и 0', тогда 0 + 0' = = О и О' + 0 = 0'. В силу кол«мутатнвностн сложения левые части этик равенств равны, следовательно, равны н правые, т. е. 0 = 0'. П,. Для любого числа а суилестггует число, обозничаелюе — а и назьнюемое противоположным данному, оганов, чпю а+( — а) = О.

»г Термин «упорядоченная пара чисел» нлн вообще «упорядоченная система л чисел» (л — натуральное число) не следует понимать в том смысле, что эти числа упорядочены по величине (что всегда можно сделать согласно свойству !). Это выражение просто означает, что заданные числа перенумерованы, т.

е. указано, какое число являетсн первым, какое вторым н т. д. ЕЕ Свойства вещественных мигел С л е д с та и е 2. Число, противоположное данному, единсиыенно. Пусть некоторому числу а числа Ь и с противоположны, т. е. а+ 6 = О н а + с = О, тогда из первого из этих равенств ил1еем (а + Ь) + с = с, откуда (а+ с) + Ь = С, но а+ с О, следователыю, Ь = с. Сл е д с та не 3. Для любого числа а — ( — а) = а. (!.1) Из равенства а + ( — а) = О, определяющего противоположный элемент, в силу коммутативности сложения получим — а+ а = О.

Это и означает, что а = — ( — а). Ие. Если а ' Ь, то длн любого числа с а + с ч" Ь + с. Следствие 4. Если а < Ь, то — а > — Ь. В частности, если а > О. то — а < О, а если а < О, то — а > О. Действительно, из а < Ь следует, что Ь -1- ( — а) > О. Поэтому — - — + Ь + ( — Ь) = (Ь + ( — )) + (-6» О+ ( — Ь) = -Ь. Число а > 0 называется пояснительным, число а ( Π— отрицатель нылг. Следствие б. Если а(ьис<й, ню а+с<Ь+й, (1.2) т. е.

можно производить почленное сложение неравенств одного знака. Действительно, если а < Ь и с (и, то, согласно Пз, а+ с < Ь+ с н с+ Ь < и+ Ь, и поэтому из 1 имеем а+ с ( Ь+ а. Для любой упорядоченной пары чисел а и Ь число а + ( — Ь) называется разностью чисел а и Ь и обозначается а — Ь, т. е. по определению а — Ь =а+( — Ь). (1.3) Очевидно, (1.4) ибо а — а = а + ( — а) = О. Сл е д ст в и е 6. Для любых чисел а и Ь вЂ” а — Ь= — (а+ Ь). Действительно, а + Ь + ( — а — Ь) = (а — а) + (Ь вЂ” 6) = О. Следствие у.

Если а.<ь, с>й, тоа — с<Ь вЂ” й. Действительно, из с > и имеем -с < — г(. Складывая неравенства а < Ь и — с < — Н, получим а — с ( Ь вЂ” й. Э 1, Вещественные числа П1. Свойства операции умножения Для лгобой упорядоченной пары чисел а и Ь определено и притом единственным образом число, называемое их произведением и обозначаемое аб, тан что при этом имеют место следующие свойства. 1Пг. Для любой пары чисел а и Ь аЬ = ба.

Это свойство называется переместительным, или колгмупгапгиенылг, законом умножения. П1а. Для любой о!ройки чисел а, Ь, с а (Ьс) = (аЬ)с. Это свойство называется сочепгавельным, или ассоциагпиеным, законом улгножения. 1Пз. Сущеспгеует число, обозначаелгое 1 и назыэаемое единицеи, такое, чпю 1+ О и для любоео числа а а 1=а. ! П1а. Для любою числа а + О сущеспгеует число, обозначаемое— и называемое обрагиным даннолгу, такое, что ! а — =1.

Аналогично доказательству единственности нуля и числа, противоположного данному, доказывается единственность единицы и числа, обрагного данному. П1. Если а < Ь и с ь О, то ас < Ьс. Если же а "Ь и с<' О, пю ас > Ьс.'! Следствие 8. 1>О. Действительно, если 1 < О, то — ! > О. Умножая в этом случае неравенство 1 < О на положительное число — 1, получим, согласно 111е, 1.( — 1) < О. Отсюда в силу определения единицы и коммутативности умножения следует. что — ! < О. что противоречит сделанному допущению ! < О. ! Для любой упорядоченной пары чисел а и Ь, Ь + О, число п.— а называется частным от деления а на Ь и обозначается —, т.

е. по определению (1.5) Число 1+ 1 обозначается 2, число 2+ 1 обозначается 3 и т. д. Этн числа 1, 2, 3, ... называются натуральными числами. Числа О, ~1, ~2, ... называются целыми числами. *г Отметим, что второе утвергкдение следует из первого и нижеследующего свойства 1Н ).Д Свгвгтва ввществвняыт чисел ю Числа вида — ', где и целое, а п натуральное„называются ри. !(ионилвнылги числами.

)Ъ'. С в я з ь о п е р а ц и й с л о ж е н и я и у м ножен и я Для любой тройки чисел а, Ь с (а+ Ь) с = ас+ Ьо Следствие в. Дяялюбыхчисела, Ь,в а(Ь вЂ” с) Ь— (1.6) В самом деле, а (Ь вЂ” с) а(Ь вЂ” с) + ас — ас а(Ь вЂ” с+ с) — ас = аЬ вЂ” ас.