kudryavtsev1 (Кудрявцев - Курс математического анализа), страница 5

рассмотрим два отрезка ~а, — „~ и а+Ь вЂ” Первый нз них назовем левым, а второй — правым отрезком. Если правый отрезок содержит хоть одну точку множества М, то мы обозначим его [а„Ь,]; если же не содержит, то мы обозначим через [а„Ь,] левый отрезок. Таким образом, в обоих случаях [а„Ь,[ содержит точки множества М, и все множество М расположено левее точки Ь„т. е. х (Ь, для всех х ~ М.

Из отрезка [а„Ь,] аналогичным образом получим отрезок!а„бх] и т. д. Пусть мы получили отрезок [а„, Ь„], разделим его на два равных отрезка. Если правый нз получившихся отрезков содержит хоть одну точку множества М, то мы обозначим его [а„„,, Ь„,1], если же не содержит, то через ]а„;„Ьа„] мы обозначим левый отрезок. В результате этого процесса мы получим последовательность вложенных отрезков [а„, Ь„], п =- 1, 2, ..., длины которых ܄— а„= Ь вЂ” а = — стремятся к нулю при возрастании п. Действительно, для всякого е ) О, согласно свойству Архимеда, найдется такое натуральное п„что для всех натуральных п)~п, Ь вЂ” а Ь вЂ” а выполняется неравенство п) —, и.

следовательно, — (е. е а Замечая, что 2" =(1+1)" ==-1+и+ + ...)и, получим 26 2.Л Свойства верпник и нижних граней множеств — — для и = 1, 2, .... Поэтому для всех ег ) и, справедливо 1 1 неравенство б — и Ь вЂ” и 2п Это и означает стремление к нулю длин отрезков !а„, Ь„1 при возрастании а. Эта последовательность отрезков обладает следующими свойствами: а) х < Ь„для любого и = 1, 2, ... и любого элемента х~М„ т.

е. все множество М расположено левее правого конца любого отрезка !а, Ьв! полученной системы; б) любой агрезок !а„, Ь„! содержит хоть одну точку множества М. В силу принципа вложенных отрезков существует и притом единственная гочка !3, принадлежащая всем отрезкам !а„Ь„), и = 1, 2, .... Покажем что р = зцр М. Для этого докажем сначала, что х < р для любого х~ М.

Допустим противное: пусть существует х, ( М, такое, что хв) р (рис. 3). Из условия, что длина Ьн — а„стремится к нулю при возрастании а=1, 2, ..., следует, что существует такое пв бпе-ив~ХЕ-Р б„-ап ее авв l~ бП, ХВ /1-а а не Ф бе Рис. 4 что Ь„, — а„, < х,— (3, отсюда Ь„, < х,— (!) — аи,); так как ()с !а„„Ьп,), то !) — ап, > О, и поэтомУ х„— (!) — а„,)<хо. Следовательно, Ьп, < х,. Это противоречит свойству а), и, значит, указанного х, не может существовать. Докажем теперь, что для любого е)О существует такое х,1-М, что хв)Р— . Пусть а > О фиксировано. Выберем п„так, чтобы Ь„,— а,ч < а (рис.

4). Тогда, согласно свойству б), существует х1-М, такое, что х~ !а„, Ьп.!. По только что доказанному х < р. Таким образом, ап, < х < !) < Ьпи Из этого следует, что р — х < Ь„,— а„,<а и, значит, х >р — е. Ит к, мы доказали, что р = зцр М. Для доказательства существования конечной нижней грани у ограниченного снизу множества М достаточно заметить, что в этом случае множество Мв всех чисел — х„где х~ М, является ограниченным сверху множеством и !и! М = — зцр М* (почему?). Теорема 1 доказана. '?6 ф 2. Верхние и нижние грини множеств Будет ли единственной верхняя (нижняя) грань множества? Ответ на этот вопрос, естественно возникающий при изучении поннтия верхней (нижней) грани, оказывается положительным. Теорема 2.

У всякого числового л?ножесрлва верхняя (нижнял) грань единстпвенна. Допустим противное. Пусть существует множество М, у которого по крайней мере две различные верхние грани а и а'. Пусть для определенности а' ( а (при этом не исключается и случай а = +оо). Согласно определению верхней грани, из того, что а = зпр М и а' ( а, следует существование такою х, ~ М, что ~.) '. з, .р ю г тому, что а' = зцр М.

Едина, аг а, а г, еп ьг ьг ьг ственность верхней грани Риг. й доказана. Аналогично доказывается единственность нижней грани. Замечание. Пусть [а„,Ь„), и=1, 2, ...,— систел?а вложенных отрезков, по длине стремящихся к нулю при возрастании и. Согласно принципу вложенных отрезков, существует единственная точка в, являющаяся общей точкой всех отрезков данной системы (рис. б). Покажем, что я=вор(а,)=!п( (Ь ). е=1, 2, ... п=1, 2... Из условия $~~ [а, Ь„[ следует, что с)~а„для всех а=1, 2, .... Из условия же, что длина отрезков [а„, Ь„[ стремится к нулю, следует, что для любого е)0 существует такой номер п„что ܄— а„(е, и так как 5 — аи (܄— а,, то $ — а„(е, или пз пе пз а„)$ — е.

Таким образом, оба требования 1 и 2 определения верхней грани выполнены и, значит, с= вор (аи). и=1,2, ... Аналогично доказывается, что $ =- (п1 (Ь ). и=-1. 2, ... У п ражие и ив. 1. Пусть заданы числовые ыножсства Х1,1= 1, 2,, и и пусть Х=(х:х=х +...+х„, х?~Х1, 1=1,2,...,п).

Доказать, что знрХ = ~~~ анрХ,. 2. Пусть заданы два числовых мноз1естаа Х и Г и пусть т = (2 1 г = т — у, х Е Х, у Е 1'). Локаза?ь. что зар 2 = аир 1' — цй Х. 22. Сечения в множестве вещественных чисел 2.2. Сечения в ьлножестве вещественных чисел Рассмотрим разбиения вещественных чисел на два класса, обладающих определенными своиствами и называемых сечениями. Дадим их определение. Определение 6.

Дво множесспва веи~рстеенных чисел А и В называются сечением множествп вещесспвенных чисел, если: 1) киждый из классов Л и В не пуст; 2) кпждое вецеыпвенное число принадлежит одному из классов АиВ; 3) если а Л, 6~В, то а "б. Сечение множества вешественных чисел обозначается Л/В. Класс А называется низкним, класс  — верхним. Из 3 следует, что множества А и В не пересекаются. Каждое число а естественным образом производит сечение множества вещественных чисел следующим образом. В класс Л входят все числа, меньшие а, а в класс  — все числа, большие а.

Само же число а можно отнести либо к классу Л, либо к классу В. Таким образом, мы будем ~оворить, что число а производит сечение А/В, если а ( а = 6 для всех а А и всех б Г В. Естественно возникает вопрос: всякое ли сечение в множестве вещественных чисел производится некоторым числом? Оказывается, что да; именно справедлива следующая теорема. Теорема 3. Всякое число определяет сечение мнахсества вещественных чисел и для всякого сечения в л~ножестве сещесспвенных чисел существует число а, которое производит данное сечение.

Это число а является либо наиболыиим в нижнем классе 1тогда в верхнем классе нет наименьшего), либо наименьшим в верхнем классе //погда в нижнем классе нет наибольшею). Свойство вещественных чисел, выражаемое утверждением этой теоремы, часто называют п р и н и и п о м Д е д е к и н д а пепрерывности числовой прямой. То, что всякое число производит сечение, показано выше. Докажем второе утверждение теоремы. Пусть А/ — некоторое сечение множества вещественных чисел.

Согласно определению сечения, если х есть произвольный элемент множества А и у — произвольный элемент ьшожества В, то х ( у. Таким образом, множество А ограничено сверху и знр А ( у для всех у ~т В. Откуда в свою очередь следует, что множество В ограничено снизу и зпр А = 1п1 В. Случай зпр Л ( 1п1 В невозможен, так сор А+ ни и как тогда нашлось бы число $, например $ =- — —, такое, 2 что зпр А<" 2<1п1 В. Это числами не принадлежало бы ни к классу Л, ии к классу В, что невозможно в силу определения понятия сечения. Э 3.

Предел последовательности Таким обра"ом, зпр А = (п1 В и число а = зпр А =- ~п1 В производит сечение Л1В. Возможны два случая: либо а ~ Л, либо а~ В. В первом случае а является наибольшим числом в классе А, а в классе В пет наименьшего (почему?), а во втором случае а является наименьшиьз в классе В, а в классе Л нет наибольшего (почемуу). Теорема доказана. 3 а м е ч а и и е. В заключение отметим, что непрерывность множества вещественных чисел в смысле Кантора (принцип вложенных отрезков), принцип непрерывности Дедекинда и теорема о существовании конечной верхней грани ограниченного сверху множества, играющие фундаментальную роль при построении основ математического анализа, эквивалентны между собой: из лпзбого из них, принятого за аксиому, вытекают два остальных утверждения.

Заметим также, что эти свойства характеризуют именно совокупность всех вещественных чисел. Например, можно показать, что для множества рациональных чисел аналоги этих свойств уже не имеют л1еста (см. также замечание в конце и. 3.6). Задача Е Доказать с помощью сечеыирь что плв любого числа а > О и любого натурального л существует з/п„т. е. существует такое число Ь, что Ол == а. й 3.

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Еп1. Определение предела последовательности и некоторые его свойства Определение 1. Пусть каэкдол~у натуральному числу и поспювлено в соотвстпотвие некоторое вещественное число а„(при этом разным ьеппуральныль числам и могут оказаться постпавленными в соответствие и одинаковые числа). Совокупность элементов а„, и =- 1, 2, ..., низыеается числовой последовательностью, или просто последователоностьго; каждый элемент а„называетпея элементом этой' последовательности, а число и — его номером. Числовую последовательность с элементами а„будем обозначать либо а„п =-1, 2, ..., либо (а„).

По самому определению последовательность всегда содержит бесконечное множество элементов. Определение 2. Число а называется пределом данной последовагпельносгпи(а„), если длялюбого е) О существует гпакой нольер и е>, чгпо для всех номеров п)~ и выполняется неравенство ! и„— а ~ ч.. е. (ЗЛ) ю Запись л подчеркивает, что и зависит от е. е в 8.!. Определение предела последовательности 29 При атом пишут Нт а„=а, или ап — а при и -~- оо.